用動(dòng)態(tài)技術(shù)提高變式教學(xué)的效率
——以等腰三角形的習(xí)題及其變式拓展為例

陳妮妮，潘春娥，唐劍嵐

（廣東省深圳市光明區(qū)馬山頭學(xué)校；百色學(xué)院；廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院）

數(shù)學(xué)變式教學(xué)是基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)起點(diǎn)和知識(shí)的邏輯生長(zhǎng)點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的非本質(zhì)特征有梯度地、有廣度地、有密度地、有深度地進(jìn)行變式，以凸顯數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，進(jìn)而把數(shù)學(xué)對(duì)象內(nèi)化成科學(xué)的概念的教學(xué)，主要包括幾何類(lèi)變式、代數(shù)類(lèi)變式和解題類(lèi)變式.而動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)是應(yīng)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，諸如幾何畫(huà)板、Hawgent皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“Hawgent皓駿”）、GeoGebra等，或平臺(tái)改善數(shù)學(xué)教學(xué)的技術(shù).恰當(dāng)使用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)可以動(dòng)態(tài)化、可視化、形象化變式教學(xué)中的“變”，從而提高變式教學(xué)的效率.文章嘗試以等腰三角形一道習(xí)題及其變式拓展為例，在教學(xué)實(shí)踐中以“例題—條件變—條件與結(jié)論同時(shí)變”的變式主線為明線，以“例題—形狀變—位置變”的變式主線為暗線，融入Hawgent皓駿進(jìn)行課堂教學(xué)探究，期待為提高變式教學(xué)的效率提供參考.

一、“閃”“色”結(jié)合，明晰解法的多重性

一題多解性變式的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式反映條件和結(jié)論之間的必然本質(zhì)聯(lián)系.對(duì)于一題多解類(lèi)題目，傳統(tǒng)教學(xué)的處理方式相對(duì)生硬、呆板與滯后，其呈現(xiàn)的“靜態(tài)”不利于打破學(xué)生定勢(shì)思維的局限性.恰當(dāng)使用Hawgent皓駿的度量、標(biāo)記、顏色、動(dòng)畫(huà)等功能，不僅可以凸顯題目的條件與結(jié)論，還可動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)且有廣度地表征數(shù)量關(guān)系，拓寬學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性.

例如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上中點(diǎn)，點(diǎn)D到AB，AC的距離分別為DE，DF，則DE，DF有什么關(guān)系？

圖1

此題涉及等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，條件簡(jiǎn)單明了，難度不大，學(xué)生易證結(jié)論.但在常態(tài)課中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生審題，再尺規(guī)作圖，通過(guò)度量出線段長(zhǎng)度進(jìn)行猜想并證明結(jié)論.一方面，部分教師對(duì)于此類(lèi)題目?jī)H局限于學(xué)生會(huì)求解即可，忽視引導(dǎo)學(xué)生有廣度地深入探究問(wèn)題的本質(zhì)；另一方面，雖然部分教師意識(shí)到一題多解的重要性，但是傳統(tǒng)課堂的局限性使得探究結(jié)果僅浮于表面，學(xué)生只是從“學(xué)不會(huì)”轉(zhuǎn)向“學(xué)會(huì)”，并未從“不會(huì)學(xué)”轉(zhuǎn)向“會(huì)學(xué)”.運(yùn)用Hawgent皓駿，教師只需要通過(guò)拖動(dòng)功能，即可使等腰三角形具有一般性；通過(guò)顏色標(biāo)識(shí)和閃動(dòng)功能，多種表征方式刺激學(xué)生的視覺(jué)系統(tǒng)，激發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，啟發(fā)學(xué)生從多角度尋求解決問(wèn)題的方法.首先，拖動(dòng)點(diǎn)A，可任意改變等腰三角形的大小與形狀，使△ABC具有一般性，閃動(dòng)△BDE和△CDF，啟發(fā)學(xué)生從全等的角度證明線段相等（如圖2）；接著，連接AD，標(biāo)記并度量∠BAD和∠CAD，閃爍角平分線與角，凸顯線段與角的位置與數(shù)量關(guān)系；然后，再次拖動(dòng)點(diǎn)A，改變角的大小，引導(dǎo)學(xué)生利用角平分線的性質(zhì)證明結(jié)論（如圖3）；最后，用顏色分類(lèi)標(biāo)識(shí)各邊，分別閃動(dòng)線段與填充面，視覺(jué)上刺激學(xué)生思維，引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生從面積法的角度再次去證明線段全等（如圖4）.

圖2

圖3

圖4

二、“數(shù)”“形”相依，理解知識(shí)的生成性

如果說(shuō)一題多解是從材料的內(nèi)在培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，那么一題多變即是從材料的外在發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.一題多變即是在不改變題目實(shí)質(zhì)的情況下，對(duì)條件、結(jié)論等進(jìn)行改造，從不同方位揭示題目的本質(zhì)屬性.一題多變強(qiáng)調(diào)題目的層次性，變式后的題目與原題目的聯(lián)系性、啟發(fā)性會(huì)直接影響學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化.對(duì)于改變條件，結(jié)論截然相反的變式題目，傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖過(guò)于刻板與僵化，無(wú)法生動(dòng)、形象地實(shí)現(xiàn)原題到變式題“變”的過(guò)程，更無(wú)法直觀化結(jié)論的多重性.Hawgent皓駿可以動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“變”的過(guò)程，有效突破知識(shí)難點(diǎn)，動(dòng)態(tài)化、直觀化與明朗化隱匿的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生理解知識(shí)的形成、發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

變式1：如圖5，在△ABC中，AB≠AC，D為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D到AB，AC的距離分別為DE，DF，則DE，DF又有什么關(guān)系？

圖5

此題是對(duì)例題的條件進(jìn)行變式，即改變△ABC的形狀，涉及到三角形底邊中點(diǎn)的性質(zhì)和三角形面積等相關(guān)知識(shí)，題目條件較少，結(jié)論較隱晦.教師僅依托傳統(tǒng)的尺規(guī)作圖、板書(shū)講解題目，難以凸顯條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，不利于啟發(fā)學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)尋求解決問(wèn)題的正確方法.欲輕松破解此難點(diǎn)，Hawgent皓駿或許是有效的選擇.首先，度量各邊數(shù)據(jù)，通過(guò)拖動(dòng)點(diǎn)A，數(shù)形結(jié)合直觀化AB，AC，DE，DF各邊的關(guān)系與結(jié)論的雙重性（如圖6），引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類(lèi)討論的思想，猜想結(jié)論：當(dāng)AB＞AC時(shí)，DE＜DF；當(dāng)AB＜AC時(shí)，DE＞DF.接著，作出垂線AG，同時(shí)閃動(dòng)AG，BD，CD，可發(fā)現(xiàn)△ABD和△ACD是等底同高三角形（如圖7）；然后，用顏色分類(lèi)標(biāo)識(shí)各邊，進(jìn)一步閃動(dòng)線段與填充面，從數(shù)據(jù)、顏色、動(dòng)畫(huà)等多角度刺激學(xué)生的思維（如圖8）；最后，小組合作，引導(dǎo)學(xué)生用面積法理論證明歸納猜想得到的結(jié)論，使得學(xué)生對(duì)題目的本質(zhì)理解從感性層面上升到理性層面.

圖6

圖7

圖8

三、“動(dòng)”“靜”合一，把握結(jié)論的不變性

一般而言，幾何類(lèi)變式主線為：形狀→大小→位置.與形狀變相比，位置變則是更深層次的構(gòu)造.位置變可以使靜態(tài)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的問(wèn)題，而動(dòng)態(tài)題型較為抽象，知識(shí)綜合性強(qiáng)，且是中考的熱點(diǎn)、難點(diǎn).傳統(tǒng)課堂一般采用“想象”的方式模擬動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程或用尺規(guī)作圖靜態(tài)呈現(xiàn)圖形，學(xué)生理解起來(lái)較為吃力.Hawgent皓駿的合理使用則可有效彌補(bǔ)傳統(tǒng)課堂的短板，視覺(jué)化運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握動(dòng)點(diǎn)變中不變的特征，不僅提高了課堂效率，而且極大地促進(jìn)了學(xué)生思維的深刻性.

變式2：如圖9，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)（或BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)），點(diǎn)D到AB，AC的距離分別為DE，DF，點(diǎn)C到AB的距離為CG，則DE，DF，CG有什么關(guān)系？

圖9

此題是對(duì)例題的條件與結(jié)論同時(shí)進(jìn)行變式，也是對(duì)點(diǎn)D的位置進(jìn)行改變，涉及平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等量代換等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)、難度較大.由于傳統(tǒng)教學(xué)單一的表現(xiàn)形式，以及手動(dòng)作圖的煩瑣與低效等局限性，部分教師選擇采用“填鴨式”教學(xué)模式處理動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)，不利于對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與空間想象能力的培養(yǎng).而Hawgent皓駿的融入，為突破難點(diǎn)提供了可能，能夠?yàn)閷W(xué)生增效減負(fù).以點(diǎn)D在BC邊上為例，首先，拖動(dòng)點(diǎn)D，可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)D為極端值時(shí)，DE+DF=CG（如圖10）；接著，運(yùn)用Hawgent皓駿的度量與計(jì)算功能，再次拖動(dòng)點(diǎn)D，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，無(wú)論點(diǎn)D處于BC邊上任何位置，仍可得到結(jié)論DE+DF=CG（如圖11）；然后，引導(dǎo)學(xué)生小組合作交流，進(jìn)一步證明結(jié)論；最后，類(lèi)比點(diǎn)D在BC邊上，對(duì)點(diǎn)D在BC邊延長(zhǎng)線上的猜想與證明，得到結(jié)論DE-DF=CG（如圖12）.

圖10

圖11

圖12

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）強(qiáng)調(diào)，要以學(xué)生為主體，著眼于學(xué)生整體素質(zhì)的提高，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).《標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施后，新的教學(xué)模式層出不窮，尤其是變式教學(xué)受到了大部分教育工作者的推崇.數(shù)學(xué)變式教學(xué)模式，有效培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、全面性和創(chuàng)造性，提高了課堂教學(xué)效率.但是在變式過(guò)程中，數(shù)或形的細(xì)微變化卻有可能帶來(lái)截然相反的結(jié)論，傳統(tǒng)教學(xué)對(duì)于處理“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的知識(shí)常常費(fèi)時(shí)耗力，教學(xué)效果也不明顯.動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)的可視化、直觀化等特點(diǎn)恰好彌補(bǔ)了課堂實(shí)施變式教學(xué)的局限性，提高了變式教學(xué)的效率.此外，變式教學(xué)也為信息技術(shù)的融合提供了理論指導(dǎo).動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)與變式教學(xué)的有機(jī)結(jié)合，使得晦澀難懂的知識(shí)變得簡(jiǎn)單有趣，極大地促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，發(fā)展了學(xué)生的幾何直觀和推理能力.