正本清源，回歸本質(zhì)

牛獻(xiàn)禮 中學(xué)高級教師，小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，現(xiàn)任教于北京亦莊實驗小學(xué)。

曾于1999年榮獲全國小學(xué)數(shù)學(xué)第四屆評優(yōu)課一等獎：多節(jié)錄像課由中央電教館、河南省電教館、北京市電教館等單位發(fā)行;2012年12月，在中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會第十五屆年會上執(zhí)教觀摩課;在省級以上教育刊物上發(fā)表教學(xué)論文、案例等100多篇，40余篇論文獲省、市級以上獎勵，參與編著《名師如何觀察課堂》、《名師課堂DNA解碼》（小學(xué)數(shù)學(xué)卷）、《可以這樣教數(shù)學(xué)》（數(shù)學(xué)名師的教學(xué)智慧）等多本教育書籍，主持的5項教育科研成果獲省級一、二等獎。

【摘要】在以往“比的認(rèn)識”教學(xué)中，教師關(guān)注更多的是“比”概念的形式化解讀，教學(xué)設(shè)計一般是通過表示兩個數(shù)之間的相除關(guān)系引入比，造成學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中被動應(yīng)答，不能深刻理解“比”的本質(zhì)內(nèi)涵。筆者基于對“比”本源性的思考重新設(shè)計教學(xué)，從元概念“份”“倍數(shù)”出發(fā)，讓學(xué)生體會“變量中的函數(shù)關(guān)系”，揭示“比”的本質(zhì)意義。既實現(xiàn)了概念之間的關(guān)系溝通，也營造了主動探索的氛圍。再通過對一系列結(jié)構(gòu)化材料的辨析，進(jìn)一步豐富了學(xué)生對比的內(nèi)涵和外延的認(rèn)識。

【關(guān)鍵詞】比的認(rèn)識 倍數(shù)關(guān)系 函數(shù)思想 自主建構(gòu)

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)六年級上冊“認(rèn)識比”

教學(xué)思考：

“比”是一個重要的數(shù)學(xué)概念。在以往教學(xué)“比的認(rèn)識”時，教師關(guān)注更多的是“比”概念的形式化解讀，教學(xué)設(shè)計一般是通過表示兩個數(shù)之間的相除關(guān)系引入比，即先是兩個同類量的比的教學(xué)（如某班男、女生的人數(shù)），再是兩個不同類量的比的教學(xué)（如路程與時間），然后引導(dǎo)學(xué)生觀察、概括，著重說明上面的例了.都是通過除法來表示兩個數(shù)量間的關(guān)系.都可以用比來表示，在此基礎(chǔ)上概括出比的意義——兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比。接著，引導(dǎo)學(xué)生比較“比”與除法的區(qū)別，說明除法是一種求兩個數(shù)相除的商的運算，而“比”則表示兩個數(shù)之間的相除關(guān)系。然后，提供正例和反例（如球賽中的比分），進(jìn)一步加深學(xué)生對“比”概念的理解。這種設(shè)計突出了比與除法的聯(lián)系，但是，比的獨特性和優(yōu)越性卻體現(xiàn)不夠，學(xué)生對兩者的區(qū)別印象不深。另外，綜觀整個教學(xué)過程，教師提供信息、發(fā)出指令、解釋意義，學(xué)生讀取信息、回應(yīng)教師、建構(gòu)理解，在高效傳遞知識的同時，學(xué)生被置于被動應(yīng)答的狀態(tài)，缺乏積極參與、主動探索的熱情。顯然，這樣的形式化學(xué)習(xí)并不能讓學(xué)生深刻理解“比”概念的本質(zhì)。

那么“比”概念的本質(zhì)究竟是什么？如何改變學(xué)生被動應(yīng)答的局面，營造主動探索的氛圍呢？筆者從“比”概念的本源出發(fā)來思考，對“比”形成了如下認(rèn)識：

（1）比表示的是兩個數(shù)之間的一種關(guān)系?！氨取辈皇浅ㄟ\算，只是在求比值時才是除法。如3：2只是一種狀態(tài)，表示兩個變量之間的不變關(guān)系，而3÷2則是一種運算，二者在意義上不一樣。

（2）比為比例的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。這種比例關(guān)系，其含義遠(yuǎn)超“除法”。這就是說，小學(xué)里“比”的學(xué)習(xí)，不等于重學(xué)一遍除法。

（3）“比”原本是同類最的比較關(guān)系，但是也可以推廣到不是“同類量”的情形。不過，不同類量的比，不宜作為“比”的主要情境引入。這是因為，同類量之比是“源”，不同類量之比只是“流”。區(qū)別源流，分清主次，是概念教學(xué)的要義。比如：路程除以時間等于速度，明明是計算速度的除法問題，并沒有比較路程與時間大小的含義在內(nèi)。若用不同類量作為主要引例，就會顛倒了源流關(guān)系，增加了學(xué)生理解的難度。

基于上述思考，筆者進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計與實踐：

教學(xué)過程：

一、對接經(jīng)驗，認(rèn)識倍數(shù)關(guān)系的“比”

師：（板書課題：比的認(rèn)識）大家在哪兒聽說過比？

生1：金龍魚廣告1：1：1。

生2：足球比賽2：1。

師：看一看，這里會是誰和誰的比？

生：面粉和水。（板書）

師：做饅頭時，面粉和水的比是2：1。（板書：2：1）

師：大家知道2：1的意思嗎？

生：“2”就是放2份面粉，“1”就是放l份水。

師：如果面粉放100克，水應(yīng)該放幾克？

生：50克。

師：如果面粉放200克，水應(yīng)該放幾克？

生：100克。

師：如果面粉放500克，水應(yīng)該放幾克？

生：250克。

師：如果水放了500克，面粉應(yīng)該放幾克？

生：1000克。

師：觀察黑板上這些數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)面粉擴大幾倍，水也擴大幾倍。

師：面粉和水在不斷地發(fā)生變化，但不管怎么變化，有沒有不變的？

生：我發(fā)現(xiàn)面粉一直是水的2倍，水永遠(yuǎn)是面粉的二分之一。

師：說得真好！“比”由三部分組成，中間的“：”叫作比號，比號前面的數(shù)叫作前項，比號后面的數(shù)叫作后項。前項和后項可以不斷發(fā)生變化，但它們的倍數(shù)關(guān)系是不變的。

【思考】“比較兩個同類量的關(guān)系時，如果以b為單位來度量“，稱為a：b”，這是關(guān)于比的概念的本質(zhì)描述。如何讓學(xué)生體會這一本質(zhì)？筆者以“面粉與水的比是2：1”為例，引導(dǎo)學(xué)生理解“面粉是2份，水是l份”“面粉的質(zhì)量是水的2倍”……從元概念“份”“倍數(shù)”出發(fā)，遷移歸納，揭示“比”的本質(zhì)意義。學(xué)生充分經(jīng)歷了概念同化的過程，自然地將新知納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了概念之間的關(guān)系溝通。同時，引導(dǎo)學(xué)生思考：面粉1OO克，水應(yīng)該幾克？面粉200克，水應(yīng)該幾克？你有什么發(fā)現(xiàn)？……讓學(xué)生體會“變量中的函數(shù)關(guān)系”。顯然，函數(shù)思想的滲透還原了“比”的本質(zhì)。

二、辨析比較，深化對“比”的認(rèn)識

師：剛才我們認(rèn)識了“和面中的比”具有“前項和后項的倍數(shù)關(guān)系不變”的特點，老師還收集了一些比。

課件出示：

l.天安門圖片長和寬的比是4：3。（圖1）

2.一場足球比賽的比分是2：1。

3.攪拌混凝土，水泥、沙子和石子的比是2：3：0。

師：這些比有沒有這樣的變化特點呢？

（學(xué)生先獨立思考，然后小組交流，最后全班匯報）

生：照片中的比跟和面的2：1一樣，是有倍數(shù)關(guān)系的。如果長變成8，那么寬就變成6。

課件出示：在方格紙上顯示把照片放大，長：寬=8：6。（圖2）

師：如果長變成了8格，寬不變，會怎么樣？

生：照片就變形了，形狀會不一樣。（圖3）

課件顯示：印證學(xué)生的想法。

生：攪拌混凝土2：3：5也有這個特點，2：3：5可以是2噸、3噸、5噸，也可以是4噸、6噸、10噸。

師：你們同意嗎？還可以怎樣配混凝土原料的質(zhì)量？

生繼續(xù)舉例。

師：混凝土一共是10份，水泥、沙子、石子各占2份、3份、5份。想一想：如果不按這樣的關(guān)系攪拌混凝土，會發(fā)生什么情況？

生：會不牢固。

師：是呀！這樣的工程就會不安全。想一想，比在這里起到什么作用？

生：這個比就像是一個標(biāo)準(zhǔn)，按這個標(biāo)準(zhǔn)來攪拌混凝土，就會牢固。

師：說得好！比，就像是一把尺子。大家再看一下，這個比有3個數(shù)，你怎么看出倍數(shù)關(guān)系？（引導(dǎo)看出有3組倍數(shù)關(guān)系）像這樣的比，稱為連比（板書）。

師：還剩下比賽中的比分，有倍數(shù)關(guān)系嗎？

（學(xué)生之間有分歧）

生：我覺得沒有倍數(shù)關(guān)系，本來2：1是相差一個球，4：2就相差2個球了，不公平。

師：我有點聽懂你的意思了，如果能這樣變化，那比分是不是可以變成20：lO？

生：比分是不能這樣變化的，不公平。

師：比分的變化是沒有規(guī)律的，沒有倍數(shù)關(guān)系。另外，比賽的比分中可以出現(xiàn)O嗎？

生：可以。

師：比如足球比賽的比分是2：0，但和面中的面粉和水能是O嗎？

生：不能。如果面粉是O，那就只有水了;如果水是O，那就只有面粉了。沒法和成面了。

師：看來，比分只是比賽得分記錄而已（板書：得分記錄），并不是數(shù)學(xué)上要研究的有倍數(shù)關(guān)系的比。學(xué)習(xí)到這里，你覺得人們?yōu)槭裁聪矚g用比來表示數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系呢？好處在哪里？

生l：用比表示倍數(shù)關(guān)系比較簡單。

生2：用比表示比較清楚，一看就知道是多少。

【思考】概念教學(xué)既要求教師準(zhǔn)確把握新知的本質(zhì)和來龍去脈，又要求教師洞悉學(xué)生的疑惑之處，參透學(xué)生建構(gòu)新知的路徑與障礙。在上述教學(xué)中，教師通過用比賽中的比分來去偽存真，把學(xué)生帶入到塒“比”更深刻的思考，從而更為有效地溝通比和除法的關(guān)系;借助長方形圖片的長與寬的變化讓學(xué)生感悟“比源于度量”;而石子、沙子和水泥的關(guān)系從兩個量拓展到三個量，也就溝通了兩個量的比和三個量的比的關(guān)系，拓展了對比的意義的本質(zhì)理解，也提升了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解的深度。

三、適時拓展，豐富對“比”的認(rèn)識

課件出示：下面情境中的數(shù)量能用比來表示嗎？如果能，請你寫出來。

（l）嬰兒的頭長約占身高的1/4。

（2）小亮身高155cm，小明身高Im。

（3）從北京到上海的鐵路長約1500km.需要行駛5小時。

學(xué)生獨立思考、寫比，然后全班交流。

生：嬰兒的身高是4份，頭長占l份，所以，嬰兒的頭長和身高的比是l：4。

師：以頭長作為標(biāo)準(zhǔn)，頭長是l份，身高就有這樣的4份，頭長和身高的比就是1：4。

生1：小亮和小明身高的比是155：1。

生2：不對，單位要統(tǒng)一，應(yīng)該是1.55：1或者是155：100。

師：是的，用比來表示數(shù)量關(guān)系時，數(shù)量的單位要統(tǒng)一。

生l：第（3）個不能寫，因為單位不一樣了，1300km和5小時，這樣比出來不是倍數(shù)關(guān)系。

生2：我認(rèn)為能寫，因為1500km需要行駛5小時，就相當(dāng)于300km需要行駛1小時。（板書：1500：5.300：1）

師：這個比的前項是什么？后項是什么？

生：前項是路程，后項是速度。

師：這個比表示的確實不是倍數(shù)關(guān)系。路程：時間（板書：1500：5=300）得出的是一個新的量——速度，速度是300km/h。以前我們說“路程÷時間=速度”，今天學(xué)了比，我們還可以說“速度就是路程和時間的比”（板書）。請大家再推想一下，l小時行300km，會是什么交通工具？

生：高鐵。

師：速度是路程和時間的比，可以用比來幫助判斷。

【思考】好材料、好任務(wù)驅(qū)動學(xué)生自主建構(gòu)。嬰兒頭長占身高的1/4 ——實現(xiàn)了“比”與“分?jǐn)?shù)”概念之間的關(guān)系溝通，自然將新知納入已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識的貫通理解;小亮身高l55cm.小明Im——實現(xiàn)了從“同單位”到“不同單位”的變化.自主形成單位統(tǒng)一的認(rèn)識;從北京到上海全程l50Okm.行駛5小時——實現(xiàn)了從“同類量”到“不同類量”的變式，豐富了“比的類型”，由“倍數(shù)關(guān)系”擴展為“相除關(guān)系”，進(jìn)一步豐富了學(xué)生對比的內(nèi)涵和外延的認(rèn)識。

四、回顧反思，課堂總結(jié)

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對“比”有了哪些新的認(rèn)識？