數(shù)學(xué)抽象概括能力培養(yǎng)的方法與途徑

邵安

【摘要】發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，要求學(xué)生應(yīng)具備數(shù)學(xué)核心能力，而抽象概括能力是首要的數(shù)學(xué)核心能力.本文從四個(gè)方面闡述了有效培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)抽象概括能力的方法與途徑，并指出：這種能力的提高將具有重大的積極意義.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);抽象概括能力;方法與途徑

有效教學(xué)一直是每位教師在教學(xué)中所追求的目標(biāo)，教師進(jìn)行有效教學(xué)的最終動機(jī)來自內(nèi)在動機(jī)，即他們對所教學(xué)科和教學(xué)工作的熱愛以及對學(xué)生學(xué)習(xí)和成長的關(guān)注[1]，這就需要教師傳授基本知識和基本技能的同時(shí)，也應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)思維的訓(xùn)練.《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一[2].2014年3月，教育部印發(fā)《關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》，提出“學(xué)生應(yīng)具備適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力[3]”，而這種關(guān)鍵能力就是數(shù)學(xué)核心能力，它包含抽象概括、邏輯推理、空間想象、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等5大能力，其中的抽象概括能力是首要的數(shù)學(xué)核心能力.數(shù)學(xué)抽象是指舍棄非本質(zhì)的屬性或特征，抽取出共同的、本質(zhì)的屬性或特征的思維過程.而當(dāng)下高中，師生對數(shù)學(xué)抽象概括能力的認(rèn)識如何呢？形勢不容樂觀.所以說，提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力是一個(gè)刻不容緩的重大課題，那么，如何在日常的教學(xué)活動中有效地培養(yǎng)學(xué)生這個(gè)能力呢？下面來探討一下培養(yǎng)的方法與途徑.

一、概念教學(xué)從具體上升到抽象

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，比如，函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、異面直線所成的角等等，新課中概念課的教學(xué)是一個(gè)很好的培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力的途徑.而數(shù)學(xué)概念的教學(xué)不能僅僅只是傳授一個(gè)定義或結(jié)論，而應(yīng)當(dāng)是一個(gè)從特殊到一般的引出過程，先通過實(shí)例、圖形對概念獲得初步的感性認(rèn)識，然后對這些實(shí)例、圖形進(jìn)行分析、比較，抽象概括出概念的本質(zhì)屬性，上升到理性認(rèn)識.比如，在講解函數(shù)概念時(shí)，可以先列舉出一些實(shí)例，教師通過提問、引導(dǎo)，學(xué)生討論交流，最后總結(jié)出函數(shù)的概念.

二、總結(jié)方法從特殊歸納到一般

如果說概念教學(xué)是從知識點(diǎn)上培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，那么從方法論上也能達(dá)到同樣的目的.比如，教師在講解“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”后，如何讓學(xué)生牢固地記住這些繁多難記的公式呢？可讓學(xué)生先自主地探究這些公式的規(guī)律，然后總結(jié)出“奇變偶不變，符號看象限”這一高度概括;比如，在講解“三角函數(shù)恒等變換與化簡”時(shí)，很多學(xué)生在面對各式各樣的三角函數(shù)式時(shí)不知何從下手，教師在講完這些題目后，可讓學(xué)生分組討論這些解法的共同特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般性結(jié)論：“高次就降冪，見積化和差，見和差化積，化了再分析”;在新課教學(xué)講解例題時(shí)，可將這道題的解法上升到一般的通法.比如，在傳授“定義法證明函數(shù)單調(diào)性”時(shí)，可以通過一個(gè)例題的講解，引導(dǎo)學(xué)生概括出證明單調(diào)性的一般步驟：（1）設(shè)值，（2）作差，（3）變形，（4）定號，（5）定論.通過這種對解題通法的總結(jié)，能對學(xué)生的抽象概括能力起到很好的培養(yǎng)作用.

三、知識遷移中培養(yǎng)抽象概括能力

數(shù)學(xué)知識之間不是孤立的，而是具有很強(qiáng)的相關(guān)性與相似性，所以教師在講解新知之前，可以先讓學(xué)生回顧相關(guān)的舊知，使學(xué)生在充分利用這些相關(guān)性和相似性的基礎(chǔ)之上抽象概括出新知.例如，在講“雙曲線的幾何性質(zhì)”時(shí)，可先讓學(xué)生歸納一下已學(xué)的橢圓的幾何性質(zhì)，再推理、概括出雙曲線的一系列類似性質(zhì)，并總結(jié)兩者在幾何性質(zhì)上的異同點(diǎn);又如，空間向量這節(jié)課，可通過翻轉(zhuǎn)課堂讓學(xué)生在類比平面向量的概念、運(yùn)算法則等相關(guān)知識，再推廣到空間向量.同樣，在學(xué)完復(fù)數(shù)內(nèi)容后，讓學(xué)生都總結(jié)一下復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，等等.通過這些途徑，既能在知識遷移中培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，又能使所學(xué)的新知得到了鞏固和升華.

四、知識拓展中培養(yǎng)抽象概括能力

知識拓展就是在對原有知識的消化和吸收上再進(jìn)行延伸和拔高，這就需要學(xué)生先充分挖掘出知識的本質(zhì)屬性，抽象概括出一般規(guī)律，再將其拓展和推廣，這樣既鞏固了學(xué)生對原有的知識的理解，而且使學(xué)生有了對知識的獲得感，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣.比如，在講授“復(fù)數(shù)”新課時(shí)，可這樣引入：

師：在小學(xué)時(shí)，我們在自然數(shù)的基礎(chǔ)上可以解方程：x+2=3，到了初中，遇到這樣的方程：x+3=2，我們引入負(fù)數(shù)后，將數(shù)的范圍擴(kuò)大到整數(shù)才能求解，而整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).后來發(fā)現(xiàn)x2=3在有理數(shù)范圍內(nèi)又解不了，于是我們引入了無理數(shù)，這時(shí)方程可解了，于是數(shù)的范圍就推廣到實(shí)數(shù).那么，每當(dāng)我們面臨一個(gè)棘手的問題時(shí)，都是怎樣解決的？誰能概括一下有什么規(guī)律？

生：引入新數(shù)，將數(shù)的范圍擴(kuò)大.

師：完全正確.但這個(gè)方程：x2=-1，怎么解呢？

這樣就很自然的一步一步導(dǎo)出復(fù)數(shù)的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷這種知識拓展的過程，既能使學(xué)生了解一些有趣的數(shù)學(xué)史，又能在這種過程中訓(xùn)練學(xué)生的抽象概括能力，一舉多得.

總之，數(shù)學(xué)具有高度的抽象性，而高度的抽象必然伴隨高度的概括，數(shù)學(xué)抽象概括能力是數(shù)學(xué)思維能力的核心，所以，教師在教學(xué)中要通過各種方法培養(yǎng)這種能力，從思想上高度重視，并貫徹落實(shí)到日常的教學(xué)中，這不僅訓(xùn)練了學(xué)生的思維，而且能達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Ballantyne R，et al.Researching University Teaching in Australia：Themes and Issues in Academics Reflections[J].Studies in Higher Education，1999（24）：237-257.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]王姣姣.學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)教師讀本[M].天津：天津教育出版社，2017.