積分中換元法的教學(xué)認(rèn)識(shí)

馬忠蓮

【摘要】第一換元積分法和第二換元積分法是求解函數(shù)不定積分非常重要的兩種思想和方法.本文探討出求積分中應(yīng)用換元積分法的基本思路是函數(shù)化為變量或變量化為函數(shù)，強(qiáng)調(diào)這個(gè)基本思路是學(xué)生深刻理解和有效應(yīng)用換元積分法的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用換元積分法的意識(shí)，并能較快區(qū)分使用第一換元積分法與第二換元積分法，使之靈活應(yīng)用的關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】積分;第一換元;第二換元;本質(zhì)

換元積分法是最常用的求積分方法，在此內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)分析”或“高等數(shù)學(xué)”都用了大量的篇幅來(lái)講解換元積分法，教師也會(huì)在這個(gè)地方花費(fèi)很多時(shí)間來(lái)講解該內(nèi)容，實(shí)踐證明學(xué)生對(duì)換元積分法的理解與把握是存在很大難度的.主要表現(xiàn)在學(xué)生對(duì)換元思想的理解處于片段式理解，沒能抓住第一、第二換元方法的實(shí)質(zhì)，故而感覺內(nèi)容多、方法多而難快速、準(zhǔn)確地把握和應(yīng)用.傳統(tǒng)教研中，利用這兩種方法無(wú)論是在思考問(wèn)題的思路上，還是在適合解決問(wèn)題的分類上都區(qū)分得很清楚，這種清楚的區(qū)分導(dǎo)致?lián)Q元法在積分中的應(yīng)用復(fù)雜多變，不易找到變化的基本思路和本質(zhì)，不易靈活應(yīng)用換元積分法.筆者認(rèn)為要解決換元積分法的教學(xué)難題，做到快而準(zhǔn)地理解應(yīng)用換元積分法是引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)換元的基本規(guī)律與道理，強(qiáng)調(diào)并讓學(xué)生緊緊抓住函數(shù)化為變量或變量化為函數(shù).

無(wú)論是第一換元積分法還是第二換元積分法其基本規(guī)律與道理是：函數(shù)化為變量或變量化為函數(shù).在講授該內(nèi)容時(shí)，若將第一換元和第二換元割裂來(lái)講，不但學(xué)生在把握第一換元有難度，到學(xué)習(xí)第二換元法時(shí)幾乎是要耗費(fèi)很大的精力，掌握的效果也不一定好.實(shí)踐證明、強(qiáng)調(diào)掌握兩種換元基本規(guī)律與道理：函數(shù)化為變量或變量化為函數(shù)是把握換元積分法的最有效方法.

對(duì)比定理一和定理二，教學(xué)中強(qiáng)調(diào)兩種換元方法其實(shí)質(zhì)就是函數(shù)和變量的互換，可表為：函數(shù)變量.無(wú)論是第一換元法從左到右，第二換元從右到左，目的都是能用基本四則運(yùn)算、10組積分公式和一些數(shù)學(xué)基本常用轉(zhuǎn)化公式求出積分.教學(xué)中沒有必要去刻意區(qū)分第一換元與第二換元.[2]

對(duì)比例1和例2可見兩個(gè)換元積分法沒有必要去強(qiáng)調(diào)區(qū)分出來(lái)，根據(jù)題目需要，或把函數(shù)轉(zhuǎn)化為變量，還是把變量轉(zhuǎn)化為函數(shù)，其目的都是解決實(shí)際問(wèn)題.只要具備了第一換元法和第二換元法的基本思想：函數(shù)化為變量或變量化為函數(shù)，就能迅速有效地應(yīng)用兩種換元.以往的教學(xué)模式把兩種換元割裂教學(xué)實(shí)質(zhì)是增加了問(wèn)題的復(fù)雜性.實(shí)踐證明，在教學(xué)中抓住兩種換元的本質(zhì)是通過(guò)函數(shù)化為變量或變量化為函數(shù)，來(lái)改變積分的形態(tài)，從而達(dá)到能充分地運(yùn)用四則運(yùn)算和10組積分基本公式和其他數(shù)學(xué)常用公式來(lái)求解，理解、掌握該思想方法是學(xué)習(xí)把握求解積分的有效方法.

定積分的所有做法和不定積分一一對(duì)應(yīng).

該題就是應(yīng)用了第一換元化函數(shù)為變量，使得無(wú)理函數(shù)轉(zhuǎn)化成了有理函數(shù)來(lái)求解.

教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解決問(wèn)題的方法：有化煩瑣為簡(jiǎn)單的第一換元法，也有化簡(jiǎn)單量為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的第二換元法.其思想方法都是利用轉(zhuǎn)換：函數(shù)變量，或是函數(shù)變量，或是變量函數(shù)，目的都是用已知探求未知.通過(guò)應(yīng)用已知的積分10組公式和四則運(yùn)算，或是已知的常用基本數(shù)學(xué)公式探求出未知的、復(fù)雜的不定積分.

【參考文獻(xiàn)】

[1]畢力格圖，常桂花.關(guān)于換元積分法的探究[J].綏化學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（4）：164-165.

[2]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義.上冊(cè)（第五版）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[3]侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)（第四版）練習(xí)冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[4]林嬌燕.換元法求定積分的巧用[J].當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2017（8）：34-36.