淺析積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

王巖巖+劉偉

[摘 要]積分理論從幾何學(xué)和物理學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題引出，在科學(xué)技術(shù)上獲得了廣泛的應(yīng)用。微元法是分析、解決幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。生活中的許多實(shí)際問(wèn)題都可用微元法把所求量以定積分的形式表示出來(lái)。微元法體現(xiàn)的是一種極限思想，有利于發(fā)展我們的思維，促進(jìn)我們鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)，對(duì)自然科學(xué)的學(xué)習(xí)和研究都很有幫助。

[關(guān)鍵詞]積分；積分中值定理；微元法

[中圖分類號(hào)] [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2016）06-0167-02

積分理論是從幾何學(xué)和物理學(xué)中的實(shí)際問(wèn)題引出的，在科學(xué)技術(shù)上獲得了廣泛的應(yīng)用， 從而得到了快速的發(fā)展。為了能更有效地運(yùn)用積分，人們往往采用比較簡(jiǎn)捷的微元法對(duì)事物進(jìn)行分析。

微元法是分析、解決幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用微元法使一些復(fù)雜的過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的規(guī)律，可以快速地解決有關(guān)積分的問(wèn)題。因此，學(xué)生掌握好微元法對(duì)學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》課程及實(shí)際應(yīng)用具有重要的意義。

一、定積分中微元法的理論分析

（一）微元法的本質(zhì)

微元法是定積分計(jì)算思想的簡(jiǎn)化。它把定積分求解過(guò)程中的分割、近似代替、作和、取極限四步濃縮為兩步，即化整為零求微元，積零為整求總量。應(yīng)用定積分解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常并不是通過(guò)我們所熟知的“分割，近似求和，取極限”等經(jīng)典步驟獲取定積分表達(dá)式的，而是利用更簡(jiǎn)單的微元法得到定積分表達(dá)式。微元法思想是微積分的主要思想，它在處理各類積分應(yīng)用問(wèn)題中是一脈相通的，也是學(xué)生學(xué)好各類積分的理論依據(jù)。

（二）定積分中微元法的應(yīng)用條件

選取微元時(shí)應(yīng)遵從的基本原則：

（1）φ是與某個(gè)變量的變化區(qū)間[a，b]有關(guān)的量；

（2）所求量φ關(guān)于分布區(qū)間[a，b]必須是代數(shù)可加的；（注：對(duì)于矢量，如力、動(dòng)量等，由于矢量的加減法不滿足代數(shù)可加性，所以遇到這種情況，是不能直接用微元法的，但可以進(jìn)行力的分解，使各個(gè)分力在同一條直線上）

（3）微元法的關(guān)鍵是正確給出Δφ的近似表達(dá)式：

Δφ≈f（x）dx；Δφ-f（x）Δx=o（Δx）。

通常情況下，要驗(yàn)證Δφ-f（x）Δx為Δx的一個(gè)高階無(wú)窮小量是比較困難的。因此找微元時(shí)，要特別謹(jǐn)慎。

（三）微元法在定積分中的應(yīng)用步驟

微元法解決定積分應(yīng)用問(wèn)題的步驟如下：

（1）確定積分分布區(qū)間[a，b]，大多采用投影法（如求曲邊梯形面積時(shí)，可以將梯形的曲邊投影到x軸上；求楔體體積時(shí)，可以將楔體投影到平面xOy上或者yOz上等）；

（2）找出微元dφ。在分布區(qū)間（積分區(qū)間）[a，b]上任取一點(diǎn)x，把該點(diǎn)x看做一個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度為dx，則該點(diǎn)x對(duì)應(yīng)的微元dφ一般是關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)f（和所求量φ有關(guān)）與dx的乘積，即dφ=f（x）dx；

二、積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

（一）經(jīng)濟(jì)問(wèn)題

某工廠技術(shù)人員告訴他的老板某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量關(guān)于時(shí)間的變化率為R′（t）=50+5t-0.6t2，現(xiàn)在老板想知道4個(gè)小時(shí)內(nèi)他的工人到底能生產(chǎn)出多少產(chǎn)品。如果我們假設(shè)這段時(shí)間為[1，5]，生產(chǎn)的產(chǎn)品總量為R，則總產(chǎn)量R在t時(shí)刻的產(chǎn)量，即微元dR=R′（t）dt=（50+5t-0.6t2）dt。因此，在[1，5]內(nèi)總產(chǎn)量為

（二）壓縮機(jī)做功問(wèn)題

在生產(chǎn)生活過(guò)程中，壓縮機(jī)做功問(wèn)題由于關(guān)系到能源節(jié)約問(wèn)題，因此備受大家關(guān)注。假設(shè)地面上有一個(gè)底半徑為5 m， 高為20 m的圓柱形水池， 往里灌滿了水。如果要把池中所有的水抽出，則需要壓縮機(jī)做多少功？此時(shí)，由于考慮到池中的水被不間斷地抽出，可將抽出的水分割成不同的水層。同時(shí)， 把每層的水被抽出時(shí)需要的功定義為功微元。這樣，該問(wèn)題就可通過(guò)微元法解決了。 具體操作如下： 將水面看做是原點(diǎn)所在的位置， 豎直向下做x軸。當(dāng)水平從x處下降了dx時(shí)， 我們近似地認(rèn)為厚度為dx的這層水都下降了x，因而這層水所做的功微元dw≈25πxdx（J）。當(dāng)水被完全抽出， 池內(nèi)的水從20 m下降為 0 m。根據(jù)微元法， 壓縮機(jī)所做的功為W=25πxdx=15708（J） 。

（三）液體靜壓力問(wèn)題

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，為了保證農(nóng)田的供水，常常需要建造各種儲(chǔ)水池。因此，我們需要了解有關(guān)靜壓力問(wèn)題。在農(nóng)田中有一個(gè)寬為 4 m， 高為3 m， 且頂部在水下 5 m的閘門， 它垂直于水面放置。此閘門所受的水壓力為多少？我們可以考慮將閘門分成若干個(gè)平行于水面的小長(zhǎng)方體。此時(shí)， 閘門所受的壓力可看做是小長(zhǎng)方體所受的壓力總和。 當(dāng)小長(zhǎng)方體的截面很窄的情況下， 可用其截面沿線上的壓強(qiáng)來(lái)近似代替各個(gè)點(diǎn)處的壓強(qiáng)。 任取一小長(zhǎng)方體，其壓強(qiáng)可表示為1·x=x， 長(zhǎng)方體截面的面積為ΔA=4dx， 從而ΔF≈x·4dx， 進(jìn)一步， 有

利用微元法求解定積分，還可以解決很多實(shí)際工程問(wèn)題，關(guān)鍵是要掌握好換“元” 的技巧。這就需要我們解決問(wèn)題時(shí)，要特別注意思想方法。思想方法形式多種多樣，如以直代曲、以均勻代不均勻、以不變代變化等。

三、重積分的應(yīng)用

重積分是研究曲面面積、求空間物體體積、計(jì)算物體的質(zhì)量和解決一些實(shí)際問(wèn)題等方面的有力工具。

微元法是分析、解決幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。生活中的許多實(shí)際問(wèn)題都可用微元法把所求量以定積分的形式表示出來(lái)。 我們?cè)谑褂眠@種方法時(shí)，要把問(wèn)題的共性和特性聯(lián)系在一起。 這樣才能靈活運(yùn)用微元法， 并加強(qiáng)我們對(duì)已知規(guī)律的再思考。另一方面，微元法體現(xiàn)的是一種極限思想，這種極限思想有利于發(fā)展我們的思維，培養(yǎng)我們的能力，對(duì)自然科學(xué)的學(xué)習(xí)和研究有很大的幫助。

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[責(zé)任編輯：鐘偉芳]