基于等誤差阿基米德螺線法的渦旋型線的擬合算法研究*

劉 濤,李銀萍

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

0 引言

渦旋型線是分析渦旋壓縮機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和加工的關(guān)鍵[1]，其決定了渦旋壓縮機(jī)行程容積、載荷和泄露線長(zhǎng)度等，從而最終影響壓縮機(jī)的效率，故對(duì)渦旋型線的研究愈來(lái)愈成為近年來(lái)關(guān)注的焦點(diǎn)之一。

加工渦旋盤時(shí)，逼近渦旋型線的方式和擬合點(diǎn)的數(shù)量決定了渦旋齒渦旋型線的輪廓度[2]。對(duì)于組合渦旋型線這種既非直線又非圓弧的曲線，采用直線段或圓弧段去擬合時(shí)，過(guò)多的擬合點(diǎn)或者較大的擬合誤差使得加工難度與工作量較大，加工較費(fèi)時(shí)，導(dǎo)致加工效率不高或加工精度較低[3-4]。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出等誤差阿基米德螺線逼近三段基圓漸開(kāi)線組合型線，以期有效提高計(jì)算精度，減少節(jié)點(diǎn)數(shù)目，滿足生產(chǎn)需要。

1 渦旋型線的數(shù)學(xué)模型

為了追求更大的壓縮比，渦旋型線已從最初的單一的圓漸開(kāi)線發(fā)展到現(xiàn)在的組合型線[5]。變截面渦旋盤母線可由三段基圓漸開(kāi)線組合型線構(gòu)成，在母線基礎(chǔ)上可生成渦旋盤內(nèi)外壁型線。渦旋盤型線方程為：

內(nèi)壁第一段基圓漸開(kāi)線：

(1)

內(nèi)壁第二段基圓漸開(kāi)線：

內(nèi)壁第三段基圓漸開(kāi)線：

外壁第一段基圓漸開(kāi)線：

(4)

外壁第二段基圓漸開(kāi)線：

外壁第三段基圓漸開(kāi)線：

式中，a1為第一段、第三段基圓漸開(kāi)線的基圓半徑；a2為第二段基圓漸開(kāi)線的基圓半徑；Ror為回轉(zhuǎn)半徑；φ為展角變量。取a1=2.890mm，a2=4.169mm，Ror=5.06mm，φ1=2π，φ2=4π，φ3=6π。根據(jù)以上解析式及給定的參數(shù)，利用MATLAB 軟件，繪制出三段基圓漸開(kāi)線渦旋型線圖如圖1所示。

圖1 三段基圓漸開(kāi)線渦旋型線圖

2 等誤差阿基米德螺線擬合原理與方法

2.1 擬合原理

在圖2所示的坐標(biāo)系中，給定某一段工件輪廓曲線，其極坐標(biāo)方程表示為：ρ=I(θ)

(7)

為了加工出該曲線，本文擬采用阿基米德螺線[7]來(lái)逼近。取輪廓曲線上任一分段PiPi+1，過(guò)點(diǎn)P(θi,ri)，P(θi+1,ri+1)，作一條阿基米德螺線用來(lái)逼近漸開(kāi)線，其方程為：

r=A(θ)=r0+Kθ

(8)

其中，K為阿基米德螺旋線系數(shù)，表示每旋轉(zhuǎn)1°時(shí)極徑的增加(或減小)量，可根據(jù)P(θi,ri)，P(θi+1,ri+1)兩點(diǎn)計(jì)算得出：

(9)

以式(8)描述的阿基米德螺線來(lái)逼近漸開(kāi)線時(shí)產(chǎn)生的極徑之差即為逼近誤差ε，則：

ε=|I(θ)-A(θ)|=|I(θ)-(r0+Kθ)|

(10)

圖2 阿基米德螺線擬合原理圖

2.2 擬合算法

利用阿基米德螺線逼近方程曲線時(shí)，擬合節(jié)點(diǎn)的數(shù)目和極坐標(biāo)值主要決于曲線的特性和逼近線段的形狀及逼近的允許誤差，所選的逼近方法應(yīng)該使得節(jié)點(diǎn)數(shù)少，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果精確，因此采用等誤差阿基米德螺線法逼近渦旋型線，即在每個(gè)分段中，令其擬合誤差都相等。

采用等誤差阿基米德螺線法逼近渦旋型線進(jìn)行節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算，關(guān)鍵在于坐標(biāo)增量Δri與Δθi的計(jì)算。將曲線極徑分成若干段，相鄰兩點(diǎn)P(θi,ri)，P(θi+1,ri+1)的極徑相差△r，則：

(11)

其計(jì)算過(guò)程是，首先設(shè)定擬合誤差等于允許誤差[ε]，由P0點(diǎn)開(kāi)始，根據(jù)式(11)利用MATLAB軟件編程得到滿足條件的坐標(biāo)增量Δr0、Δθ0和P1點(diǎn)極坐標(biāo)P1(θ1,r1)，再以P1點(diǎn)為新的插補(bǔ)點(diǎn)，以同樣的方法確定坐標(biāo)增量Δr1、Δθ1和下一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)P2(θ2,r2)，重復(fù)以上計(jì)算過(guò)程，如此得到所有離散點(diǎn)的極坐標(biāo)值，節(jié)點(diǎn)數(shù)目共計(jì)i個(gè)，將這些離散的點(diǎn)連接起來(lái)，即為擬合后的曲線。等誤差阿基米德螺線擬合流程圖如圖3所示。

3 擬合三段基圓漸開(kāi)線渦旋型線的實(shí)現(xiàn)

圖3 等誤差阿基米德螺線擬合算法流程圖

取已給出的組合渦旋型線作為待擬合曲線，設(shè)定基于等誤差阿基米德螺線擬合方法擬合的允許誤差[ε]=0.001mm。渦旋型線上任意節(jié)點(diǎn)的極坐標(biāo)Pi(θi,ri)可根據(jù)型線在直角坐標(biāo)系下的方程計(jì)算得出：

(12)

由式(12)和渦旋型線方程可知，極角θ與極徑r均與渦旋型線發(fā)生角φ存在關(guān)系，故只需確定渦旋型線相鄰兩節(jié)點(diǎn)差值Δφ，便可求得確定坐標(biāo)增量Δri、Δθi和擬合節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)Pi(θi,ri)。其擬合節(jié)點(diǎn)部分計(jì)算結(jié)果如表1所示，渦旋型線擬合節(jié)點(diǎn)圖如圖4所示。

表1 等誤差阿基米德螺線法擬合型線部分節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及Δφ取值

圖4 渦旋型線擬合節(jié)點(diǎn)圖

為了深入分析本文提出的等誤差阿基米德螺線逼近渦旋型線方法的特點(diǎn)，將其與傳統(tǒng)的等間距阿基米德螺線逼近渦旋型線方法[8]進(jìn)行對(duì)比。等間距阿基米德螺線擬合方法擬合曲線時(shí)要求允許誤差[ε]≤0.001mm，由此采用等誤差阿基米德螺線逼近渦旋型線方法擬合渦旋型線時(shí)可設(shè)定允許誤差[ε]=0.001mm，即兩種方法的初始擬合誤差均為ε=0.001mm，以渦旋型線內(nèi)圈第一段基圓漸開(kāi)線的初始部分為例，分別用兩種方法實(shí)現(xiàn)型線的擬合，其起始點(diǎn)坐標(biāo)為(1.0809，6.1424)，如表2所示。利用MATLAB編程計(jì)算可得初始發(fā)生角差值Δφ0=0.76，從表2可以看出，在滿足誤差的前提下，采用等誤差阿基米德螺線逼近渦旋型線方法相較于等間距阿基米德螺線逼近渦旋型線方法，Δφ的取值在不斷變化，從而可以快速準(zhǔn)確的確定最佳擬合節(jié)點(diǎn)，計(jì)算精度較高。再者，當(dāng)Δφ越大，節(jié)點(diǎn)數(shù)目會(huì)隨之減少。同理，用等誤差阿基米德螺線方法擬合各段渦旋型線。表3為各段型線擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)，采用等間距阿基米德擬合算法的節(jié)點(diǎn)共計(jì)327個(gè)，而等誤差阿基米德擬合算法的節(jié)點(diǎn)為179個(gè)點(diǎn)，比等間距阿基米德擬合少43.5%，其中擬合第一段型線的節(jié)點(diǎn)數(shù)減少量尤為明顯。由此可知，等誤差阿基米德擬合方式在保證誤差合理地范圍內(nèi)擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)目更少，占用內(nèi)從小，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，可進(jìn)一步的縮短加工程序，提高數(shù)控機(jī)床的加工效率。

表2 阿基米德螺線擬合渦旋型線擬合方法對(duì)比

表3 渦旋型線各段型線擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)目

4 結(jié)論

本文提出利用等誤差阿基米德螺線法逼近三段基圓漸開(kāi)線渦旋型線，并將其與等間距阿基米德螺線擬合方法進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)等誤差阿基米德螺線逼近加工曲線的計(jì)算精度較高，擬合節(jié)點(diǎn)數(shù)相對(duì)較少，可以滿足數(shù)控系統(tǒng)高速實(shí)時(shí)性的要求，有效提高加工效率。