基于數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)與提升

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 施利文

一、問題的提出

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》一文中，對于“課程基本理念”這一部分第一次創(chuàng)新性地提出：“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”.高中階段，結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，歸納總結(jié)出了六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.

其中，對于數(shù)學(xué)抽象這一重要的核心素養(yǎng)，其是指舍去事物的一切物理屬性，進而得到數(shù)學(xué)研究對象的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想，也是一種特殊素養(yǎng)，是貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的一條隱形思維鏈條.那么如何在數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)解題的過程中進行有效、合理、科學(xué)地培養(yǎng)與提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象呢？

二、問題的解決

1.從概念入手進行數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)概念是對具體的數(shù)學(xué)問題進行抽象與概括，從實際問題中區(qū)分、抽象、歸納、總結(jié)出研究對象的本質(zhì)特征，通過合理抽象、科學(xué)概括、合理歸納，從而得以認識和理解所研究的數(shù)學(xué)對象與數(shù)學(xué)問題，最后再結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法來進行分析與處理.

例1（2019屆江蘇省常州市武進區(qū)高三第一學(xué)期期中考試·14）若正實數(shù)x，y滿足x2-xy+y2=9，且|x2-y2|＜9，則xy的取值范圍為______.

分析：根據(jù)條件引入?yún)?shù)，利用雙變量換元法進行處理，把取值范圍問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的不等式問題，通過求解相應(yīng)的二次不等式來求解對應(yīng)的代數(shù)式的取值范圍，即可確定xy的取值范圍.

解：設(shè)x-y=m，xy=n＞0.

由x2-xy+y2=9，整理有（x-y）2+xy=9，可得m2+n=9，從而n=9-m2≤9.

又|x2-y2|2=（x+y）2（x-y）2=［（x-y）2+4xy］（x-y）2=（m2+4n）m2＜81，

所以將m2=9-n代入，整理有（9+3n）（9-n）＜81，解得n＜0（舍去）或n＞6.

綜上所述，n∈（6，9］，即xy∈（6，9］.

故填答案：（6，9］.

點評：涉及代數(shù)式相關(guān)值的求解或取值范圍問題，經(jīng)常通過引入?yún)?shù)來處理與轉(zhuǎn)化.結(jié)合題目條件，通過數(shù)學(xué)抽象，借助參數(shù)的引入并賦值，再利用參數(shù)的運算，通過待定系數(shù)法的應(yīng)用，借助二次不等式的求解來達到確定相應(yīng)的代數(shù)式的取值范圍的目的.在函數(shù)與方程的有效轉(zhuǎn)化與綜合的過程中，巧妙地滲透著數(shù)學(xué)抽象思維及其應(yīng)用.

2.從公式入手進行數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)公式是從數(shù)學(xué)過程中抽象并歸納出來的，利用數(shù)量關(guān)系、參數(shù)關(guān)系、邏輯關(guān)系及其他相應(yīng)關(guān)系總結(jié)與歸納出來的.因此利用數(shù)學(xué)公式中所包含的數(shù)學(xué)抽象來破解相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，也是數(shù)學(xué)抽象的反饋與應(yīng)用.

例2（2018·全國Ⅱ理·15）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，則sin（α+β）=______.

分析：借助條件給出兩個相應(yīng)的三角函數(shù)的關(guān)系式，利用三角函數(shù)公式，通過具體的特殊角加以特殊化處理，先入為主，進而在特殊角的情況下確定相應(yīng)的三角函數(shù)值的取值.

解：根據(jù)填空題的特征，其答案具有一般性——定值，那么可以借助三角函數(shù)公式，取特殊角來處理：α=150°，β=60°.

點評：借助三角函數(shù)公式，以特殊代表一般，進而達到求解的目的.在處理一些選擇題或填空題時，經(jīng)常借助數(shù)學(xué)公式加以數(shù)學(xué)抽象，先入為主，巧妙地構(gòu)造滿足公式的特殊值來進行轉(zhuǎn)化與處理，達到以特殊代表一般的目的.從而巧妙地省去中間的三角恒等變換，簡化運算，提升效益.

3.從圖形入手進行數(shù)學(xué)抽象

從數(shù)學(xué)圖形中反映并抽象出數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)數(shù)量、數(shù)學(xué)參數(shù)等之間的關(guān)系，以及變化規(guī)律、基本性質(zhì)等.借助數(shù)學(xué)圖形，可以從中抽象出一般性的規(guī)律與結(jié)構(gòu)，進而為破解數(shù)學(xué)問題指明方向與提供條件.

例3孔明鎖，也叫魯班鎖，是廣泛流傳于中國民間的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu).圖1是六柱孔明鎖，由6根相同的開槽（即榫卯結(jié)構(gòu)）的正四棱柱組合而成.圖2中的邊長為1的正方形網(wǎng)絡(luò)中粗線畫出的是該六柱孔明鎖的正視圖，則該六柱孔明鎖的表面積為______.

圖1

圖2

分析：借助數(shù)學(xué)文化的闡述，對于復(fù)雜圖形的表面積問題，可以借助于三視圖中的投影圖形加以數(shù)學(xué)抽象并進行歸納總結(jié)，利用投影面積的計算來達到目的.

解：由六柱孔明鎖的正視圖可知，投影面積為10×4+2×3×2=52.

而六柱孔明鎖的所有表面共由6個投影面組成，所以該六柱孔明鎖的表面積為52×6=312.

故填答案：312.

點評：借助對數(shù)學(xué)圖形的分析、歸納并加以抽象，明確給出六柱孔明鎖的所有表面是由6個投影面所組成的，且每一個投影面都與正視圖中的投影面相吻合，因此通過數(shù)學(xué)抽象總結(jié)歸納出規(guī)律進行破解.

4.從方法入手進行數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)方法是借助于數(shù)學(xué)知識來歸納并總結(jié)出具有可操作性、可拓展性的破解問題的基本思維方式，是數(shù)學(xué)抽象的具體體現(xiàn)方式之一，也是數(shù)學(xué)抽象的具體體現(xiàn)、高度概括、方法類比、準確表達及思維應(yīng)用等系統(tǒng)性的體現(xiàn).可以通過數(shù)學(xué)抽象出來的數(shù)學(xué)方法來有效地解決問題，提升能力.

例4 （2019屆江蘇省鹽城市高三期中考試·12）已知函數(shù)f（x）=（x+m）-（m+1）x在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值集合為______.

分析：涉及函數(shù)的單調(diào)性問題，往往從導(dǎo)數(shù)方法入手，利用導(dǎo)數(shù)的求解，結(jié)合不等式恒成立加以數(shù)學(xué)抽象，進而達到破解參數(shù)的取值范圍的目的.

解：由題可知f′（x）=（x+1+m）ex-x-（m+1）=（x+1+m）·（ex-1）≥0在R上恒成立.

當x≤0時，ex-1≤0，則必須x+1+m≤0恒成立，解得m≤-1；

當x＞0時，ex-1＞0，則必須x+1+m≥0恒成立，解得m≥-1.

綜上可得m=-1.

故填答案：{-1}.

點評：不同的數(shù)學(xué)知識具有比較常規(guī)的數(shù)學(xué)方法，而有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性問題，一般采用導(dǎo)數(shù)法來破解.借助數(shù)學(xué)抽象所歸納出來的數(shù)學(xué)方法來進行破解，是解決數(shù)學(xué)問題的首選，也是常規(guī)解題規(guī)律的首選.

三、感悟與反思

其實，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)并非是另起爐灶的“新搞法”、“新噱頭”，而是解決數(shù)學(xué)問題所必須具備的核心知識、基本技能技巧，以及與之相關(guān)的數(shù)學(xué)運算能力、邏輯推理能力、抽象與想象能力，還有遇見問題時的思維方式和解決問題時的基本模式.

數(shù)學(xué)抽象是通過對高中數(shù)學(xué)課程的教學(xué)與學(xué)習(xí)，逐步抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、公式、命題、圖形、方法和體系等，養(yǎng)成思考問題的一般性習(xí)慣，并進一步歸納總結(jié)，進而把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性，達到抽象概括、化繁為簡的目的，從而有效地借助數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)與思維方式來思考、分析與解決問題.