一道平面向量數(shù)量積的探究

☉江西師范大學(xué)附屬中學(xué) 胡祝齊

平面向量的數(shù)量積的定值或最值問(wèn)題是平面向量問(wèn)題中的重點(diǎn)與難點(diǎn)之一，也是新課標(biāo)大綱在“知識(shí)點(diǎn)交匯處”命題的充分體現(xiàn)的一大陣地.此類問(wèn)題往往設(shè)置巧妙，形式活潑多樣，條件中知識(shí)交匯點(diǎn)眾多，題目難度往往比較大，同時(shí)解決問(wèn)題的思維方式多變，破解方法也多種多樣，一直是歷年高考、競(jìng)賽命題中的基本考點(diǎn)和熱點(diǎn)之一.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

【問(wèn)題】如圖1所示，在△PAB中，PA=2，PB=1，在△PAB所在的平面內(nèi)，以AB為邊向三角形外作正方形ABCD，則的取值范圍是______.

本題以平面幾何為問(wèn)題背景，借助三角形中的條件以及正方形的構(gòu)造，進(jìn)而求解相應(yīng)的平面向量的數(shù)量積的取值范圍問(wèn)題.充分交匯平面幾何、平面向量、解三角形、解析幾何、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，是一道極具特色的問(wèn)題.

圖1

二、多解思維

設(shè)出正方形ABCD的邊長(zhǎng)a，以及∠APB=θ（θ∈（0，π）），通過(guò)解三角形中的正弦定理與余弦定理來(lái)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而建立相應(yīng)的關(guān)系式，借助平面向量的線性關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的平面向量的數(shù)量積，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角關(guān)系式，通過(guò)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值即可.

解法1：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，設(shè)∠APB=θ（θ∈（0，π））.

由余弦定理可得a2=4+1-2×2×1×cosθ=5-4cosθ.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，把對(duì)應(yīng)的平面向量利用坐標(biāo)加以表示，從而相應(yīng)的數(shù)量積也可用坐標(biāo)表示出來(lái)，再通過(guò)三角換元，借助三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)來(lái)確定最值；或通過(guò)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，借助數(shù)形結(jié)合來(lái)確定最值.

解法2：如圖2所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則A（0，0），P（-2，0），設(shè)B（x，y），則D（y，-x）.

根據(jù)正方形ABCD中的對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)重合的性質(zhì)，可得C（x+y，-x+y）.

由于PB=1，則有（x+2）2+y2=1（y＞0）.

圖2

點(diǎn)B滿足半圓：（x+2）2+y2=1（y＞0）.

結(jié)合圖形可知BQ2的最大值為（PQ+r）2=，BQ2的最小值為QM2=22=4（此時(shí)點(diǎn)M（-1，0），而y＞0，則最小值取不到）.

所以BQ2-1∈（的取值范圍是

三、變式探究

探究1：保留原問(wèn)題的條件，改變?cè)瓉?lái)構(gòu)造正方形為構(gòu)造等腰直角三角形，同時(shí)把求解平面向量的數(shù)量積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，得以變式創(chuàng)新.

【變式1】如圖3所示，在△PAB 中 ，PA=2，PB=1，在△PAB所在的平面內(nèi)，以A為直角頂點(diǎn)向三角形外作等腰直角△ABD，則PD的取值范圍是______.

圖3

解析：本題的破解方法比較多，借助以上問(wèn)題的破解方法來(lái)處理如下：

如圖4所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則A（0，0），P（-2，0），設(shè)B（x，y），則D（y，-x）.

由于PB=1，則有（x+2）2+y2=1（y＞0）.

那么PD2=（y+2）2+x2=BQ2，其中定點(diǎn)Q（0，-2）.

圖4

而點(diǎn)B滿足半圓：（x+2）2+y2=1（y＞0）.

結(jié)合圖形可知BQ2的最大值為（PQ+r）2=，BQ2的最小值為QM2=12+22=5（此時(shí)點(diǎn)M（-1，0），而y＞0，則最小值取不到）.

所以BQ2即PD的取值范圍是

探究2：保留原問(wèn)題的條件，改變?cè)瓉?lái)構(gòu)造正方形為構(gòu)造等腰直角三角形，同時(shí)引入線段的中線，同樣求解平面向量的數(shù)量積的取值范圍問(wèn)題，得以變式創(chuàng)新.

【變式2】如圖5所示，在△PAB中，PA=2，PB=1，C為線段AB的中點(diǎn)，在△PAB所在的平面內(nèi)，以A為直角頂點(diǎn)向三角形外作等腰直角△ABD，則的取值范圍是______.

圖5

解析：如圖6所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xAy，則A（0，0），P（-2，0），設(shè)B（x，y），則

圖6

由于PB=1，則有（x+2）2+y2=1（y＞0）.

設(shè)z=x+2y，作出直線x+2y=0.

由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線z=x+2y滿足與點(diǎn)B所在的半圓：（x+2）2+y2=1（y＞0）相切時(shí)負(fù)值舍去）；

當(dāng)直線z=x+2y過(guò)點(diǎn)M（-3，0）時(shí)，z取得最小值-3+2×0=-3，而y＞0，則最小值取不到.

四、規(guī)律總結(jié)

涉及平面幾何與平面向量的交匯與綜合問(wèn)題，可以借助解三角形法來(lái)處理，也可以利用坐標(biāo)法，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，借助解析幾何來(lái)分析與處理.特別是用坐標(biāo)法來(lái)處理平面向量問(wèn)題時(shí)，巧妙地把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算及解析幾何本身所具有的特點(diǎn)來(lái)處理，從而加強(qiáng)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的有效綜合與合理轉(zhuǎn)化，進(jìn)而加以正確地理解與掌握相關(guān)的知識(shí)與破解的方法，這樣有助于數(shù)學(xué)解題能力與應(yīng)用能力的提高，真正提升數(shù)學(xué)能力，拓展數(shù)學(xué)素養(yǎng).