創(chuàng)立和剖析數(shù)學(xué)重心
——思維中斷點(diǎn)

☉浙江省溫嶺中學(xué) 陳 艷

突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)容重心的講解是我們教師的職責(zé)所在.章建躍曾說(shuō)：數(shù)學(xué)教育要著重于“三個(gè)理解”，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教育.對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解是對(duì)數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)；對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)的理解是對(duì)學(xué)生理解的前提；對(duì)數(shù)學(xué)及學(xué)生的理解是對(duì)教育理解的根本.創(chuàng)立和剖析數(shù)學(xué)的內(nèi)容重心是對(duì)這“三個(gè)理解”的最好詮釋.

在數(shù)學(xué)的知識(shí)網(wǎng)中，那些組成數(shù)學(xué)關(guān)鍵的結(jié)合點(diǎn)，例如定理、公式及概念，我們需要重點(diǎn)把握.有些結(jié)合點(diǎn)之間會(huì)有中斷，這就是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的思維中斷點(diǎn)，也是我們教學(xué)中的難點(diǎn)，學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，所以這些中斷點(diǎn)就是我們教學(xué)中的關(guān)鍵點(diǎn).本文將三角函數(shù)、函數(shù)、隨機(jī)變量等數(shù)學(xué)知識(shí)的中心內(nèi)容結(jié)合實(shí)踐來(lái)創(chuàng)立并剖析數(shù)學(xué)的重心——思維中斷點(diǎn).

一、思維中斷點(diǎn)的創(chuàng)立和剖析——函數(shù)

在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)，主要有這兩個(gè)中斷點(diǎn)：一個(gè)是函數(shù)有無(wú)解析式；一個(gè)是對(duì)f（x）的理解.初中是利用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，從變量的角度給出函數(shù)的概念，這樣學(xué)生都只碰到類似于等這樣有具體解析式的函數(shù).但并不是所有的函數(shù)都有對(duì)應(yīng)關(guān)系，也不是所有的解析式都有兩個(gè)變量，這就是我們函數(shù)學(xué)習(xí)中的一個(gè)思維中斷點(diǎn).

（1）下表是9名同學(xué)的考試成績(jī)，這是函數(shù)嗎？

高一某次檢測(cè)中某班第一小組9名學(xué)生的成績(jī)單學(xué)號(hào) 12 13 14 15 16 17 18 19 20成績(jī) 86 78 87 73 72 91 58 67 73

（2）圖1是股票的分時(shí)圖，這是函數(shù)嗎？

對(duì)于這兩道題而言，大部分高一的學(xué)生會(huì)覺(jué)得無(wú)從下手，因?yàn)檫@不符合他們初中所學(xué)的函數(shù)知識(shí).因此，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，要讓學(xué)生了解到并不是每一個(gè)函數(shù)都有它的解析式，也并不是每一個(gè)函數(shù)都能用圖像來(lái)表示.

圖1

學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的另外一個(gè)思維中斷點(diǎn)是對(duì)f（x）的理解，這是因?yàn)閒（x）可以是任何一個(gè)函數(shù)，而且學(xué)生也很難搞清楚何為f.其實(shí)f就是function的首字母，也就是功能，是將集合A中的x轉(zhuǎn)變成集合B中的f（x），也就是說(shuō)f（x）是集合B與集合A中x相對(duì)應(yīng)的那個(gè)數(shù).從而讓學(xué)生了解到當(dāng)x確定了，f（x）也就確定了.

二、思維中斷點(diǎn)的創(chuàng)立和剖析——三角函數(shù)

在初中的課程中，學(xué)生學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)，而從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)的過(guò)程中就出現(xiàn)了一個(gè)中斷點(diǎn)，這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)時(shí)的一個(gè)思維中斷點(diǎn)，同時(shí)也是教學(xué)中的重難點(diǎn).所以，讓學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，是我們?cè)谥v授這一內(nèi)容時(shí)的重中之重.

在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)時(shí)還存在一個(gè)思維中斷點(diǎn)，就是將終邊上的任一點(diǎn)放于單位圓和終邊相交的位置，這樣的點(diǎn)在學(xué)生眼中并不是任一點(diǎn).所以，對(duì)于這樣的問(wèn)題，要引導(dǎo)學(xué)生從相似三角形的角度來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題，讓他們理解一點(diǎn)：一個(gè)角的終邊的變化并不會(huì)改變這個(gè)角，而確定的角的三角函數(shù)也是唯一的.課堂上，可以通過(guò)坐標(biāo)、終邊及化簡(jiǎn)這三個(gè)方面來(lái)講解任意三角函數(shù)的思維中斷點(diǎn).我們?cè)谥暗膶W(xué)習(xí)中已經(jīng)學(xué)過(guò)了函數(shù)，我們知道函數(shù)認(rèn)知的關(guān)鍵點(diǎn)在于它的三要素，那么對(duì)于三角函數(shù)而言也是一樣的，可具體的三角函數(shù)的三要素是什么還需要老師慢慢的引導(dǎo).

三、思維中斷點(diǎn)的創(chuàng)立和剖析——直線和平面垂直的判定

在直線和平面垂直的判定的學(xué)習(xí)過(guò)程中也有這樣幾個(gè)思維中斷點(diǎn)：①直線和平面垂直的定義.②用個(gè)別直線來(lái)取代平面內(nèi)的任意直線.在教學(xué)中，由于平面中的直線很難直觀看到，所以學(xué)生也就很難理解“直線與平面內(nèi)的所有直線垂直”，更何況平面內(nèi)的直線是無(wú)窮無(wú)盡的，無(wú)法通過(guò)幾條特殊直線來(lái)以偏概全.因此，課堂上可以通過(guò)圖2這種“立竿見影”的題目，讓學(xué)生加深理解.

這種題目通常會(huì)問(wèn)這樣幾個(gè)問(wèn)題：①圖2中AB與其地面上的影子BC形成了多少度的角？②隨著太陽(yáng)的移動(dòng)，AB在地面上的影子BC也會(huì)相應(yīng)的改變，那么改變后的影子還與AB垂直嗎？③AB與其地面上的影子BC始終垂直，那地面上不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線還與AB垂直嗎？

圖2

為了讓學(xué)生更好地理解這兩個(gè)思維中斷點(diǎn)，我們可以通過(guò)設(shè)置這樣一些問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)他們.

（1）直線和平面垂直可以只通過(guò)直線垂直平面內(nèi)的一條直線來(lái)判定嗎？

（2）直線和平面垂直可以通過(guò)直線垂直平面內(nèi)的兩條直線來(lái)判定嗎？

（3）直線和平面垂直可以通過(guò)直線垂直平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線來(lái)判斷嗎？

（4）直線和平面垂直至少要直線與平面內(nèi)的幾條直線垂直？

（5）直線和平面垂直要滿足直線與平面內(nèi)的什么直線垂直？

四、思維中斷點(diǎn)的創(chuàng)立和剖析——隨機(jī)變量

學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)早已將隨機(jī)變量印在自己的腦海以及意識(shí)中，并且在遇到一些問(wèn)題時(shí)能夠隨機(jī)運(yùn)用，只是可能學(xué)生自己心里還沒(méi)有一個(gè)清晰的認(rèn)知，沒(méi)有意識(shí)到自己已經(jīng)將隨機(jī)變量運(yùn)用到自己的生活中了.因此雖然學(xué)生已經(jīng)在不知不覺(jué)中運(yùn)用了隨機(jī)變量，但是要讓他們自己想出來(lái)，并將所有的試驗(yàn)結(jié)果都數(shù)字化還是有一定難度的.這是因?yàn)橐獙⑺械脑囼?yàn)結(jié)果數(shù)字化是需要學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一個(gè)很好的認(rèn)知，因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)隨機(jī)變量時(shí)就出現(xiàn)了這樣的一個(gè)思維中斷點(diǎn)，將隨機(jī)變量的無(wú)意識(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸舛鵀橹@樣的一個(gè)過(guò)程.在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該不斷地通過(guò)一些具體的實(shí)例來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)量化意識(shí)的塑造，以及隨機(jī)變量意識(shí)的塑造.比如這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn)：拋擲一枚一元硬幣，拋擲硬幣的結(jié)果只會(huì)出現(xiàn)一正一反這兩種結(jié)果，可是這一正一反的結(jié)果并不具備數(shù)量的本質(zhì)，那要讓學(xué)生怎么順其自然地想要通過(guò)一些方法進(jìn)行下一步的研究并且用很簡(jiǎn)便的數(shù)字來(lái)體現(xiàn)一正一反的結(jié)果呢？在教學(xué)中，不斷拋出以下這樣的問(wèn)題來(lái)讓學(xué)生自己思考何為隨機(jī)變量，以及它的定義是什么.

第一個(gè)問(wèn)題：如果我們拋擲一枚骰子，那么可能會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)果，而又有哪些數(shù)字可以用來(lái)表示這些結(jié)果呢？

第二個(gè)問(wèn)題：如果我們選擇一個(gè)英文字母來(lái)體現(xiàn)這些數(shù)字，就像我們選擇x來(lái)代表這些數(shù)字，那么x可以取哪些數(shù)值呢？

第三個(gè)問(wèn)題：英文字母x具備哪些特點(diǎn)，而這些特點(diǎn)我們又可以怎樣理解呢？

以上的三個(gè)問(wèn)題都可以構(gòu)造隨機(jī)變量概念上的形式.當(dāng)然，要對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行更加深刻的理解，僅僅依靠這樣幾個(gè)問(wèn)題是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們還應(yīng)當(dāng)結(jié)合函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)還要探究離散型隨機(jī)變量的分布列等.

要結(jié)合函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)加深對(duì)隨機(jī)變量的理解，這又給學(xué)生在學(xué)習(xí)隨機(jī)變量上帶來(lái)了另一個(gè)思維中斷點(diǎn).這是因?yàn)?，函?shù)代表的是變量之間確定的關(guān)系，但隨機(jī)變量代表的是變量之間并沒(méi)有確定的關(guān)系，隨機(jī)變量只是用來(lái)表示隨機(jī)現(xiàn)象所展現(xiàn)的規(guī)律，并不是想通過(guò)隨機(jī)變量來(lái)預(yù)料可能會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果.有一點(diǎn)特別重要，我們通過(guò)隨機(jī)變量了解到結(jié)果的可能性或者說(shuō)是結(jié)果的規(guī)定，但這并不意味著我們就能改變結(jié)果的隨機(jī)性.想通過(guò)一節(jié)課的時(shí)間就讓學(xué)生理解到概率統(tǒng)計(jì)中的不確定性是不可能的，這只能在漫長(zhǎng)的學(xué)習(xí)生活中慢慢滲透.

我們?cè)趯W(xué)習(xí)中的思維中斷點(diǎn)不可能只存在于這幾個(gè)地方，還有可能存在于一些銜接的知識(shí)點(diǎn)上.在教學(xué)中，我們應(yīng)該多多關(guān)注知識(shí)的思維中斷點(diǎn)，更好地銜接前后知識(shí)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓他們更有動(dòng)力地去學(xué)好數(shù)學(xué).講解這些思維中斷點(diǎn)是為了更好地理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)，而思維中斷點(diǎn)的講解離不開綜合把握.這也就要求我們要在教育中，更多地關(guān)注學(xué)生的綜合發(fā)展，選擇與他們認(rèn)知規(guī)律一致的教學(xué)內(nèi)容和活動(dòng)，讓他們的身心與學(xué)問(wèn)共同發(fā)展.對(duì)老師而言，在教學(xué)中多多關(guān)注思維中斷點(diǎn)也能夠使其在教學(xué)中更加自然流暢；對(duì)學(xué)生而言，老師多多講解他們的思維中斷點(diǎn)，也能加強(qiáng)他們理解的效率，使課堂與教材銜接得更加自然.