大道至簡(jiǎn) 悟在天成
——數(shù)學(xué)教學(xué)的堅(jiān)守與創(chuàng)新

☉江蘇省南通中學(xué) 季 錚

隨著高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的實(shí)施，新一輪的教育教學(xué)改革又如火如荼地在各地展開.“學(xué)導(dǎo)式”、“翻轉(zhuǎn)課堂”等課堂教學(xué)模式大行其道，高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)頗有百花齊放的味道.每每遇到一些公開課、比賽課，任課教師無(wú)不使盡渾身解數(shù)，力求課堂教學(xué)方式的創(chuàng)新以吸引眼球.而筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的目標(biāo)：學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，無(wú)非就是讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，在上述過(guò)程中提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力而已.

然而就這樣一個(gè)看似簡(jiǎn)單的目標(biāo)，很多時(shí)候卻無(wú)法在課堂教學(xué)中得以實(shí)現(xiàn).就比如等差、等比數(shù)列的求和，甚至在一些小學(xué)課堂上，老師就已經(jīng)開始教授學(xué)生“倒序相加法”和“錯(cuò)位相減法”，然而這些方法的習(xí)得，只是老師簡(jiǎn)單的講授與告知，絲毫沒有學(xué)生自主的思考與感悟，學(xué)習(xí)這些方法、技巧的目的就是為多解幾道題而已.在這樣的教學(xué)模式下，一些學(xué)生的確會(huì)在一些考試甚至競(jìng)賽中表現(xiàn)出超出同齡學(xué)生的優(yōu)勢(shì)，然而這樣的教育會(huì)培養(yǎng)出類似高斯的大數(shù)學(xué)家嗎？然而恰恰是這樣的教學(xué)方式扼殺了多少小高斯.

因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)質(zhì)就是再現(xiàn)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的情景，讓學(xué)生親身經(jīng)歷上述過(guò)程，在過(guò)程中掌握知識(shí)、發(fā)展能力、提升素養(yǎng).教學(xué)方式方法的選擇、現(xiàn)代教育技術(shù)手段的運(yùn)用都應(yīng)服從于這一目標(biāo).接下來(lái)，筆者就結(jié)合幾個(gè)教學(xué)案例來(lái)說(shuō)明筆者的一些實(shí)踐與思考.

案例一：函數(shù)的單調(diào)性

蘇教版函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)一節(jié)，函數(shù)的單調(diào)性是由氣溫變化圖引出的，通過(guò)指出氣溫在哪些時(shí)段逐漸升高或下降，旨在通過(guò)生活實(shí)例感受單調(diào)性的意義，并在此基礎(chǔ)上提出問題：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫上述時(shí)段內(nèi)，隨著時(shí)間的增加氣溫逐漸升高的這一特征？上述情境的設(shè)置很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，可是數(shù)學(xué)的味道似乎少了一些.

在上節(jié)課學(xué)習(xí)了函數(shù)的表示方法的基礎(chǔ)上，筆者在本節(jié)課首先要求學(xué)生畫出函數(shù)f（x）=|x2-4|的圖像（如圖1），在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)學(xué)生結(jié)合圖像指出y隨著x的變化而發(fā)生了怎樣的變化，從而引導(dǎo)學(xué)生從圖像的變化趨勢(shì)出發(fā)，用自然語(yǔ)言定性地描述y隨著x的變化而變化的過(guò)程.在圖形語(yǔ)言及文字語(yǔ)言描述上述變化過(guò)程的基礎(chǔ)上提出問題.

圖1

圖2

師：如何從數(shù)的角度驗(yàn)證函數(shù)f（x）=|x2-4|在區(qū)間（2，+∞）上y隨著x的增大而增大？

生1：可以在（2，+∞）的區(qū)間內(nèi)取兩個(gè)數(shù)，例如f（3），f（4），通過(guò)比較兩者的大小來(lái)說(shuō)明.

分析：學(xué)生的這個(gè)想法源于特殊化的認(rèn)識(shí)，如果明確了函數(shù)在該區(qū)間上是恒單調(diào)的，這個(gè)方法對(duì)于判斷函數(shù)在該區(qū)間上是單調(diào)遞增亦或是單調(diào)遞減是有效的，而且還非常方便.但是，如果函數(shù)在該區(qū)間上不是恒單調(diào)的，則會(huì)存在問題.作為老師，不應(yīng)急于評(píng)價(jià)，應(yīng)把該生的想法拋給其他同學(xué)進(jìn)行討論辨析.事實(shí)上，學(xué)生在討論以后，給出了意見并畫出了反例.

生2：圖2是就是一個(gè)反例，所以僅由f（3）＜f（4），不一定能說(shuō)明在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

分析：學(xué)生有針對(duì)性地畫出反例來(lái)駁斥上述錯(cuò)誤觀點(diǎn)是本節(jié)課的亮點(diǎn)，說(shuō)明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解形成了一定的認(rèn)識(shí).

師：既然兩個(gè)點(diǎn)不能說(shuō)明，那么三個(gè)點(diǎn)、四個(gè)點(diǎn)可以嗎？

生3：必須驗(yàn)證該區(qū)間上的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，這就有些麻煩.

生4：無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)也不可以，因?yàn)樵趧偛潘嫷暮瘮?shù)圖像上，雖然也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)滿足當(dāng)x1＜x2＜…＜xn時(shí)，f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn），但是仍然不能得到在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

師：那么必須滿足什么條件才能說(shuō)明f（x）在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

生5：必須要f（x）圖像上的所有點(diǎn)都滿足當(dāng)x1＜x2＜…＜xn時(shí)，f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn），才能說(shuō)明f（x）在（2，+∞）上y隨著x的增大而增大.

分析：學(xué)生的思考又上升了一個(gè)臺(tái)階，從函數(shù)圖像上取兩個(gè)特殊點(diǎn)到從函數(shù)圖像上取無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，看似實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的轉(zhuǎn)變，但沒有觸及函數(shù)單調(diào)性定義的本質(zhì).這時(shí)，學(xué)生結(jié)合前面所畫的反例在此基礎(chǔ)上提出驗(yàn)證圖像上的所有點(diǎn)，這就說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)深刻理解了“無(wú)數(shù)”與“所有”的區(qū)別.

師：那怎么說(shuō)明f（x）圖像上的所有點(diǎn)都滿足上述要求呢？

生6：所有點(diǎn)都滿足即區(qū)間（2，+∞）內(nèi)的任意兩點(diǎn)都滿足，因此可以在（2，+∞）內(nèi)任取兩點(diǎn)x1，x2，說(shuō)明當(dāng)x1＜x2時(shí)，均有f（x1）＜f（x2）.

分析：定義的探求最后還是回到了兩個(gè)點(diǎn)的比較上，但從兩個(gè)特殊點(diǎn)到任意兩點(diǎn)的螺旋上升的探求過(guò)程是學(xué)生深刻理解定義的不可多得的重要經(jīng)歷和體驗(yàn).

至此，函數(shù)單調(diào)性的定義就呼之欲出了，回顧學(xué)生的探究過(guò)程，經(jīng)歷了從特殊到一般的過(guò)程，同時(shí)舉反例、交流討論等學(xué)習(xí)方式也加深了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，以及“所有”與“無(wú)數(shù)”的區(qū)別.

案例二：圓錐曲線的統(tǒng)一定義

蘇教版圓錐曲線的統(tǒng)一定義一節(jié)，教材則指出“平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線”，然后提出問題“當(dāng)這個(gè)比值是一個(gè)不等于1的常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡又是什么曲線呢？”對(duì)比上一節(jié)拋物線的定義：“拋物線是平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（F不在l上）距離相等的點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)F叫做焦點(diǎn)，l叫做準(zhǔn)線”.教材則直接將“距離相等”改為“距離的比等于1”，從而得到圓錐曲線統(tǒng)一定義的雛形.這種處理弱化了學(xué)生探究圓錐曲線共性特征的思維過(guò)程.

教學(xué)過(guò)程中，筆者首先請(qǐng)同學(xué)們回顧了三種圓錐曲線都是由平面截圓錐面形成的，因此，這三種圓錐曲線應(yīng)該具有一定的共性，從而為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了依據(jù).接下來(lái)，再請(qǐng)學(xué)生回顧這三種圓錐曲線的定義，對(duì)比定義，明確兩種研究方向，方案一：將橢圓和雙曲線的定義朝著拋物線定義的方向轉(zhuǎn)化；方案二：將拋物線的定義朝著橢圓和雙曲線的定義方向轉(zhuǎn)化.學(xué)生注意到拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，無(wú)法將定義寫成類似橢圓或雙曲線的形式，從而明確了轉(zhuǎn)化的方向.

師：拋物線是平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（F不在l上）距離相等的點(diǎn)的軌跡.那么橢圓、雙曲線可能是滿足什么條件的點(diǎn)的軌跡呢？

生1：橢圓和雙曲線是平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離不相等的點(diǎn)的軌跡.

生2：距離不相等太籠統(tǒng)，PF≠d包含了PF＜d、PF＞d這兩種情形，而這兩種情形可能剛好對(duì)應(yīng)了橢圓和雙曲線兩種圓錐曲線.

分析：從拋物線的定義出發(fā)，學(xué)生首先形成上述認(rèn)識(shí)是非常自然的.

師：如何刻畫PF＜d、PF＞d這兩種不等關(guān)系？

生3：可以作差比較，即PF-d＜0、PF-d＞0，也可以作商比較，即0

生4：因?yàn)闄E圓和雙曲線方程刻畫的是等量關(guān)系，因此應(yīng)該把PF-d＜0這樣的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成等量關(guān)系，所以可以令PF-d是小于零的定值，比如：PF-d=-a（a＞0），則PF=d-a. 設(shè)P（x，y）、F（c，0），直線l：x=m，則|x-m|-a，兩邊平方得y2=（2c-2m）x-2a|x-m|+a2+m2-c2，從方程的結(jié)構(gòu)看該曲線如果存在，一定不是橢圓或雙曲線.

分析：通過(guò)作差和作商的方式來(lái)刻畫這兩種不等關(guān)系源于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但考慮到曲線方程刻畫的是等量關(guān)系，所以有必要將上述不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成等量關(guān)系，但具體是用作差還是作商來(lái)刻畫，對(duì)于學(xué)生而言沒有明確的指向，通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究、合情推理的方式來(lái)進(jìn)行探索，這樣的過(guò)程妙不可言.

通過(guò)對(duì)上述案例的分析，筆者認(rèn)為課堂教學(xué)方式應(yīng)該隨著教育技術(shù)、教育理念的發(fā)展進(jìn)行創(chuàng)新，充分發(fā)揮互聯(lián)網(wǎng)的功能，提供給學(xué)生多渠道獲取知識(shí)的途徑，幫助學(xué)生多角度的認(rèn)知、建構(gòu)知識(shí)體系.但是，課堂教學(xué)不應(yīng)只為了創(chuàng)新而創(chuàng)新，華而不實(shí)的課堂無(wú)益于學(xué)生的發(fā)展及思維品質(zhì)的提升，反而會(huì)對(duì)學(xué)生知識(shí)、方法的習(xí)得產(chǎn)生一定的干擾.應(yīng)給予學(xué)生充分思考、探究的空間與時(shí)間，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，并在此過(guò)程中形成分析問題、解決問題的能力，才是我們的課堂教學(xué)應(yīng)該堅(jiān)守的底線.