幾何畫板與高中數(shù)學(xué)整合的實(shí)踐與體會

劉建康

[摘? 要] 幾何畫板屬于諸多優(yōu)秀教學(xué)軟件的一類，常應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，用戶利用幾何畫板提供的功能，并在其中融入自己的教學(xué)思想，便能設(shè)計出優(yōu)秀的教學(xué)課件. 利用幾何畫板制作的教學(xué)課件，并不代表用戶操作計算機(jī)的能力，而是體現(xiàn)了用戶的教學(xué)理念與教學(xué)能力. 幾何畫板的出現(xiàn)，徹底改變了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，使原本呆板的數(shù)學(xué)教學(xué)變得生動有趣，體現(xiàn)了創(chuàng)新教育的發(fā)展方向. 在實(shí)際操作中，我們應(yīng)合理、恰當(dāng)?shù)貙缀萎嫲鍛?yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 幾何畫板;高中數(shù)學(xué);實(shí)踐與體會

[?]幾何畫板在高中代數(shù)課程中的應(yīng)用

利用幾何畫板進(jìn)行繪圖時，它的優(yōu)點(diǎn)主要表現(xiàn)為速度快、精確度高. 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時要采用數(shù)形結(jié)合的思想. 在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想最多的一個知識點(diǎn). 眾所周知，函數(shù)屬于中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是數(shù)學(xué)知識中非常重要的概念之一，在高中數(shù)學(xué)的許多知識中，都涉及了函數(shù)的思維方法及概念. 而采用繪制函數(shù)圖像的方法就是研究函數(shù)性質(zhì)的最好方法. 在幾何畫板出現(xiàn)以前，數(shù)學(xué)教師在講解函數(shù)知識內(nèi)容時，通常只能憑借粉筆和尺子，采用手工方式繪制函數(shù)圖像，這種采用手工描點(diǎn)的方式，不僅速度慢，而且描繪的點(diǎn)有可能還會出現(xiàn)誤差，當(dāng)教師繪制完圖像時，可能就沒有多余的時間去講解函數(shù)的性質(zhì)了. 但利用幾何畫板，教師只需要在軟件中鍵入函數(shù)解析式，軟件就會立即生成對應(yīng)的函數(shù)圖像，而且精確度非常高，總計用時不超過兩分鐘，這不僅將教師從煩瑣的繪圖工作中解脫出來，而且還提高了教學(xué)質(zhì)量. 比如：在講解同類函數(shù)的性質(zhì)時，教師通常采用的教學(xué)方法為：首先利用函數(shù)解析式繪制一個或n個函數(shù)圖像，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中對比函數(shù)圖像，以方便學(xué)生掌握函數(shù)的性質(zhì). 在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式中，就只能利用粉筆和黑板繪制圖像，采用手工方式繪制的圖像不僅不夠清楚，并且容易出現(xiàn)關(guān)鍵點(diǎn)重疊的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生不能正確進(jìn)行辨認(rèn). 但是幾何畫板出現(xiàn)之后，教師就可利用幾何畫板清晰呈現(xiàn)圖像以及存儲大量數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將其應(yīng)用于同一坐標(biāo)系中對比同類函數(shù)圖像，利用幾何畫板繪制的圖像，具有直觀、清晰、快速呈現(xiàn)相應(yīng)內(nèi)容的特點(diǎn)，因此，它大大提升了教學(xué)質(zhì)量，起到了事半功倍的教學(xué)效果.

在講解函數(shù)與其反函數(shù)圖像之間的關(guān)系時（指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像之間的關(guān)系），傳統(tǒng)的教學(xué)方法為：首先分別在黑板上繪制出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像，然后再進(jìn)行對比講解，當(dāng)講到兩個圖像與直線對稱的關(guān)系時就會存在一定的難度. 而利用幾何畫板進(jìn)行講解，可先在同一個平面直角坐標(biāo)系中分別繪制出指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像，然后在指數(shù)函數(shù)上任意選取一點(diǎn)作為該點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用該點(diǎn)的運(yùn)動軌跡就能發(fā)現(xiàn)該點(diǎn)總會落在對數(shù)函數(shù)的圖像上. 這樣學(xué)生便能很快掌握這兩個函數(shù)之間的關(guān)系了.

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式在歸納函數(shù)知識時，通常采取的方法為：繪制出幾個不同取值的函數(shù)圖像，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象的總結(jié)，這種歸納方式得出的結(jié)果并不完全正確. 而采用幾何畫板繪制圖像，可首先在平面直角坐標(biāo)系中繪制出函數(shù)圖像，然后設(shè)定3個參數(shù)線段，函數(shù)圖像會隨著參數(shù)線段長度的變化而變化，教師一邊講解，一邊拖動線段的一個端點(diǎn)，并讓學(xué)生通過觀察圖像的變化情況總結(jié)函數(shù)知識. 這不僅提升了學(xué)生觀察事物、總結(jié)知識的能力，同時，也讓整個教學(xué)過程變得更加靈活，教學(xué)氛圍更加輕松愉悅.

幾何畫板在高中代數(shù)中的應(yīng)用，除了函數(shù)相關(guān)知識外，還包括求解方程和不等式、研究由離散點(diǎn)組成的函數(shù)圖形（數(shù)列的函數(shù)意義）等等.

[?]幾何畫板在高中空間幾何課程中的應(yīng)用

空間幾何研究的內(nèi)容為：結(jié)合公理內(nèi)容及圖形點(diǎn)、線、面三者之間的關(guān)系，闡述三維空間圖形性質(zhì). 數(shù)學(xué)教師在講解這部分內(nèi)容時，通常采用的方法為：在平面中繪制一個三維空間圖形進(jìn)行講解. 由于日常生活中，學(xué)生經(jīng)?？吹降膱D形為二維平面圖形，因此對三維空間圖形缺乏想象力. 學(xué)生大多數(shù)時候也只能將這兩者等同起來，這就嚴(yán)重影響了學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識的效果. 為解決這一問題，在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，數(shù)學(xué)教師會制作一些立體圖形帶到課堂上進(jìn)行輔助教學(xué)，幫助學(xué)生理解三維空間圖形的概念，并在此基礎(chǔ)上逐步培養(yǎng)學(xué)生的三維空間想象力，這種教學(xué)方式的教學(xué)速度非常慢，并且不一定能起到預(yù)期教學(xué)效果. 但是在講解這部分知識時，如果能利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，采用拖動某些點(diǎn)的方式，就能讓平面中的三維空間圖形運(yùn)動起來，從而把三維空間圖形的各個元素之間的位置及度量關(guān)系形象地呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生也就能直觀了解到三維空間的性質(zhì)，并將其與自己的抽象認(rèn)知進(jìn)行聯(lián)系，學(xué)生的空間想象力也就得到了提升，更容易理解平面中的三維空間圖形的相關(guān)知識. 學(xué)生在今后解答相關(guān)題目時，也會更加得心應(yīng)手. 比如：教師向?qū)W生講解繪制正方體的步驟時，就可利用幾何畫板的動態(tài)演示功能，讓學(xué)生仔細(xì)觀察正方體的旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)過程，以及面與面的視覺圖形特點(diǎn)，這將幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確地在平面中繪制出正方體. 另外，數(shù)學(xué)老師在講解計算三棱錐體積的方法時，通常會讓學(xué)生采用分割三棱柱的方式進(jìn)行求解，而利用幾何畫板就能快速實(shí)現(xiàn)分割三棱柱，具體方法為：在幾何畫板中將三棱柱的每個割面標(biāo)記上不同的顏色，然后拖動分割出來的三棱錐，最后結(jié)合祖暅原理相關(guān)內(nèi)容對三棱錐的體積進(jìn)行求解，幾何畫板在這里起到的作用就是直觀形象地呈現(xiàn)了原本非常抽象的分割三棱柱的過程，學(xué)生在觀察了分割三棱柱的過程之后，就更加容易理解空間幾何的相關(guān)內(nèi)容了，學(xué)生的空間想象力也會更加豐富. 在這個過程中，學(xué)生還學(xué)會了利用分割幾何體的方法來計算其他幾何體體積的方法.

[?]幾何畫板在高中平面解析幾何課程中的應(yīng)用

平面解析幾何這門課程的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是將平面幾何問題轉(zhuǎn)換為求解代數(shù)的問題. 在這門課程中，最基礎(chǔ)的知識為求點(diǎn)的軌跡. 該知識點(diǎn)的主要思路及解題步驟為：第一，結(jié)合題目列出的條件構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系;第二，在軌跡上任取一點(diǎn)，并在坐標(biāo)上找到該點(diǎn)的位置;第三，給出并簡化相關(guān)恒等式;第四，獲得該點(diǎn)的軌跡方程;第五，利用點(diǎn)的軌跡方程達(dá)到利用代數(shù)問題求解平面曲線問題的目的. 在傳統(tǒng)教學(xué)模式中，學(xué)生不太容易理解曲線與方程之間的對應(yīng)關(guān)系. 但是，利用幾何畫板提供的相關(guān)功能，教師可向?qū)W生生動形象地呈現(xiàn)點(diǎn)的運(yùn)動過程，學(xué)生在觀察點(diǎn)的運(yùn)動軌跡時，更容易掌握構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的方法. 比如，教師在講授拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程這個知識時，傳統(tǒng)的教學(xué)方法為：教師首先在黑板上繪制一條定直線和一個定點(diǎn)，然后再繪制出n個到定直線距離相等的點(diǎn)，以及n個到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，這個過程非常煩瑣，并且操作起來也存在很大的難度. 但是，利用幾何畫板提供的功能，首先繪制出對應(yīng)的一個動點(diǎn)，通過拖動點(diǎn)的方式，并跟蹤點(diǎn)的運(yùn)行過程就能獲得該點(diǎn)的運(yùn)行軌跡，即拋物線，然后結(jié)合拋物線頂點(diǎn)的特殊位置，就能構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，其對稱軸為坐標(biāo)軸，最后結(jié)合拋物線概念就能獲得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 另外，教師在講解求解直線與半圓的交點(diǎn)個數(shù)時，可首先在幾何畫板軟件提供的平面直角坐標(biāo)系中繪制出半圓，直線為一組平行直線，這組平行直線的取值有所不同，然后在坐標(biāo)軸上任取一點(diǎn)，通過該點(diǎn)繪制出對應(yīng)斜率的直線，最后采用拖動該點(diǎn)的方式就可獲得一組動態(tài)的直線，學(xué)生通過觀察就能得到直線與半圓的交點(diǎn)變化情況，從而得出正確答案. 幾何畫板在平面解析幾何中的應(yīng)用，能使學(xué)生養(yǎng)成利用數(shù)形結(jié)合的思想處理幾何問題的習(xí)慣.

雖然幾何畫板具有制圖速度快、提高圖像精確度等優(yōu)點(diǎn)，但學(xué)生卻無法完整地觀察到圖像的生成過程，它呈現(xiàn)給學(xué)生的還是以結(jié)果為主. 久而久之，將影響學(xué)生的動手操作能力. 所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可利用它的優(yōu)點(diǎn)進(jìn)行輔助教學(xué)，但不能將其作為教學(xué)的主要手段，不能整堂課完全采用幾何畫板進(jìn)行教學(xué). 有些傳統(tǒng)的教學(xué)方法如“五點(diǎn)作圖法”仍然非常重要. 因此，在本文看來，數(shù)學(xué)教師在利用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)時，不能忽略傳統(tǒng)教學(xué)方法，應(yīng)當(dāng)將兩者進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，才能最大限度地提高教學(xué)質(zhì)量. 另外，幾何畫板生成圖像的原理還有待驗(yàn)證，這就容易誤導(dǎo)學(xué)生只知其一，不知其二. 特別是對于一些關(guān)于參數(shù)的函數(shù)圖像，幾何畫板雖然能直觀地將圖像呈現(xiàn)給學(xué)生，但學(xué)生卻不了解圖像生成及發(fā)生變化的原理，這就限制了學(xué)生思維的發(fā)展. 所以，本文認(rèn)為，教師在講解數(shù)學(xué)知識時，首先應(yīng)采用傳統(tǒng)教學(xué)方法讓學(xué)生理解知識要點(diǎn)，然后利用幾何畫板驗(yàn)證知識點(diǎn)是否正確，這不僅有利于學(xué)生深入理解知識，同時也提升了學(xué)生的思維能力.

[?]結(jié)語

幾何畫板提供的動態(tài)演示功能，使原本枯燥乏味的數(shù)學(xué)知識變得更加形象直觀、生動有趣，使學(xué)生更易理解與掌握數(shù)學(xué)知識，在一定程度上提升了學(xué)生觀察圖形、分析問題、處理問題的能力，培養(yǎng)與提升了學(xué)生的形象思維能力. 但是，學(xué)生將知識進(jìn)行內(nèi)化的過程是一個長期的過程，這中間需要學(xué)生對知識進(jìn)行理解、實(shí)踐、再理解、再實(shí)踐……，所以，高中數(shù)學(xué)教師在利用幾何畫板進(jìn)行教學(xué)時，不能完全依賴于它，教師應(yīng)當(dāng)將其與傳統(tǒng)教學(xué)方法結(jié)合在一起使用，讓學(xué)生主動參與到學(xué)習(xí)中來. 這樣才能最大限度地提升學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.