巧用向量等和線 求解一類高考題

張玉虎

[摘? 要] 平面向量是高中新課標教材新增的重要內(nèi)容，是有效連接代數(shù)與幾何的橋梁，已經(jīng)成為高考數(shù)學命題的一個熱點，向量等和線為求解向量系數(shù)和問題打開了一種嶄新的解題空間，體現(xiàn)出考生的良好學科素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 向量;等和線;高考題

平面向量是新課標教材新增內(nèi)容之一，具有有效溝通代數(shù)和幾何的橋梁作用，向量也是人們解決數(shù)學問題的一種重要數(shù)學工具. 在高考數(shù)學中向量既是一個必考知識點，也是一個創(chuàng)新命題的切入點，考題?？汲Ｐ?，而且在近幾年的考題中對知識的綜合性和靈活性考查增強，相應(yīng)難度有所提升，如2017年全國卷Ⅱ、全國卷Ⅲ，向量題就被安排在選擇題的第12題.因此，教師在指導學生對平面向量進行復習時，要重視回歸教材，指導學生對教材中向量的定理、例題、習題展開適當?shù)奶骄颗c思考，以拓展知識和能力，其中從平面向量基本定理探究出的向量等和線就是一個重要例子，利用向量等和線求解向量線性運算中系數(shù)和問題，比建系轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解更顯自然和流暢，有效降低了知識綜合性要求與運算能力要求.

[?]向量等和線定理的探究

若過點P作AB的平行線l，在平行線l上任取一點Q，OQ交AB于點Q，由平行線間對應(yīng)線段成比例定理知=k，同樣也可得x+y=k，即平行線l上任意點恒有x+y=k，稱平行線l為等和線. 從而可得：在向量起點相同的條件下，所有與AB平行的直線上的點為終點的向量，共基底的系數(shù)和為定值. 定值的大小只與起點到等和線的距離成正比，如圖2.

（1）當?shù)群途€與起點O在AB的兩側(cè)時，k∈（1，+∞）;

（2）當?shù)群途€在起點O與AB之間時，k∈（0，1）;

（3）當?shù)群途€與AB在起點O的兩側(cè)時，k∈（-∞，0）;

（4）當?shù)群途€與AB重合時：k=1;

（5）當?shù)群途€恰好過起點O時：k=0.

[?]向量等和線的應(yīng)用

1. 求共起點向量線性運算的系數(shù)和

從向量等和線定理可知，求線性系數(shù)和問題就是在等和線上取一特殊點求=k.

例1：（2017年全國卷Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上，若=λ+μ，則λ+μ的最大值為（? ）

A. 3 B. 2 C.D. 2

解析：如圖3，作圓C與BD平行的切線l，設(shè)切點為P，

連接AP交BD于P1，則直線l為使λ+μ取得最大值的等和線，

此時==3，故選A.

例2：（2009年安徽卷）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖4所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動，若=x+y（x，y∈R），則x+y的最大值為________.

解析：在圓弧AB上過C點作AB的所有平行線中，當平行線與圓弧AB相切時離圓心最遠，此時等和線的k取得最大值，結(jié)合圓心角可計算得kmax=2.

2. 求非共起點向量線性運算的系數(shù)和

由于高中階段所學向量均為自由向量，把向量平移是相等向量，所以在用等和線求解問題時，若兩向量的起點不同，可以將向量平移實現(xiàn)起點重合.

例3：（2013年江蘇卷）設(shè)點D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC. 若=λ1+λ2（λ1，λ2∈R），則λ1+λ2的最大值為________.

解析：如圖5，過點A作=，延長AF與BC交于點M.

由于∥且點D為AB的中點，從而E也為BM的中點，

所以F也為AM的中點，可得DF∥BC，因此λ1+λ2=，也為最大值.

3. 求向量線性運算系數(shù)的線性關(guān)系式

有時候所求解的可能是系數(shù)的一般線性關(guān)系式，而非系數(shù)和，考慮到向量可以通過數(shù)乘運算將向量進行同向或者反向伸長、壓縮，所以從理論上講，所有系數(shù)的線性關(guān)系式，都可以通過改變向量的基底，將所求系數(shù)的線性關(guān)系式變?yōu)閮蓚€新的基向量的系數(shù)和.

求x+3y可轉(zhuǎn)化為以，為基底的系數(shù)和. 如圖6，當點C在點A處時，經(jīng)過k=1的等和線;當點C在點B處時，經(jīng)過k=3的等和線，這兩個值就是等和線最近與最遠的值，所以系數(shù)和k的取值范圍為[1，3]，故選C.

4. 求基底為變化向量的系數(shù)線性系式

當基向量的終點是變化的，使系數(shù)和μ+λ=1的等和線也是變化的，所以滿足條件的的等和線也相應(yīng)保持平行變化，從而求解問題的關(guān)鍵在于探求保持平行變化中滿足條件的等和線位置.

當點P在半圓弧AB上變化時，以，為基向量的值為1的等和線PD′相應(yīng)發(fā)生改變，從而過E點的等和線EE′也跟隨改變. 通過觀察知當P運動到P′點時，值為1的等和線PD′與過E點的等和線EE′重合，此時2x+y的最小值為1，故選C.

[?]向量等和線的推廣

與向量等和線相對應(yīng)的還有向量的等差線、等積線和等商線，各自定義分別如下：

1. 向量的等差線

平面內(nèi)一組基底，及任一向量，設(shè)=λ+μ（λ，μ∈R），點C為線段AB的中點，若點P在直線OC上或在平行于OC的直線上，則λ-μ=k（定值），反之也成立. 我們把直線OC以及與直線OC平行的直線稱為向量的等差線，如圖8.

2. 向量的等積線

平面內(nèi)一組基底，及任一向量，設(shè)=λ+μ（λ，μ∈R），若點P在以直線OA，OB為漸近線的雙曲線上，則λμ=k（定值），反之也成立. 我們把以直線OA，OB為漸近線的雙曲線稱為向量的等積線.

3. 向量的等商線

平面內(nèi)一組基底，及任一向量，設(shè)=λ+μ（λ，μ∈R），若點P在過O點（不與OA重合）的直線上，則=k（定值），反之也成立.

我們把過點O的直線（除OA外）稱為向量的等商線，如圖9.

對直線OC上任意一點都恒為定值，不妨過點A作AC1∥OB交OC于點C1，再過點C1作B1C1∥OA交OB于點B1，由已知可得AC1=OB1=，從而=+=+，即此時m=1，n=.

所以定值=3，故選B.

從以上對歷年向量高考題的解題分析可以看出，向量的等和線巧妙地將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為圖形關(guān)系問題，將系數(shù)和的代數(shù)式運算轉(zhuǎn)化為了距離的比例運算，數(shù)形結(jié)合思想得到了有效直接的體現(xiàn). 向量的等和線法將復雜的不等式問題、范圍問題、數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為簡單、直接、操作方便的點到直線距離問題，很多時候用相似即可迅速解決，提高了做題時間效率和正確率，提升了學生的學習熱情和學習興趣，也是素養(yǎng)立意的高考命題原則的體現(xiàn).