領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想 提升思維品質(zhì)

黃勝懷

[摘? 要] 波利亞認(rèn)為解題就是“問題轉(zhuǎn)換”，把問題轉(zhuǎn)化為一個等價的問題，或把問題化歸為一個已解決的問題. 數(shù)學(xué)解題過程無不蘊含著數(shù)學(xué)思想，同時也指導(dǎo)著解題活動，訓(xùn)練著思維品質(zhì). 文章從斜率、角平分線、相似三角形、平向向量、解三角形等視角，對2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科第20題進(jìn)行了解法探究，并分享了一些教學(xué)思考.

[關(guān)鍵詞] 解析幾何;轉(zhuǎn)化;數(shù)學(xué)思想

[?]真題再現(xiàn)

（2018年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ文科第20題）設(shè)拋物線C：y2=2x，點A（2，0），B（-2，0），過點A的直線l與C交于M，N兩點.

（1）當(dāng)l與x軸垂直時，求直線BM的方程;

（2）證明：∠ABM=∠ABN.

試題分析：試題從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變，比往年難度有所降低，充分考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的基本思想，體現(xiàn)了邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).第（1）問考查直線與拋物線的位置關(guān)系;第（2）問考查拋物線中動態(tài)性質(zhì)的證明，綜合考查斜率、角平分線、相似三角形、平向向量、解三角形等知識的應(yīng)用.

[?]多視角下的解法分析

當(dāng)l與x軸垂直時，AB為MN的垂直平分線，顯然有∠ABM=∠ABN. 為便于解法研究，下列各解法僅研究直線l與x軸不垂直的情形.

1. 斜率視角

2. 角平分線視角

3. 相似三角形視角

4. 平面向量視角

5. 解三角形視角

上述10個解法從與角有關(guān)的知識出發(fā)，進(jìn)行廣泛的聯(lián)系，從多個視角展開了解法探究. 不難發(fā)現(xiàn)解法1是最佳轉(zhuǎn)化的方式，最直接地將幾何的角轉(zhuǎn)化為代數(shù)的斜率和為零. 其余9種解法均不同程度地進(jìn)行幾何關(guān)系的優(yōu)化，再轉(zhuǎn)化為代數(shù)，深刻地體現(xiàn)了解析幾何既是幾何又是代數(shù)，雖然在求解本題時這9種解法略顯繁雜，但是從不同角度應(yīng)用知識，鼓勵學(xué)生積極思考，能很好地幫助他們提升思維品質(zhì)，而非就題講題，是將數(shù)學(xué)題當(dāng)成數(shù)學(xué)問題進(jìn)行研究.

[?]對教學(xué)的啟示

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)主要內(nèi)容之一，也是高考的核心內(nèi)容，其研究的對象是幾何圖形，采用的研究方法是坐標(biāo)法.通過對高考真題的解法探究，不難發(fā)現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向下的試題突出幾何直觀、邏輯推理、運算求解等核心素養(yǎng)，更強調(diào)對轉(zhuǎn)化的要求，教學(xué)中需力求實現(xiàn)上述導(dǎo)向.

首先，要讓學(xué)生掌握解決平面解析幾何問題的基本過程，明確幾何特征（如交點、斜率、平行、垂直、共線、夾角、距離、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等）與方程形式之間的本質(zhì)聯(lián)系，再選擇恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)表達(dá)來刻畫幾何特征. 其次，教師要多示范板書，同時必須讓學(xué)生多動手操作，學(xué)會等價轉(zhuǎn)化，并在操作中領(lǐng)悟化簡變形的重要性和如何簡化運算. 再者，近年來的圓錐曲線的全國各地高考題經(jīng)常是選用某個背景結(jié)論為載體進(jìn)行編制，如本題和2018年高考理科數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷19題背后其實就是圓錐曲線“伴侶點”的一個和諧性質(zhì)[1]，這個性質(zhì)在拋物線（2018文科20題）、橢圓（2018理科19題）、雙曲線都成立. 因此，教學(xué)中要重視課本例題、習(xí)題、試題中背景結(jié)論的挖掘和積累，掌握背景結(jié)論的推導(dǎo)方法及過程，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，運用模型解決問題.

總之，落實和發(fā)展核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于學(xué)生思維品質(zhì)的提升. 因為數(shù)學(xué)思維其核心就是數(shù)學(xué)思想. 所以，要讓學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想，學(xué)會用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想方法來分析問題、解決問題;引導(dǎo)學(xué)生有意識地去觀察尋找各種特征、聯(lián)系，引發(fā)聯(lián)想，特別是發(fā)掘問題與已有知識之間具有啟發(fā)性的聯(lián)系，獲得解題方向，有針對性地通過一題多解、多變、多用，來訓(xùn)練和提升思維的靈活性、深刻性、獨創(chuàng)性等思維品質(zhì). 最終將學(xué)生的解題轉(zhuǎn)變?yōu)榻鉀Q問題，將做題轉(zhuǎn)變?yōu)樽鋈?、做事[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]? 鄒生書. 圓錐曲線“伴侶點”的一個和諧性質(zhì)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（2）：40.

[2]? 任子朝. 從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（13）：5.