類(lèi)比激發(fā)數(shù)學(xué)思維 提高學(xué)習(xí)遷移能力

樂(lè)海霞

【摘 要】類(lèi)比是探究未知事物的工具，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中偉大的引路人。等比數(shù)列和等差數(shù)列僅一字之差，具有某種可比性，用類(lèi)比思想去認(rèn)識(shí)等比數(shù)列，體會(huì)類(lèi)比是探究未知事物的引路人。

【關(guān)鍵詞】等比數(shù)列；類(lèi)比；數(shù)學(xué)思維

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）10-0061-02

1 教學(xué)內(nèi)容解析

本課來(lái)自人教A版必修5中的2.4節(jié).學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)、性質(zhì)及前項(xiàng)和，對(duì)于特殊數(shù)列要探究哪些知識(shí)，運(yùn)用哪些方法，學(xué)生有了一些經(jīng)驗(yàn)。

本課研究?jī)?nèi)容是等比數(shù)列，等比數(shù)列和等差數(shù)列僅一字之差，具有某種可比性，引導(dǎo)學(xué)生用類(lèi)比思想認(rèn)識(shí)等比數(shù)列，體會(huì)類(lèi)比是探究未知事物的引路人。

難點(diǎn)在等比數(shù)列與等差數(shù)列之間的差異使類(lèi)比的結(jié)論有或然性，要引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)討論。

2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

（1）從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)列模型過(guò)程中理解等比數(shù)列定義，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)，理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。（2）從等比數(shù)列通項(xiàng)公式的探討過(guò)程中感受研究特殊數(shù)列的思路與方法；會(huì)用定義判斷等比數(shù)列，會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比中項(xiàng)。（3）類(lèi)比指數(shù)函數(shù)圖象，探索等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象特征及與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系[1]。

3 學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)習(xí)《函數(shù)》，對(duì)函數(shù)的研究結(jié)構(gòu)和方法有了體驗(yàn)，對(duì)指數(shù)函數(shù)有一定的認(rèn)識(shí)；學(xué)習(xí)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)和前項(xiàng)和，經(jīng)歷特殊數(shù)列研究的一般過(guò)程，有從特殊到一般、具體到抽象的思維經(jīng)歷。

4 教學(xué)策略分析

采用問(wèn)題啟發(fā)和自主探究的教學(xué)方式。學(xué)生研究過(guò)等差數(shù)列，熟悉特殊數(shù)列要探究的知識(shí)及所用的方法。重點(diǎn)是用類(lèi)比的方法探究等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，嘗試用已有知識(shí)去類(lèi)比，使學(xué)生經(jīng)歷由表及里的探究

過(guò)程[2]。

5 教學(xué)過(guò)程

5.1 教學(xué)目標(biāo)

（1）通過(guò)實(shí)例理解等比數(shù)列的概念。

（2）通過(guò)類(lèi)比等差數(shù)列探索等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，會(huì)根據(jù)定義判斷等比數(shù)列，會(huì)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并簡(jiǎn)單應(yīng)用。

（3）類(lèi)比指數(shù)函數(shù)圖象，探索等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象特征。

5.2 教學(xué)重點(diǎn)

等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。

5.3 教學(xué)難點(diǎn)

等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

5.4 教學(xué)過(guò)程

5.4.1 創(chuàng)設(shè)情境引入新課

師：《孫子算經(jīng)》卷下有題：“今有出門(mén)望見(jiàn)九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問(wèn)各幾何?！?/p>

生：9，81，729，94，95，96，97，98。

師：從前后項(xiàng)來(lái)看，這列數(shù)有什么特點(diǎn)？

生：后一項(xiàng)比前一項(xiàng)是同一個(gè)常數(shù)。

師：有這個(gè)特點(diǎn)的數(shù)列在生活中很常見(jiàn)。細(xì)胞分裂個(gè)數(shù)組成數(shù)列1，2，4，8，……?！耙怀咧?，日取其半，萬(wàn)世不竭?！比舭选耙怀咧贰笨闯蓡挝弧?”，得到數(shù)列是：1，，，，……。還有銀行復(fù)利問(wèn)題等。今天我們學(xué)習(xí)等比數(shù)列。

意圖：從《孫子算經(jīng)》的名題引入，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的歷史文化向度，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)形成過(guò)程，享受數(shù)學(xué)的有用性、有趣性。

師：前面研究了等差數(shù)列的哪些內(nèi)容？

生：等差數(shù)列的定義，等差中項(xiàng)的概念，等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。

意圖：溫故知新，對(duì)所學(xué)知識(shí)起到先導(dǎo)作用，滲透類(lèi)比思想。

師：從名稱看，等比數(shù)列和等差數(shù)列僅一字之差，有某種可比性，用什么方法來(lái)研究等比數(shù)列的哪些內(nèi)容？

生：用類(lèi)比等差的方法學(xué)習(xí)等比數(shù)列的定義，等比中項(xiàng)的概念，等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和。

意圖：明確本節(jié)課的任務(wù)：學(xué)什么？怎么學(xué)？

5.4.2 小組合作探究新課

參考任務(wù)單，類(lèi)比等差數(shù)列，小組對(duì)等比數(shù)列中的知識(shí)點(diǎn)加以探究，小組內(nèi)討論、交流。

意圖：發(fā)揮學(xué)生主體性，體驗(yàn)類(lèi)比探究的過(guò)程，學(xué)生的獨(dú)立思考、同學(xué)間的合作交流，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的能力。

5.4.3 成果展示推進(jìn)新課

展示一等比數(shù)列的定義

生：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q1 0），其符號(hào)語(yǔ)言是。

意圖：通過(guò)學(xué)生的獨(dú)學(xué)、合作等方式，類(lèi)比得出等比數(shù)列的定義，嘗試用遞推公式描述等比數(shù)列。

追問(wèn)：（1）說(shuō)出三個(gè)等比數(shù)列的公比；（1）9，81，729，94，95，96，97，98（2）1，2，4，8，……。（3）1，，

，，……。

舉例：（1）一個(gè)公比為的等比數(shù)列；（2）一個(gè)公比為的等比數(shù)列；（3）一個(gè)不是等比數(shù)列的數(shù)列；（4）一個(gè)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列。

師生小結(jié)：，

意圖：引導(dǎo)學(xué)生理性思考，突出等比數(shù)列本質(zhì)屬性，加深對(duì)等比數(shù)列定義的理解。

聚焦一 等比中項(xiàng)的概念

師：要構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)最少幾項(xiàng)？

生：3項(xiàng)

師：3項(xiàng)成等比，有什么發(fā)現(xiàn)？

生：在與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做與b的等比中項(xiàng).其符號(hào)語(yǔ)言表示為：G2=b，

生：任意兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)？若G2=b，則，G，b成等比數(shù)列嗎？

生：不成立，當(dāng)，時(shí)，不成立。

師生完善小結(jié)。

意圖：等比中項(xiàng)是等比數(shù)列的特殊情況，通過(guò)學(xué)生的類(lèi)比、探究，理解等比中項(xiàng)的概念。

探究二 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

師：若聚焦到等比數(shù)列的特定項(xiàng)，研究什么？

生：通項(xiàng)公式。（學(xué)生上臺(tái)板演推導(dǎo)過(guò)程）

老師提煉：若確定了一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，就可以求出通項(xiàng)公式。

意圖：類(lèi)比等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法，經(jīng)歷等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，感受類(lèi)比是偉大的引路人。

師：可從幾個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式呢？

生：方程角度和函數(shù)角度。

師：很好！從方程角度來(lái)看，有什么啟發(fā)？

聚焦二 等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

師：若從函數(shù)角度來(lái)看，等比數(shù)列與什么函數(shù)有關(guān)？（請(qǐng)學(xué)生成果展示）

教師借助信息技術(shù)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的圖象特征，歸納等比數(shù)列通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系。

意圖：體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系，加強(qiáng)直觀感受，體驗(yàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。

5.4.4 成果運(yùn)用內(nèi)化新課

例1.已知數(shù)列滿足：，求的通項(xiàng)公式。

變式：已知數(shù)列滿足：，，

（1）證明：是等比數(shù)列；（2）求的通項(xiàng)

公式。

意圖：通過(guò)變式提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用水平，熟練用定義判斷或證明數(shù)列是等比數(shù)列。

例2.一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第1項(xiàng)和第5項(xiàng)。

拓展：求例2中的第5項(xiàng)，除用知三求一的基本量思想，還有其他辦法嗎？

意圖：熟練知三求一過(guò)程，讓學(xué)生理解公式的本質(zhì)，拓展為下節(jié)課對(duì)性質(zhì)研究鋪墊。

5.4.5 歸納總結(jié)收獲新課

（1）歸納研究特殊數(shù)列的思路

生：知識(shí)體系上可學(xué)習(xí)特殊數(shù)列的定義、通項(xiàng)、性質(zhì)、前項(xiàng)和；思想方法上可用類(lèi)比的方法學(xué)習(xí)新數(shù)列，推導(dǎo)通項(xiàng)公式時(shí)可用特殊到一般的歸納法。

（2）類(lèi)比對(duì)你有什么啟發(fā)嗎？

生：學(xué)習(xí)了等差數(shù)列、等比數(shù)列，可用類(lèi)比的方法學(xué)習(xí)等和數(shù)列、等積數(shù)列。

生：在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，若、是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列，若、是等比數(shù)列，則數(shù)列也是等比數(shù)列嗎？呢？

6 結(jié)束語(yǔ)

師：我們用類(lèi)比等差數(shù)列的方法，完成本節(jié)課的探究。我們感嘆：類(lèi)比，一個(gè)偉大的引路人！但類(lèi)比，僅僅是引路，怎么走，得靠自己一步一個(gè)腳印地走！只有這樣，我們才能領(lǐng)略到人生不一樣的風(fēng)景！

【參考文獻(xiàn)】

[1]閆桂琴.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010（7）.

[2]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育學(xué)（2版）[M].北京：高等教育出版社，2009（1）.