借助“問題化”，實現(xiàn)數(shù)學形態(tài)轉化

陳洪偉

摘? 要：數(shù)學知識在教材中的存在形態(tài)是多樣化的。教師在教學中應當充分發(fā)揮數(shù)學的“問題化”教學功能，將學術形態(tài)、史學形態(tài)和散點形態(tài)的數(shù)學轉化為原始形態(tài)、教育形態(tài)和整體形態(tài)。由此充分發(fā)揮數(shù)學教學的育人功能。

關鍵詞：數(shù)學教學;問題化;形態(tài)轉化

數(shù)學知識存在形態(tài)是多樣化的，比如“原始形態(tài)”“學術形態(tài)”“史學形態(tài)”“教育形態(tài)”和“學習形態(tài)”，等等。其中，有些形態(tài)是具體的、形象化的，是學生容易理解的，比如教育形態(tài)、學習形態(tài)等。有些形態(tài)是抽象的、符號化的，是學生不容易理解的，比如學術形態(tài)、史學形態(tài)等。對于教師而言，一個重要的使命就是實現(xiàn)數(shù)學形態(tài)之間的轉化，將學生不易理解的形態(tài)轉化為容易理解的形態(tài)。而“問題化策略”是實現(xiàn)數(shù)學形態(tài)轉化的有效路徑。

一、“追根溯源”地問，將“學術形態(tài)”的數(shù)學轉化為“原始形態(tài)”

所謂“學術形態(tài)”的數(shù)學，是指“數(shù)學家在發(fā)表論文時所采用的一種形態(tài)，這種形態(tài)往往比較嚴謹、概括、形式化，但卻將數(shù)學原始、火熱的思考淹沒在形式化海洋之中”（華東師范大學張奠宙教授語）。在數(shù)學教學中，教師要警惕數(shù)學本質被過度形式化所掩蓋。為此，可借助問題化策略，對數(shù)學知識追根、求本、溯源。換言之，在數(shù)學教學中，教師要恢復數(shù)學知識誕生時的鮮活，將“冰冷的美麗”轉化為“火熱的思考”。

在數(shù)學教材中，數(shù)學知識通常是以符號化、簡約化的形態(tài)存在的，因而通常也就是“學術形態(tài)”的數(shù)學，當然有時也夾雜著“教育形態(tài)”。為此，教師就要深度發(fā)掘數(shù)學知識形成的來龍去脈歷程，了解數(shù)學知識誕生時的鮮活背景，將“學術形態(tài)”的數(shù)學轉化為“原始形態(tài)”的數(shù)學。比如教學《小數(shù)的意義》，有教師直接從貨幣單位、長度單位等引入小數(shù)，將1角改寫成0.1元，將1分改寫成0.01元，等等。教師急于讓學生進行數(shù)的改寫，學生盡管知曉小數(shù)意義，但卻完全是模仿式的“依葫蘆畫瓢”，學生不理解為什么要學習小數(shù)？“量（liàng）起于量（liáng）”，筆者在教學中引導學生測量學桌。當學生用米尺測量，不到1米時，筆者適時追問學生：不夠1米，怎么辦呢？學生自然想到將1米平均分成10份，得到0.1米，用0.1米來測量。當學生用0.1米測量后，多余部分又不夠0.1米，這時，學生又自然想到將0.1米再次平均分成10份，也就是將1米平均分成100份，從而用更小的小數(shù)來表示，如此等等，小數(shù)產(chǎn)生的原始形態(tài)被凸顯出來。教學中，教師可以相機追問學生：“將1米平均分成10份、100份、1000份……后，得到了0.1米、0.01米、0.001米……，是不是就這樣簡單而又麻煩地書寫？”學生再一次對原始形態(tài)小數(shù)展開了深度思考。在問題倒逼下，有學生想到給這些小數(shù)的數(shù)量命名，如0.1米就是1分米，0.01米就是1厘米，0.001千克就是1克，0.001噸就是1千克，等等。最后，筆者以個位為臨界點，讓學生向左延宕，滿十進一;向右延宕，化一為十，整數(shù)和小數(shù)被有機貫通，從而充實了學生對原先整數(shù)數(shù)位順序表的認識。

教師要用本源性問題，驅動學生探究數(shù)學知識的本質。比如在上述教學過程中，“不夠1米怎么辦”就是催生學生借助火熱的思考，產(chǎn)生對1米平均分的需求。在這個過程中，讓學生感受到小數(shù)產(chǎn)生的必要性。只有當學生感受到數(shù)學知識在數(shù)學知識結構中形成的意義和價值時，數(shù)學知識對學生而言才是真正有意義和價值的，才能敞亮學生的數(shù)學視界。

二、“思疑證惑”地問，將“史學形態(tài)”的數(shù)學轉化為“教育形態(tài)”

所謂“史學形態(tài)”，是指數(shù)學教材中那些客觀的數(shù)學史知識、素材、趣聞、逸事，等等。以蘇教版教材為例，數(shù)學教材中的數(shù)學史通常都是以“你知道嗎”的形式嵌入教材，直接向學生展示。這樣的數(shù)學史教師易把握，學生易閱讀。但與此同時，還有一類數(shù)學史，是以隱性形態(tài)存在于教材之中的，有待教師的精心發(fā)掘。作為教師，要對這些數(shù)學知識進行“思疑證惑”地發(fā)問，引導學生感受教材中數(shù)學知識的歷史形態(tài)，同時將數(shù)學知識的“史學形態(tài)”轉變?yōu)椤敖逃螒B(tài)” [1]。

比如《認識負數(shù)》這一部分內(nèi)容，與數(shù)學史聯(lián)系非常緊密，許多教師曾經(jīng)拿它做文章。作為教師，要研讀數(shù)學史，以便從人類探索“負數(shù)”的歷程中獲得教學啟示。過去，不少教師常常從生活實例入手，如向東走50米記作正數(shù)+50米，向西走100米記作-100米。這樣的負數(shù)概念就容易讓學生將“正數(shù)和負數(shù)”等同于“說反義詞”，降低了負數(shù)的數(shù)學意義。如當教師在課堂上詢問學生，“-100米”和“+50米”哪個數(shù)量大時，絕大部分學生都認為“-100米”大，因為“-100米”表示向西走100米，而“﹢50米”只表示向東走50米。學生的說法是有道理的，因為這時，盡管他們也能用正負數(shù)表示“具有相反意義的量”，但負數(shù)在這里都是以正數(shù)范疇、視角來考量的，用初中數(shù)學語言表達就是“絕對值”。中國古代盡管早就有了正負數(shù)記載，但就因為囿于生活范疇而沒有得到發(fā)展。現(xiàn)代意義上的負數(shù)不是從生活中誕生的，而是源于數(shù)學發(fā)展的需要、需求，即“從減法運算的封閉性”思考中誕生的。鑒于此，筆者在教學中，借助“數(shù)軸”，讓學生在數(shù)軸上認識正數(shù)、0和負數(shù)，并以0為中心，讓學生建立正負數(shù)對應關系?！皬?往右正著數(shù)，能數(shù)得完嗎？”“你能從0往左數(shù)嗎？”“0的右邊的數(shù)叫作正數(shù)，0的左邊的數(shù)叫作負數(shù)?！薄罢龜?shù)和負數(shù)是一一對應的，這些正數(shù)對應著哪些負數(shù)呢？”正是借助這些“思疑證惑”地發(fā)問，學生初步認識了負數(shù)，了解了負數(shù)，從數(shù)學的、抽象的、形式化的意義上建構了負數(shù)。學生認識到，正是由于有了負數(shù)，整個數(shù)軸才具有完整的意義。

“思疑證惑”地問，就是要深入挖掘（構造）蘊藏于數(shù)學知識背后的數(shù)學史活動要素 [2]。以問題為線索，能搭建數(shù)學“史學形態(tài)”與“教育形態(tài)”之間的橋梁，并促成數(shù)學知識由“史學形態(tài)”向“教育形態(tài)”轉化。這里，重要的不是鏈接數(shù)學史，而是將數(shù)學史思想、文化與精神融入、滲透數(shù)學教學之中，以擴大數(shù)學知識史學形態(tài)的育人價值。

三、“聚點成塊”地問，將“散點形態(tài)”的數(shù)學轉化為“整體形態(tài)”

數(shù)學知識原本是一個整體、一個系統(tǒng)，古希臘歐幾里得的《幾何原本》就是一個例證。但在現(xiàn)代數(shù)學教材之中，整體性、系統(tǒng)性、結構性的數(shù)學知識被人為分割、肢解。因此，數(shù)學知識在教材中的存在形態(tài)就是“散點形態(tài)”。作為教師，有義務、有責任、有必要將數(shù)學知識“散點形態(tài)”重新集結、聚攏，使之成為一個結構性的“整體形態(tài)”?！熬埸c成塊”地發(fā)問，能夠喚醒學生的建構、結構意向，讓學生有意識地對數(shù)學知識進行勾連、貫通。

比如對于《小數(shù)乘整數(shù)》，絕大部分教師在教學中都是按照教材的編寫邏輯，從以下三種思路出發(fā)，進行教學。其一是“小數(shù)乘整數(shù)的意義”，如0.6×3=0.6+0.6+0.6=1.8（元）;其二是“小數(shù)在生活中的應用”，如0.6元是6角，6×3=18角，18角就是1.8元;其三從“小數(shù)的意義”出發(fā)，即6個十分之一乘3就相當于18個十分之一，也即是18個0.1，也就是1.8元。這樣的教學，盡管學生也能掌握知識，但學生對算理的理解是孤立的、片面的。筆者在教學中，從學生的已有知識經(jīng)驗出發(fā)，用問題引導學生自主建構。首先小數(shù)乘整數(shù)可以看成是整數(shù)乘整數(shù)的問題拓展，因此可以從整數(shù)乘整數(shù)出發(fā)。如“6×3，60×3，600×3…”，引導學生明晰“6個一乘3，6個十乘3，6個百乘3”，等等。通過這樣的鋪墊，嫁接學生新舊知識，為學生的知識建構奠基。因此，在出示“0.6×3”后，學生就會主動畫圖、主動用生活事例進行驗證。最后，筆者聚點成塊地發(fā)問，“整數(shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘小數(shù)有怎樣的聯(lián)系與區(qū)別？”學生積極反思，形成對整數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘整數(shù)的整體性、結構性、系統(tǒng)性認知。即“整數(shù)乘整數(shù)與小數(shù)乘整數(shù)，盡管乘積不同，但乘積的計數(shù)單位與因數(shù)的計數(shù)單位卻是一致的。”這樣的教學，為后續(xù)的小數(shù)乘小數(shù)教學奠定了堅實基礎，能夠形成積極的知識經(jīng)驗、活動經(jīng)驗。

南京大學數(shù)學系教授鄭毓信教授認為，“數(shù)學教學不應求全，而應求聯(lián)?！痹跀?shù)學教學中，只有引導學生將數(shù)學新知及時納入數(shù)學整體知識結構、系統(tǒng)之中，才能讓學生真正觸摸到數(shù)學的靈魂 [3]。抓住數(shù)學的整體性、結構性、系統(tǒng)性的脈絡，數(shù)學學習就能舉一反三、事半功倍。而“聚點成塊”地發(fā)問，能讓數(shù)學從割裂形態(tài)、散點形態(tài)走向整體形態(tài)、集約形態(tài)。

“問題化”是實現(xiàn)數(shù)學諸種形態(tài)轉化的一個最為重要的策略。在數(shù)學教學中，借助追根溯源地問、思疑證惑地問以及聚點成塊地問，深度發(fā)掘數(shù)學知識背后的育人資源、要素。從而將蘊藏在數(shù)學教材中“學術形態(tài)”“史學形態(tài)”和“散點形態(tài)”的數(shù)學知識，轉化成“原始形態(tài)”“教育形態(tài)”和“整體形態(tài)”的數(shù)學知識。

參考文獻：

[1]? 孟夢，李鐵安. “問題化”：數(shù)學“史學形態(tài)”轉化為“教育形態(tài)”的實踐路徑[J]. 數(shù)學教育學報，2018，27（3）.

[2]? 施惠芳. 小學數(shù)學教學中的“問題引領”策略[J]. 教育研究與評論（課堂觀察），2018（3）.

[3]? 王嵐. 小學數(shù)學課程統(tǒng)整：從理解到行動[J]. 江蘇教育研究，2014（5）.