建立異分母分?jǐn)?shù)加法法則教學(xué)設(shè)計(jì)

孟瑩 張昆

摘? 要：在實(shí)際教學(xué)中，我們很多時(shí)候只關(guān)注問(wèn)題的表面現(xiàn)象就進(jìn)行直接的教學(xué)，并沒(méi)有抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，從而損傷了知識(shí)的教育（學(xué)）價(jià)值。眾所周知，本質(zhì)是比較單一、穩(wěn)定、深刻的東西。當(dāng)我們抓住一道數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)特征時(shí)，也就找到了解決這道題目的突破口，從而體悟數(shù)學(xué)之美，同時(shí)也可以引導(dǎo)學(xué)生不只是“知其然”，更是“知其所以然”，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象與本質(zhì);辯證意識(shí);異分母分?jǐn)?shù)加法;計(jì)數(shù)單位

毛主席說(shuō)，“我們看事情必須要看它的實(shí)質(zhì)，而把它的現(xiàn)象只看作入門(mén)的向?qū)?，一進(jìn)了門(mén)就要抓住它的實(shí)質(zhì)，這才是可靠的科學(xué)分析方法”。毛主席又說(shuō)，“感覺(jué)到了的東西，我們不能立刻理解它，只有理解了的東西，才能更深刻地感覺(jué)它。感覺(jué)只解決現(xiàn)象問(wèn)題，理論才解決本質(zhì)問(wèn)題”。這就是說(shuō)，我們解決問(wèn)題、完成工作，總是要透過(guò)現(xiàn)象深入本質(zhì)。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象化特點(diǎn)，這在指導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中顯得特別重要?！艾F(xiàn)象與本質(zhì)”的交換是一種辯證思維的形式，數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)蘊(yùn)含著哲學(xué)的辯證精神，因而它是培養(yǎng)學(xué)生辯證意識(shí)的最為優(yōu)質(zhì)的課程資源。

一、“現(xiàn)象與本質(zhì)”的辯證意識(shí)的教學(xué)價(jià)值

“現(xiàn)象與本質(zhì)”這對(duì)哲學(xué)辯證范疇的內(nèi)涵具體體現(xiàn)在表示事物的表里及其相互關(guān)系，是反映人們對(duì)事物認(rèn)識(shí)水平和深度層次的一對(duì)哲學(xué)辯證法范疇的概念。眾所周知，一般情況下，現(xiàn)象往往會(huì)以扭曲的方式反映本質(zhì)。因此，人們剛剛接觸問(wèn)題信息時(shí)，這些現(xiàn)象中的某一個(gè)信息要素都可以作為某一條解決問(wèn)題或發(fā)生認(rèn)識(shí)的線索在引導(dǎo)著我們向某一種特定的方向前進(jìn)，如此可能導(dǎo)致將人們引入非本質(zhì)的歧途上去。于是，人們解決不了問(wèn)題，或者使得人們解決問(wèn)題的視野處于一種偏見(jiàn)的狀態(tài)中。由此可知，現(xiàn)象總是傾向于促使人們轉(zhuǎn)而依據(jù)這些現(xiàn)象中的另一個(gè)要素所提示的線索前進(jìn)，如此反復(fù)循環(huán)，直到獲得關(guān)于現(xiàn)象的本質(zhì)的那條線索，問(wèn)題才能較好地被解決。因此，現(xiàn)象終究是引人進(jìn)入本質(zhì)的入門(mén)向?qū)?，人們認(rèn)識(shí)事物總是透過(guò)現(xiàn)象深入本質(zhì)，否則我們就不能認(rèn)識(shí)與理解具體的事物，不能解決問(wèn)題。

由此分析發(fā)現(xiàn)，從現(xiàn)象到本質(zhì)的透顯過(guò)程中的詳細(xì)環(huán)節(jié)的展現(xiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中有著特別重要的教育意義與教學(xué)價(jià)值，它們表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：其一，從現(xiàn)象到本質(zhì)是解決一切疑難問(wèn)題的根本途徑，一個(gè)問(wèn)題解決不了或解決得不完善的主要原因就在于解題主體往往只是在現(xiàn)象上打圈子，而不能深入問(wèn)題的本質(zhì)，這樣既耽誤學(xué)習(xí)者的時(shí)間，又會(huì)消磨學(xué)習(xí)者的意志，從而損傷知識(shí)的教育（學(xué)）價(jià)值;其二，實(shí)現(xiàn)從現(xiàn)象到本質(zhì)所透顯的過(guò)程所依據(jù)的環(huán)節(jié)是教師啟發(fā)學(xué)生發(fā)生認(rèn)識(shí)、解決問(wèn)題的著力點(diǎn)，解題主體在探究解題思路時(shí)總是繞不過(guò)去從現(xiàn)象抵近本質(zhì)的幾個(gè)關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，這些關(guān)鍵性環(huán)節(jié)正是學(xué)習(xí)者需要萌發(fā)創(chuàng)新的數(shù)學(xué)觀念，生成解決問(wèn)題的具體方法，從而形成解決問(wèn)題的深度經(jīng)驗(yàn)的關(guān)節(jié)點(diǎn)。

當(dāng)學(xué)生在教師的啟發(fā)下進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，通過(guò)對(duì)某個(gè)問(wèn)題的正確認(rèn)識(shí)，學(xué)習(xí)主體就能親身經(jīng)歷與體驗(yàn)從“現(xiàn)象”深入“本質(zhì)”的過(guò)程。通過(guò)這一過(guò)程，一方面會(huì)將這種認(rèn)識(shí)過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于出現(xiàn)在他面前新的現(xiàn)象性問(wèn)題中去，這是解決問(wèn)題的心理遷移的一部分，由此可以導(dǎo)致其他同類現(xiàn)象性的問(wèn)題迎刃而解;另一方面，形成了經(jīng)驗(yàn)，從而借助從“現(xiàn)象”透顯“本質(zhì)”的經(jīng)驗(yàn)，在生成下一次探究問(wèn)題的思路時(shí)就能夠更容易地產(chǎn)生從“現(xiàn)象”過(guò)渡到“本質(zhì)”的心理活動(dòng)，減少探究活動(dòng)的心理環(huán)節(jié)，縮短探究活動(dòng)的時(shí)間，從而節(jié)省解題思維活動(dòng)展開(kāi)的心智資源，如此，最大限度地提高學(xué)習(xí)效率。

二、從“現(xiàn)象”透顯“本質(zhì)”形成辯證意識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)示例

陸游詩(shī)云：“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行?！彼自疲骸袄碓谟弥蟹街睢保跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)中，向?qū)W生完整地展示由現(xiàn)象探討其產(chǎn)生外顯“現(xiàn)象”的內(nèi)隱，“本質(zhì)”就尤為重要了。在課堂教學(xué)中的實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)不是一件容易的事情，它需要教師幫助學(xué)生剔除那些由現(xiàn)象將學(xué)生引入歧途的信息（特別注意，教師不應(yīng)該將自己通過(guò)思考獲得的精準(zhǔn)過(guò)程直接交給學(xué)生），最終達(dá)到鼓勵(lì)學(xué)生從“現(xiàn)象”（經(jīng)由學(xué)生自己的抽象與概括）抵達(dá)“本質(zhì)”的目的。我們看一個(gè)課堂教學(xué)中的例子：下面是兩位教師借助+的計(jì)算，建立異分母分?jǐn)?shù)加法法則的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，前一位教師記為教師甲，后一位教師記作教師乙。

我們首先來(lái)看一下教師甲的關(guān)于異分母分?jǐn)?shù)加法的新授課（筆者將教學(xué)過(guò)程整理抄錄如下）。

在上課之前，該教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧了一個(gè)關(guān)于同分母分?jǐn)?shù)加法的問(wèn)題：將一個(gè)西瓜平均分成8份，哥哥吃了其中的2份，也就是，弟弟吃了其中的1份，也就是，進(jìn)而提問(wèn)，哥哥和弟弟一共吃了這個(gè)西瓜的幾分之幾？學(xué)生通過(guò)先前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)可以得出，和的分?jǐn)?shù)單位都是，這個(gè)問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為2個(gè)加1個(gè)等于3個(gè)，也就是，所以+=。

對(duì)于該教師在上課之前拋出這個(gè)問(wèn)題作為鋪墊，筆者認(rèn)為：根據(jù)維果斯基“最近發(fā)展區(qū)”的理論，在學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)中，這些知識(shí)就會(huì)成為已經(jīng)形成的心理機(jī)能的發(fā)展水平，為學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加法的相關(guān)知識(shí)打下基礎(chǔ)。緊接著，該教師向?qū)W生講授了異分母分?jǐn)?shù)+的計(jì)算方法（說(shuō)明：文中省略號(hào)代表學(xué)生在進(jìn)行思考）。

師：同學(xué)們，我們來(lái)看一下+這道題目該如何進(jìn)行計(jì)算呢？

生：……

生1：我們可以通過(guò)畫(huà)圖的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。首先，我們拿出兩張同樣大小的圓形紙片，將其中的一張圓形紙片對(duì)折，也就是將這個(gè)圓形紙片平均分成2份，把其中的一份涂上顏色，用來(lái)表示;緊接著，將另一張圓形紙片平均分成三份，把其中的一份涂上顏色，用來(lái)表示。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，把第一張圓形紙片平均分成6份，陰影部分占其中的三份，可以用來(lái)表示;同樣的，也可以延長(zhǎng)第二個(gè)圓形紙片的三條平分線段，把這個(gè)圓形紙片平均分成6份，陰影部分占其中的2份，可以用來(lái)表示。通過(guò)先前的知識(shí)學(xué)習(xí)，可以得知=，=，所以+=+=。（圖1、圖2）

師：這位同學(xué)采取了數(shù)形結(jié)合的思想方法，把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，那么我們還有其他的方法可以解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：……

師：同學(xué)們?nèi)绻麤](méi)有什么想法的話，我們一起來(lái)看一下老師解決這個(gè)題目的思路：老師有12個(gè)蘋(píng)果，把它們平均分成兩組，每組各有6個(gè)蘋(píng)果，老師拿出第一組的3個(gè)蘋(píng)果給了李紅同學(xué)，拿出第二組的2個(gè)蘋(píng)果給了王明同學(xué)，李紅同學(xué)和王明同學(xué)所得蘋(píng)果分別占他們各自組的和，我們知道=，=，要想求這兩位同學(xué)所得蘋(píng)果的總數(shù)占全部蘋(píng)果數(shù)的多少，可以進(jìn)行如下計(jì)算：+=+=。

（隨后，該教師對(duì)于異分母分?jǐn)?shù)加法的算理進(jìn)行了講解。）

師：對(duì)于異分母分?jǐn)?shù)的加法來(lái)說(shuō)，我們可以先把這兩個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算。

從教師甲的教學(xué)方法不難看出，他只看到了這個(gè)問(wèn)題的表面現(xiàn)象。教師甲先將這兩個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行了通分，再按照同分母分?jǐn)?shù)的加法法則進(jìn)行計(jì)算，他沒(méi)有看到異分母分?jǐn)?shù)加法的本質(zhì)：要找到這兩個(gè)分?jǐn)?shù)共同的分?jǐn)?shù)單位后再進(jìn)行計(jì)算。而且，以上兩種計(jì)算方法都是存在弊端的：第一種是把符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成了圖形語(yǔ)言，但是學(xué)習(xí)程度較好的學(xué)生可能會(huì)提出一些疑問(wèn)，比如“為什么我們就能保證這兩張圓形紙片是絕對(duì)相同的呢？”“在保證這兩張圓形紙片絕對(duì)相同的前提下，我們就真的能保證把這兩張圓形紙片平均分成了六份嗎？”等諸如此類的問(wèn)題。對(duì)于第二種教學(xué)方法，教師甲只是符合了教學(xué)“情境”的要求，學(xué)生也能聽(tīng)得懂，但是這種教學(xué)就像是強(qiáng)加給學(xué)生一些定義或者方法，只是讓學(xué)生看到了問(wèn)題的表面，并沒(méi)有深層次地探究問(wèn)題的本質(zhì)是什么，學(xué)生無(wú)法探究到問(wèn)題的本質(zhì)，就可能會(huì)出現(xiàn)只知其然而不知其所以然，只會(huì)這一道題目而不是會(huì)這一類題目的情況。所以，教師甲的教并不是為了學(xué)生的學(xué)，這種教學(xué)方法并沒(méi)有體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位。

在分析完教師甲的教學(xué)過(guò)程后，我們?cè)賮?lái)分析一下教師乙的教學(xué)過(guò)程。

以下是教師乙的課堂教學(xué)實(shí)錄（實(shí)錄中的省略號(hào)代表學(xué)生在思考）。

師：如何解決+這個(gè)問(wèn)題？

生：……

師：大家看，①2支鉛筆+3支鉛筆=？②2支鉛筆+3支鋼筆=？

生1：2支鉛筆+3支鉛筆=5支鉛筆;問(wèn)題②不能進(jìn)行加法運(yùn)算。

師：為什么問(wèn)題②不能進(jìn)行加法運(yùn)算呢？

生2：因?yàn)檫@兩個(gè)物品的性質(zhì)不同，所以不能合并。

師：那么，要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)數(shù)的加法運(yùn)算，需要怎樣的前提條件？

生：這兩個(gè)數(shù)必須具有統(tǒng)一的單位。

師：這種發(fā)現(xiàn)對(duì)于討論+的計(jì)算方法是否有幫助呢？我們具體來(lái)看下這一類問(wèn)題。我們知道，在整數(shù)加法中有2+3=5，為什么這個(gè)式子可以進(jìn)行計(jì)算，是因?yàn)樗鼈兊挠?jì)數(shù)單位都是1;在小數(shù)加法中0.2+0.3=0.5能夠進(jìn)行計(jì)算，是因?yàn)樗鼈兊挠?jì)數(shù)單位都是0.1。那么據(jù)此類比，同學(xué)們對(duì)于解決這類問(wèn)題有什么想法呢？

生3：我們得想辦法找到與的一個(gè)統(tǒng)一的單位，并且使與在這個(gè)統(tǒng)一的單位下都變成整數(shù)，從而變不同的單位為相同的單位，變分?jǐn)?shù)為整數(shù)。

師：生3同學(xué)的這種設(shè)想可以辦到嗎？

生4：辦得到。我們可以把看作由以下數(shù)據(jù)組合而成：2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，……同樣的，可以把看作由以下數(shù)據(jù)組合而成：2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，……

師：生4同學(xué)通過(guò)拆分得到的結(jié)果對(duì)于討論+的計(jì)算方法有幫助嗎？

生5：通過(guò)觀察比較，我們可以看出，和有共同的分?jǐn)?shù)單位或……因?yàn)?3個(gè)，=2個(gè)，因此，求+的和就可以看作是求3個(gè)與2個(gè)的和，所以這個(gè)問(wèn)題就從求兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)的和轉(zhuǎn)化成了求兩個(gè)計(jì)數(shù)單位相同的正整數(shù)的和。同理，因?yàn)?6個(gè)，=4個(gè)，因此，+也可以看成是求6個(gè)與4個(gè)的和。

師：也就是說(shuō)，+=3個(gè)+2個(gè)=5個(gè)=，或者+=6個(gè)+4個(gè)=10個(gè)==。

接著，基于所得到的結(jié)論，教師乙鼓勵(lì)學(xué)生得出異分母分?jǐn)?shù)加法的“通分”法則的學(xué)習(xí)過(guò)程等。（具體活動(dòng)過(guò)程略）

我們可以看出，教師乙的教學(xué)抓住了這個(gè)問(wèn)題的根本性質(zhì)，也就是找出了兩個(gè)異分母分?jǐn)?shù)之間共同的計(jì)數(shù)單位。它是由產(chǎn)生加法的先決條件所決定的，所謂加法的先決條件，就是指“具有相同單位的多項(xiàng)數(shù)據(jù)可以簡(jiǎn)要地合并成一項(xiàng)”，這就是異分母分?jǐn)?shù)加法法則產(chǎn)生的內(nèi)在本質(zhì)。教師乙通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，誘導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到可以實(shí)現(xiàn)加法法則的本質(zhì)，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生找到具體的途徑，將異分母分?jǐn)?shù)加法中的每一個(gè)加數(shù)都轉(zhuǎn)化成了在某個(gè)計(jì)數(shù)單位下的正整數(shù)，這樣就可以進(jìn)行相應(yīng)的合并了。剩下的問(wèn)題（包括“異分母分?jǐn)?shù)加法法則的建立”）都是技術(shù)性的問(wèn)題，而不是概念性的問(wèn)題了。同時(shí)，學(xué)生經(jīng)由教師乙的教學(xué)活動(dòng)方式所得到的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)可以順利地遷移到新的數(shù)學(xué)運(yùn)算中去（如合并同類項(xiàng)、合并同類根式等）。由此可見(jiàn)，教師乙的教學(xué)活動(dòng)方式是優(yōu)于教師甲的。

因此，通過(guò)教師甲與教師乙建立異分母分?jǐn)?shù)加法法則的現(xiàn)實(shí)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)：在教學(xué)準(zhǔn)備工作中，教師一定要仔細(xì)分析數(shù)學(xué)知識(shí)，從中找出知識(shí)具體的特點(diǎn);接著根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，深入知識(shí)的本質(zhì);然后根據(jù)問(wèn)題的本質(zhì)，分析學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)的心理活動(dòng)過(guò)程，并選擇相應(yīng)的教學(xué)情境，設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，力圖引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)化問(wèn)題的現(xiàn)象性信息的心理過(guò)渡到問(wèn)題的本質(zhì)，從而增加教學(xué)的有效性，發(fā)揮知識(shí)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)。

三、簡(jiǎn)要結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)教學(xué)所要傳授的數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)固定（其最低限度已經(jīng)寫(xiě)入數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)），但是，選擇怎樣的傳授途徑來(lái)進(jìn)行課堂教學(xué)活動(dòng)，卻非固定不變。它隨著教師所吸收的教學(xué)理念的不同、持有的教學(xué)觀念不同、預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)不同、獲得的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同、支持教學(xué)活動(dòng)的媒體不同、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)性質(zhì)的理解不同、對(duì)學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)途徑的把握不同等，存在著多種選擇。不同的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)促成學(xué)生發(fā)展的結(jié)果大相徑庭，更讓數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)迥然有別。數(shù)學(xué)教師要完善自己的教學(xué)行為，獲得良好的教學(xué)效果，就不應(yīng)該拘泥于教科書(shū)的安排，而是要依據(jù)知識(shí)的具體特點(diǎn)，讓學(xué)生發(fā)生具有具體特點(diǎn)的知識(shí)認(rèn)識(shí)時(shí)的具體心理特點(diǎn)，用教材教而不是教教材。如此，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。我們所舉的例子很好地說(shuō)明了這種教學(xué)觀念。