基于分數(shù)階微分方程的木馬病毒傳播規(guī)律

葉星旸

(集美大學(xué)理學(xué)院， 福建 廈門 361021)

0 引言

隨著信息傳播速度的加快和計算機的普遍使用，信息安全問題成為了人們關(guān)注的一大熱點，木馬病毒的出現(xiàn)也極大威脅了信息安全。與其他計算機病毒相比，木馬病毒更具有“偽裝性”，木馬病毒通常以看起來無害的程序為載體存在于用戶的電腦中，一旦用戶觸發(fā)了相關(guān)的網(wǎng)頁或者軟件等，程序就開始運行，然后奪取用戶的控制權(quán)，從而達到竊取資料的目的。因此，研究木馬病毒的傳播規(guī)律從而找出有效控制木馬病毒傳播的措施，是非常有必要且具有重要的意義。

由于計算機病毒與生物病毒高度相似，因此，可以利用經(jīng)典的流行病倉室模型來研究計算機病毒的傳播規(guī)律，這方面已有大量的研究結(jié)果[1-8]。例如，文獻[1-2]考慮了計算機病毒的SIRS模型，文獻[3-4]研究了具有潛伏期的SEIR模型。然而，上述這些研究結(jié)果都是基于整數(shù)階微分方程模型。

近幾十年來，由于一些學(xué)科新現(xiàn)象新定律的發(fā)現(xiàn)，分數(shù)階微積分已成為一個研究熱點。隨著分數(shù)階微分方程的發(fā)展，分數(shù)階模型更加接近實際情況，能對生物系統(tǒng)進行更為細致深入的研究，越來越多的研究者也開始關(guān)注分數(shù)階傳染病模型[9-10]。然而，目前尚無文獻考慮利用分數(shù)階方程模型來研究木馬病毒的傳播情況。而且，分數(shù)階微分方程在研究一些具有記憶過程、遺傳性質(zhì)、異質(zhì)材料及遠程擴散過程比整數(shù)階方程模型更具有優(yōu)勢。木馬病毒通過將自身偽裝吸引用戶下載執(zhí)行，向施種木馬者提供打開被種主機的門戶，使施種者可以任意毀壞、竊取被種者的文件，甚至遠程操控被種主機。經(jīng)典的整數(shù)階方程如反應(yīng)擴散方程就很難準確地描述木馬病毒的這種遠程操控和大范圍傳播的擴散現(xiàn)象，而分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的全局性使得分數(shù)階微分方程能更準確地描述木馬病毒的這種遠程擴散現(xiàn)象。因此，本文通過建立合適的分數(shù)階微分方程模型研究木馬病毒的傳播規(guī)律。

1 木馬病毒傳播模型

由于木馬病毒一旦被計算機用戶觸發(fā)，則電腦立刻中病毒，因此木馬病毒幾乎沒有潛伏期?；诖?，假設(shè)在木馬病毒傳播范圍內(nèi)的計算機用戶有3種類型：1)易感者S，指尚未感染木馬病毒并有可能感染病毒的用戶，在t時刻其數(shù)量記為S(t)；2)感染者I，指已經(jīng)感染木馬病毒的用戶，在t時刻其數(shù)量記為I(t)；3)免疫者R，指具有免疫不會再感染木馬病毒的用戶，在t時刻其數(shù)量記為R(t)。木馬病毒在計算機間的傳播情況如圖1所示。

圖1中：γ為t時刻進入系統(tǒng)的計算機用戶數(shù)量；μ表示易感者因為安裝木馬補丁成為免疫者的比例；β為感染率，指的是在一定時間內(nèi)，易感者因為沒有安裝木馬補丁而感染上木馬病毒，由易感者轉(zhuǎn)變成感染者的計算機總數(shù)為βSI；ξ表示感染上木馬病毒的計算機在進行殺毒后打補丁或升級系統(tǒng)從而獲得永久免疫的比例?？紤]到計算機用戶在關(guān)閉計算機之后，木馬病毒不再活躍，因此t時刻有κ比例的用戶從易感者、感染者、免疫者移出系統(tǒng)。根據(jù)以上假設(shè)，建立如下的木馬病毒傳播的整數(shù)階微分方程模型：

(1)

借鑒文獻[11]的方法，在模型(1)的基礎(chǔ)上引入分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，得到如下的分數(shù)階微分方程模型：

(2)

2 解的有界性及唯一性

為證明本節(jié)的結(jié)論，需要用到下面的幾個引理。

下面給出主要定理。

證明假設(shè)當(dāng)t=0時，S(t)=0。首先證明S(t)≥0,?t≥0。假設(shè)S(t)≥0,?t≥0不成立，則存在t1>0,使得當(dāng)0≤t0,當(dāng)t=t1時，S(t)=0,當(dāng)t>t1時，S(t)<0。

(3)

3 平衡點

定理3 當(dāng)R0<1時，模型(2)有唯一一個未感染平衡點E0(γα/(μα+κα),0,μαγα/[κα(μα+κα)),當(dāng)R0>1時，模型除了一個未感染平衡點E0外，還有一個感染平衡點E*(S*,I*,R*)，其中S*=(ξα+κα)/βα,I*=[βαγα-(ξα+κα)(μα+κα)]/(βα(ξα+κα))=(μα+κα)(R0-1)/βα,R*=(μαS*+ξαI*)/κα。

定理4 當(dāng)R0<1時，系統(tǒng)(2)的無病平衡點E0局部漸近穩(wěn)定，當(dāng)R0>1時，E0不穩(wěn)定。

證明系統(tǒng)(2)在E0處的Jacobian矩陣為：

(4)

如果Jacobian矩陣J(E0)的所有特征值滿足條件[16]|arg(λ)|>απ/2，那么未感染平衡點E0是漸近穩(wěn)定的。容易求得J(E0)的所有特征值為λ1=-κα<0,λ2=-(κα+μα)<0,λ3=βαγα/(μα+κα)-(ξα+κα)=(ξα+κα)(R0-1),。顯然，當(dāng)R0<1時，λ3<0,于是，J(E0) 的所有特征值均為負實數(shù)，從而條件|arg(λ1)|>απ/2,i=1,2,3滿足，未感染平衡點E0是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)R0>1時，λ3>0，未感染平衡點E0不穩(wěn)定。

定理5 當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(2)的地方病平衡點E*局部漸近穩(wěn)定。

(λ+κα)[λ2+(μα+κα)R0λ+(ξα+κα)(μα+κα)(R0-1)]=0。

(5)

易知λ1=-κα<0是J(E*)的一個特征值，J(E*)的另兩個特征值λ2和λ3是方程λ2+(μα+κα)R0λ+(ξα+κα)(μα+κα)(R0-1)=0的根。由韋達定理可知:λ2+λ3=-(μα+κα)R0<0,λ2λ3=(ξα+κα)(μα+κα)(R0-1)。當(dāng)R0>1時，λ2λ3>0,于是，J(E*)的所有特征值均有負實部，從而條件|arg(λi)|>απ/2,i=1,2,3滿足，感染平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。

4 數(shù)值試驗

本節(jié)通過對模型(2)的數(shù)值模擬來研究模型平衡點的穩(wěn)定性情況。取定初始值為S(0)=40,I(0)=5,R(0)=10。

表1 α取不同值時模型(2)的基本再生數(shù)和平衡點 Tab.1 The basic reproduction number andequilibriums of model (2) for several ααR0E0E?1227.27(545.45,0,54.545)(2.4,497.8,99.8)0.864.859(144.09,0,22.836)(2.2216,128.81,35.896)0.617.735(37.117,0,9.3233)(2.0928,31.738,12.609)0.59.0928(18.61,0,5.885)(2.0467,15.064,7.3841)

例1 選取參數(shù)γ=60,β=0.05,μ=0.01,κ=0.1,ξ=0.02。表1列出了α=1,0.8,0.6,0.5時相應(yīng)的基本再生數(shù)R0、未感染平衡點E0和感染平衡點E*。由定理5知，表1中的感染平衡點E*是局部漸近穩(wěn)定的。在圖2中繪出了模型(2)的解隨時間的變化情況，從圖2中可以看出，模型(2)的解最終收斂于感染平衡點E*。例2 選取參數(shù)γ=60,β=0.001,μ=0.09,κ=0.2,ξ=0.1。當(dāng)α=0.6和0.8時，通過計算可得相應(yīng)的基本再生數(shù)為R0=0.474 54,0.575。由定理4知，模型(2)只存在唯一穩(wěn)定的未感染平衡點。圖3繪出了模型(2)的解隨時間的變化情況，從圖3中可以看出，模型(2)的解最終收斂于未感染平衡點E0。

5 結(jié)語

研究了一類基于分數(shù)階微分方程的木馬病毒傳播模型，得到：當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時，模型僅存在唯一的局部穩(wěn)定的未感染平衡點E0，此時病毒得到消除；當(dāng)基本再生數(shù)R0>1時，模型除了未感染平衡點E0外，還存在一個感染平衡點E*，且此時感染平衡點是局部穩(wěn)定的，病毒將擴散。

為了控制木馬病毒的傳播，應(yīng)想辦法減少基本再生數(shù)的值。注意到基本再生數(shù)的形式R0=βαγα/((ξα+κα)(μα+κα))，可以通過減少γ,β的值或者增加ξ,κ,μ的值使基本再生數(shù)的值減小。由于γ表示t時刻進入系統(tǒng)的計算機用戶數(shù)量，κ表示t時刻有κ比例的計算機用戶移出系統(tǒng)，所以通常情況下比較難控制γ和κ的值。因此，為減小基本再生數(shù)的值，關(guān)鍵在于減小傳染率β的值并增加ξ和μ的值。

結(jié)合參數(shù)的實際意義，給出如下建議：1)對計算機定期掃描系統(tǒng)檢查漏洞，并及時安裝木馬補丁，由此可以增加ξ和μ的值，從而減少感染計算機的數(shù)目；2)感染計算機及時退出計算機系統(tǒng)，等到系統(tǒng)漏洞修復(fù)完畢之后再聯(lián)網(wǎng)操作，由此可以減少感染者的數(shù)目，從而降低感染率。

此外，由前述數(shù)值模擬的結(jié)果可以看到分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α對模型解的影響。當(dāng)其他參數(shù)固定不變時，α的值越小，基本再生數(shù)的值也越小。由定理4和定理5可以看到，當(dāng)基本再生數(shù)從R0>1變化到R0<1時，模型最終的平衡狀態(tài)將由穩(wěn)定的感染平衡點變化為穩(wěn)定的未感染平衡點，由此可以推測分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)α是模型的一個分岔值。然而，如何從理論上來證實這一推測，分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)在模型中的實際意義又是什么，這些問題有待在后續(xù)的研究工作中進一步探討。