修正Camassa-Holm方程的可積推廣及其可積性質(zhì)

洪建彬,吳紅霞

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

修正的Camassa-Holm(modified Camassa-Holm,mCH)方程最初以一種新的可積系統(tǒng)被研究[1-3]。之后,文獻(xiàn)[4-5]重新發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)出該方程。文獻(xiàn)[1]把三哈密頓結(jié)構(gòu)運用于mKdV方程的雙哈密頓形式中，從而推出mCH方程。

眾所周知，mCH方程在很多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。例如，在物理學(xué)上，該方程描述是在淺水波上單方向傳播時的相互作用，其中u是自由液面高度，文獻(xiàn)[6]從二維流體力學(xué)的表面波推導(dǎo)出該方程；在幾何學(xué)上，該方程也來自一種內(nèi)在的(弧線保留)流在歐幾里得幾何[7]不變的平面曲線。從此，mCH方程引起了人們的關(guān)注。研究表明，mCH方程與CH方程有很多相似的可積性質(zhì)，該方程具有Lax對和達(dá)布變換[8]、爆破波和peakon[7]、Well-posedness[9]、雙哈密頓結(jié)構(gòu)[1]、無窮守恒律、孤子解[10]。然而，mCH方程與CH方程的可積性質(zhì)[11]不同之處在于mCH方程具有高階非線性，所以mCH方程具有包括爆破波和multi-peakon動態(tài)等新的特點。而且，無論mCH方程在有無界條件下，該方程都具有光滑的亮孤子解[12]。

作為孤子方程的可積推廣，帶源的孤子方程(soliton equations with self-consistent sources，SESCS)在很多領(lǐng)域如等離子體、固體物理和流體力學(xué)等均有廣泛的應(yīng)用。例如，帶源KdV方程描述了長短毛細(xì)-重力波的相互作用[13]。2010年，文獻(xiàn)[14]考察了帶自相容源的Camassa-Holm方程(Camassa-Holm equation with self-consistent sources，CHESCS)在淺水中不同孤立波的相互作用，同時構(gòu)造了CHESCS及其相應(yīng)Lax對、無窮守恒律和互反變換，也給出了CHESCS的一些新解，例如soli-ton、negaton、positon和單peakon解。

已有學(xué)者對CHESCS進(jìn)行了研究，但對mCHESCS研究過少。由于CH方程具有二次非線性，而mCH方程具有三次非線性，這必將使得mCHESCS的構(gòu)造要比CHESCS的更復(fù)雜。本文主要研究mCH方程

(1)

的推廣問題，這里u(x,t)是與空間變量x和時間變量t有關(guān)的函數(shù)。本文主要研究mCHESCS的構(gòu)造和求解，同時，mCHESCS的Lax對、無窮守恒律和互反變換等一些可積性質(zhì)也會相繼給出。

1 帶源mCH方程及其Lax對

1.1 帶源mCH方程

眾所周知，mCH方程(1)Lax對中的空間部分為

(2)

時間部分為

(3)

這里λ為譜參數(shù)。

利用式(2)和式(3)的相容性可推導(dǎo)出mCH方程(1)。以下為mCH方程的雙哈密頓形式

(4)

對于n個不同的實數(shù)λj，考慮以下譜問題

(5)

(6)

其中φ1j和φ2j由式(5)確定。由式(6)可推導(dǎo)出mCHESCS

(7)

φ1jx=-φ1j/2+λjmφ2j/2,φ2jx=-λjmφ1j/2+φ2j/2,j=1,…,N。

(8)

在式(8)條件下，mCHESCS可以重寫為

(9)

1.2 帶源mCH方程的Lax對

下面推導(dǎo)出mCHESCS的Lax對。假設(shè)mCHESCS有如下的Lax對

(10)

(11)

(12)

有

λm(B3+C3)/[2(λ-λj)]+λm(B4+C4)/2+λ2m(B5+C5)/2}=0,

(13)

B3/(λ-λj)+B4+λB5],

(14)

(15)

(16)

(17)

-A4x+m(B0+C0)/2+mλj(B2+C2)/2=0,-A5x+m(B2+C2)/2+m(B4+C4)/2=0,

(18)

B5+C5=0,A5=0,

(19)

(20)

(21)

B4x+mA0+λjmA2+B4=0,mt=2(B5x+mA2+mA4+B5)=0,

(22)

(23)

(24)

C4x+mA0+λjmA2-C4=0,mt=-2(C5x+mA2+mA4-C5)=0。

(25)

(26)

(27)

2 帶源mCH方程的無窮守恒律

基于mCHESCS的Lax形式，構(gòu)造出帶源mCH方程的無窮守恒律。令Γ=φ2/φ1，其中φ1和φ2是由方程(26)和(27)所確定。由式(26)知道Γ滿足Riccati方程[15]

Γx=-λm(Γ)2/2+Γ-λm/2。

(28)

由方程(26)和(27)可得出

(lnφ1)x=-1/2+λmΓ/2, (lnφ1)t=V11+V12Γ,

(29)

其中，

(30)

注意到方程(29)的相容性條件，

θt=Fx,

(31)

其中，θ=mΓ,

(32)

其中，θ為守恒密度，F(xiàn)為伴隨通量。以下通過兩種正負(fù)不同的λ的階展開Γ，從而得到守恒密度的顯式表達(dá)式。

第一種以λ負(fù)階形式展開Γ，

(33)

其中Γj,θj和Fj(j=0,1,2,…)是與x,t有關(guān)的函數(shù)。

將式(33)代入式(28)并比較λ的系數(shù)，得到

Γ0=I, I2=-1, Γ1=1/m,

(34)

以及與Γj有關(guān)的遞推公式：

(35)

將式(33)～式(35)代入式(32)，分別得到方程(9)的守恒密度和伴隨通量，

(36)

其中Γj由式(34)和式(35)所確定。

第二種Γ的展開是以λ的正階展開

(37)

將式(37)代入式(28)并比較λ的系數(shù)，得到

(38)

將式(37)和式(38)代入式(32)，同樣得到

θ2j=0,F2j=0,j≥0,

(39)

以及

(40)

其中Γ2j+1由以下遞推公式所定義

(41)

3 帶源的mCH方程的互反變換

方程(7)可重寫為

(42)

方程(42)給出封閉的1-form

(43)

以下通過文獻(xiàn)[8]的關(guān)系定義互反變換(x,t)→(y,s)

(44)

以及

(45)

進(jìn)而mCHESCS(7)可轉(zhuǎn)為以下新的形式

(46)

mφ1jy=-φ1j/2+λjmφ2j/2,mφ2jy=-λjmφ1j/2+φ2j/2,

(47)

且u與m有關(guān)，即

(48)

稱式(46)、式(47)和式(48)的系統(tǒng)為相伴的mCHESCS(associated mCHESCS，AmCHESCS)?；诨シ醋儞Q(45)，譜問題(26)的空間部分可轉(zhuǎn)變?yōu)檠Χㄖ@中的譜問題

φ2yy=-λ2φ2/4+Uφ2,

(49)

以及

U=1/(4m2)-my/(2m2)。

(50)

同樣，譜問題(27)的時間部分也可轉(zhuǎn)為

(51)

且

V=-2(u+ux)=-2(u+muy)。

(52)

由式(49)和式(51)的相容性，可得出

(53)

不難發(fā)現(xiàn)，式(53)為負(fù)階的KdVESCS(negative order KdVESCS，NKdVESCS)。

令ρ=φ2y/φ2。由方程(49)發(fā)現(xiàn)，ρ滿足Riccati方程

ρy=-λ2/4+U-ρ2。

(54)

將式(50)代入式(54),得到

m=1/(2ρ)|λ=0=φ2(y,s,λ)/(2φ2y(y,s,λ))|λ=0。

(55)

注意到式(55)可用來求AmCHESCS的multi-soliton、multi-negaton和multi-positon解。

4 帶源的mCH方程的解

4.1 帶源的mCH方程的multi-soliton解

由文獻(xiàn)[8]，注意到負(fù)階的KdV方程的N-soliton已給出

(56)

其相應(yīng)特征函數(shù)

φ=W(f1,f2,…,fN,eξj)/W(f1,f2,…,fN),

(57)

其中W是N個函數(shù)f1,f2,…,fN的朗斯基行列式。這里函數(shù)fj由以下

(58)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]和常數(shù)變易法，得到NKdVESCS(53)的N-soliton解

(59)

(60)

(61)

注意到φ1和φ2的漸近性質(zhì)分別為

(62)

(63)

進(jìn)一步，把式(63)代入式(48)中，得到以下mCHESCS的N-soliton解

(64)

其中α為任意常數(shù)且

(65)

特別地，當(dāng)N=1，從方程(64)，得到如下mCHESCS的one-soliton解的參數(shù)形式

(66)

4.2 帶源的mCH方程的multi-negaton解

αj(s)=yj(pj)

(67)

αN+j(s)=(pN+j-pj)ej(s)/pN+j+yj(pN+j),j=1,2,…,N,

(68)

其中：yj(k)是與k有關(guān)的漸近函數(shù)；ej(s)是與s有關(guān)的任意函數(shù)。

通過泰勒展開式和假設(shè)pN+j→pj,j=1,2,…,N,得到如下NKdVESCS(53)的N-negaton解

(69)

(70)

與mCHESCS的N-soliton解的做法相似，得到如下mCHESCS的N-negaton解

(71)

其中α是任意可積常數(shù)且

(72)

特別地，當(dāng)N=1，從方程(71)，得到mCHESCS的one-negaton解

(73)

4.3 帶源的mCH的multi-positon解

當(dāng)N=0時，令V=-2k和U=1/(4k2)為NKdVESCS(53)的解，從方程(49)和式(51)，得到

φ2yy=(-λ2/4+1/(4k2))φ2,φ2s=-2kφ2/λ2。

(74)

注意到-λ2/4+1/(4k2)<0，得到如下(74)的解

fj=sinξj,

(75)

與N-negaton解的做法相似，如下得到NKdVESCS(53)的N-positon解

(76)

(77)

由式(77)知道如下φ1和φ2的漸近性質(zhì)

(78)

其中I2=-1。類似地，得到

(79)

與N-negaton解的做法類似，得到如下mCHESCS的N-positons解

(80)

其中α是任意可積常數(shù)且

(81)

特別地，當(dāng)N=1時，從方程(80)，得到如下mCHESCS的one-positon解

(82)

5 結(jié)語

本文推導(dǎo)出mCHESCS及其相應(yīng)的Lax對。此外，構(gòu)造出該方程的互反變換和無窮守恒律?；谶_(dá)布變換和常數(shù)變異法，得到mCHESCS的N-soliton、N-negaton和N-positon解。眾所周知，由于mCH方程存在peakon解，那么mCHESCS是否也有peakon解？這是一個令人感興趣的問題，在以后的研究中，筆者將會做進(jìn)一步的探討。