導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用探究

摘 要：導數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，導數(shù)知識和其他數(shù)學知識結(jié)合可以產(chǎn)生多種多樣的新題型，這類題型立意巧妙、觀點新穎，成了考試題中的亮點，也成了學生的難題。文章闡述了高中數(shù)學導數(shù)的概念，分析了導數(shù)在高中數(shù)學解題中的具體應用思路，并提出通過做題探索解題方法，使學生掌握利用導數(shù)解題的能力，提高學生的創(chuàng)造性能力。

關(guān)鍵詞：導數(shù)；高中數(shù)學；解題應用

作者簡介：譙洪斌，四川省南充高級中學教師。（四川 南充 637205）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2019）04-0052-02

高考數(shù)學對學生的創(chuàng)新意識的要求越來越高。以能力立意是高考數(shù)學命題的指導思想，命題方式也在不斷變化，而導數(shù)解題的知識點是命題的重點。導數(shù)是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，常與函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、幾何、向量、線性規(guī)劃以及實際生活等內(nèi)容融合在一起。導數(shù)問題巧而精，學生要解答正確并非易事，需要學生具備發(fā)散性思維，有足夠的耐心，有自主學習和獨立思考的能力。本文對導數(shù)在高中數(shù)學解題中的應用進行分析，旨在探索規(guī)律，揭示方法。

一、高中數(shù)學中導數(shù)的含義

導數(shù)是在函數(shù)概念中出現(xiàn)的，具有函數(shù)的基本性質(zhì)，高中數(shù)學教材上寫明導數(shù)展現(xiàn)了函數(shù)的變化趨勢，從學習簡單的初等函數(shù)開始，導數(shù)就可以在其中得到運用，求導總是能使問題迎刃而解。所以，高中的導數(shù)教學主要是通過求導解決實際題目來進行的，最終要使學生養(yǎng)成用導數(shù)解決數(shù)學難題的思維。

近幾年的高考試題越來越多涉及導數(shù)問題，導數(shù)題型出現(xiàn)的頻率越來越高，所以高中數(shù)學教學的重點就是讓學生運用導數(shù)解決數(shù)學試題，體現(xiàn)出數(shù)學的實用性。教師要教會學生靈活運用導數(shù)，學會快速從問題中發(fā)現(xiàn)是否需要求導，這是解決題目的突破點，也是導數(shù)學習的重難點，需要教師在設計教學方案和課堂講授時加以重視。

二、導數(shù)在高中數(shù)學解題中的實際運用

融合數(shù)學思想，強化數(shù)學思維能力的培養(yǎng)是當今時代所需。在高中數(shù)學解題中應用導數(shù)解題方法已被廣泛接受，下文主要介紹導數(shù)解題法在不同類型題目中的運用。

1. 求導判斷函數(shù)的單調(diào)性。在高中學習階段，函數(shù)解題過程中運用導數(shù)方法是非常常見的，在研究函數(shù)性質(zhì)時，可以求解導數(shù)，讓復雜的問題簡單化。應用導數(shù)思想解決函數(shù)難題，不僅是一種典型的命題方式，也是經(jīng)典的解題方法，如果學生在考試中實在沒有解題思路，可以考慮從導數(shù)入手，從而有效尋找突破口，成功解決難題；遇到比較陌生的題目，學生可以嘗試運用導數(shù)解題，開拓自己的思路。

在高考試題中，函數(shù)是必考題型，學生在解答題目時首先要清楚題目給出的函數(shù)的各項性質(zhì)，比如是幾次函數(shù)、圖形的開口方向、單調(diào)性等，此時運用導數(shù)可以不用畫圖就能得知函數(shù)在不同區(qū)間的單調(diào)性情況，即遞增遞減的變化趨勢。反之，如果不運用導數(shù)解題，學生需要畫出函數(shù)圖像后再依據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這樣學生在畫圖和看圖的過程中可能會出錯，而且所需時間比較長。直接求導數(shù)則可以解決這些問題，求導后看導數(shù)在某個區(qū)間是大于0還是小于0，就可以決定函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，還是單調(diào)遞減函數(shù)。所以，導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用非常重要，既能提高解題效率，又能增加解題的準確率。

2. 用導數(shù)解決不等式問題。與函數(shù)相同，不等式也是高考的重點，不等式的解題方法有很多，但是導數(shù)可以使解題過程變得更加簡潔，學生要學會總結(jié)導數(shù)與不等式結(jié)合的出題特點，靈活運用導數(shù)來解決不等式問題，不等式可以依靠移項和求導轉(zhuǎn)化成學生更熟悉的函數(shù)問題，再利用前面所講的求導、求單調(diào)性來解決，這樣就可以更簡單地判斷不等式是否成立。函數(shù)思想在不同的數(shù)學題目中都有涉及，將函數(shù)思想運用到解題中能夠最大限度地簡化數(shù)學問題，絕大多數(shù)不等式問題都可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，關(guān)鍵是學生需要細心觀察，將問題靈活化。

3. 通過導數(shù)求最值。在高考試題中，一般都會有一個求最值的題型，這種題型需要學生耐心細心，而且一般函數(shù)都不止一個最值，各個最值間容易混淆，也不易畫圖，采用導數(shù)來解決是最有效的方法。在利用導數(shù)求單調(diào)性之后，明晰了各個遞增遞減的區(qū)間，區(qū)間的轉(zhuǎn)折點就是函數(shù)各個最值所在點，即求解導數(shù)等于0的點，但也要排除一些情況。在復合函數(shù)中，導數(shù)更是一個非常重要的解題技巧，導數(shù)對單調(diào)性的準確判斷使求復合函數(shù)的某個值簡便且準確率高，節(jié)省了數(shù)形結(jié)合需要的畫圖時間。

4. 通過導數(shù)求切線。高考中的另一類題型是求某個圖形的切線，這類題型難度不大，但是類型眾多，學生求解過程復雜繁瑣，很可能因某個步驟錯了而前功盡棄。如果利用導數(shù)來求解切線會簡單得多，導數(shù)實際上就是函數(shù)的斜率，求解出的導數(shù)就是切線在具體一點上的斜率，從而很容易就能求出切線的表達式。利用導數(shù)求解，不僅節(jié)省了解題時間，而且過程清晰，不易出錯。

5. 求導研究數(shù)列問題。數(shù)列在高中數(shù)學學習中也占很大比重，特別是應試考試時數(shù)列題目是必考的大題、難題。數(shù)列的應用需要學生具備一定的觀察力，解決有一定難度的數(shù)列問題也需要借助函數(shù)這個工具。數(shù)列實際上是一種比較特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式就是函數(shù)的表達式，再根據(jù)自變量的取值范圍來確定函數(shù)值。在具體的數(shù)列題目中，合理應用函數(shù)模式與函數(shù)性質(zhì)，有助于解決數(shù)列的通項及等差等相關(guān)問題。引入函數(shù)問題時，不能遺漏數(shù)學細節(jié)，比如要先限定自變量的取值范圍?？傊?，數(shù)列與函數(shù)思想的結(jié)合使數(shù)列問題更加簡潔，也使導數(shù)可以在數(shù)列題目中得到運用。

作為高中數(shù)學的重點內(nèi)容，導數(shù)在日常生活中已獲得了廣泛應用，學習導數(shù)是非常重要的。導數(shù)在高中數(shù)學解題中與其他知識點的交匯分析更是重中之重，解決這類復雜題型時要注意準確審題，快速理解，把握所有題目涵蓋的知識點，抓住題目的本質(zhì)，將各個知識點串連成線，巧妙解決復雜的交匯題型。打好導數(shù)知識的基礎(chǔ)，可以幫助學生解決生活中遇到的有關(guān)導數(shù)的具體問題。學習導數(shù)在解題中的應用需要循序漸進，先打好基本導數(shù)的基礎(chǔ)，再學習解答綜合交匯題目，在解答交匯題目時積累的方法和經(jīng)驗可以幫助學生解決其他數(shù)學甚至其他科目的難題。在此基礎(chǔ)上，教師要引導學生舉一反三，拓展思路。

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責任編輯 羅 佳