對(duì)2018年高考全國(guó)卷兩道解析幾何題的思考*

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(福州第二十四中學(xué),福建 福州 350000)

2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ和卷Ⅲ中有兩道試題，可以用同一種方法進(jìn)行解答，并且用這種方法還可以對(duì)試題作進(jìn)一步研究.本文介紹這種應(yīng)用參數(shù)坐標(biāo)的方法解答解析幾何有關(guān)問(wèn)題，它可減少設(shè)參個(gè)數(shù)，解題思路明確，解法簡(jiǎn)捷，值得重視.

1)當(dāng)l⊥x軸時(shí)，求直線AM的方程；

2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB．

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科試題第19題)

1)略.

展開(kāi)并應(yīng)用兩角和公式和倍角公式得

注意到α≠β，得

(1)

另外，直線MA,MB,MO的斜率分別為

從而

由式(1)，得

tan∠OMA-tan∠OMB=0,

即

∠OMA=∠OMB.

應(yīng)用完全類似的解法，可得更為一般的命題：

證明依題意設(shè)A(acosα,bsinα)，B(acosβ,bsinβ)，其中a≠β,點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方，且知F(c,0).由點(diǎn)A,F,B共線，得

展開(kāi)并應(yīng)用兩角和公式和倍角公式得

注意到α≠β，得

(2)

另外，直線MA,MB,MO的斜率分別為

從而 tan∠OMA-tan∠OMB=

由式(2)，得

tan∠OMA-tan∠OMB=0,

即

∠OMA=∠OMB.

(2018年全國(guó)數(shù)學(xué)高考卷Ⅲ理科試題第20題)

即

即

于是

得

即

2(2-cosθ)=3.

同理可得 |FA|=2-cosα, |FB|=2-cosβ,

于是 |FA|+ |FB|=2-cosα+2-cosβ=

4-(cosα+cosβ)=4-1=3,

因此

2|FP|=|FA|+|FB|，

下面求此等差數(shù)列的公差d.

由上可以得到

式(3)2+式(4)2,并應(yīng)用兩角差的公式得

式(3)2-式(4)2,并應(yīng)用三角有關(guān)公式得

于是

注解完本題之后，可以對(duì)本題進(jìn)一步研究，得到更為一般的命題：

a(cosθ+cosα+cosβ)=3c.

(5)

由于線段AB的中點(diǎn)M在直線x=c上，可設(shè)M(c,m)(其中m>0)，則

a(cosα+cosβ)=2c,

cosα+cosβ=2e,

(6)

由式(5)與式(6)得到

cosθ=e.

又由焦半徑|FA|=a-ccosα,|FB|=a-ccosβ,|FP|=a-ccosθ,可得

|FA|+|FB|= 2a-c(cosα+cosβ)=

因此

|FA|+|FB|=2|FP|,

下面，求其公差d.

由線段AB的中點(diǎn)M在直線x=c上，可知

于是，由cosθ=e得

(7)

由式(6)與式(7)兩邊分別平方后相加,并整理得

由式(6)與式(7)兩邊分別平方后相減,并整理得

從而

于是

在高考的解析幾何試題中，可應(yīng)用上述解題方法的例子還很多，讀者不妨試試.