“獨(dú)立變量”的分類解析*

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(姜堰第二中學(xué),江蘇 泰州 225500)

一般地，若某變量m因另一變量n的變化而變化，則稱此變量m為變量n的相關(guān)變量[1].相關(guān)變量可分為“函數(shù)”型相關(guān)變量、“方程組”型相關(guān)變量、“不等式(組)”型相關(guān)變量[2].若某變量m不因另一變量n的變化而變化，則稱此變量m為相對于變量n的獨(dú)立變量,獨(dú)立變量有哪些情形呢？文章就此做一點(diǎn)思考，整理如下：

1 顯性獨(dú)立變量

若題目給出的兩個變量之間具有很明顯的獨(dú)立關(guān)系，則可稱之為一對顯性獨(dú)立變量.

解依題意,可設(shè)A(-1,0),B(1,0),C(cosα,sinα),D(cosβ,sinβ)(其中0≤α≤π，0≤β≤π)，則當(dāng)sinβ≠0,即β≠0且β≠π時，

(cosα+1)(cosβ-1)+sinαsinβ=

cosαcosβ-cosα+cosβ+sinαsinβ-1=

sinβsinα+(cosβ-1)cosα+cosβ-1=

-1

從而

另外，當(dāng)sinβ=0時，β=0或β=π.當(dāng)β=π時，

-2(cosα+1)∈[-4,0];

評注這是一道雙變量問題，無法通過消元或減元降為一元問題，從而給解題帶來了難度.教師的講解思路是：先設(shè)α為常量，β為變量，在以β為主元的假設(shè)下進(jìn)行減元，然后再以α為主元求得最值.這樣的講解充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“動亦是靜，靜亦是動”的變量觀，但學(xué)生仍“丈二和尚摸不著頭腦”，不能理解.實(shí)際上，由于α,β是一對顯性獨(dú)立變量，因此α,β互不干涉，α的動與不動和β無關(guān)，這才是對“動靜互化的變量觀”最好的解釋.

分析顯然，這里的4個變量a,b,c,d是兩兩相互獨(dú)立的顯性獨(dú)立變量，任何兩者之間都沒有依存關(guān)系，難度更大.

解由

得 (a-c)2+(b-d)2≥(m-2)(ac+bd)+mbc,

從而

a2+b2+c2+d2≥m(ac+bc+bd).

顯然當(dāng)ac+bc+bd>0時，m能取到最大值,于是

即

所以

故

評注此題須借助3個基本不等式解題，根據(jù)“ac,bc,bd前的系數(shù)要一樣”這一條件進(jìn)行了上述拆分.當(dāng)然，由于a,b,c,d是兩兩相互獨(dú)立的顯性獨(dú)立變量，其取值是完全隨意的，因此可以根據(jù)不同題目的要求進(jìn)行合理地拆分，以達(dá)到解題的目的.

2 隱性獨(dú)立變量

若題目給出的兩個變量之間的獨(dú)立關(guān)系不是很明顯，則可稱之為一對隱性獨(dú)立變量.在解題時，若能發(fā)現(xiàn)并充分利用隱性獨(dú)立變量，則可大大簡化某些試題的解題過程.

分析題中含有動點(diǎn)P(0,m)，但要求的是雙曲線的離心率，從而動點(diǎn)P(0,m)與離心率應(yīng)該是一對獨(dú)立變量，即離心率與點(diǎn)P的位置無關(guān)，屬解析幾何中的“動中有定”問題.為了降低運(yùn)算的難度，可對變量m適當(dāng)賦值.

同理可得

設(shè)AB的中點(diǎn)為C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

由PA=PB,可得PC⊥AB,從而

于是

2a2=3b2,

故

說明有讀者可能會說：例3和例4的解法實(shí)質(zhì)上就是常用的特殊化法(或特值法).確實(shí)不錯，就是特殊化法(或特值法)，此解法在解決某些難題中發(fā)揮了不小的作用，深得廣大師生喜愛，但是為什么能這樣用呢？其背后真正的理論依據(jù)是什么？可能好多讀者只知其一不知其二，其實(shí)問題的本質(zhì)和真正的理論依據(jù)就是隱性獨(dú)立變量.

3 假性獨(dú)立變量

若題目給出的兩個變量之間表面上是獨(dú)立的，但實(shí)質(zhì)上卻是相關(guān)的，可稱之為一對假性獨(dú)立變量.由于假性獨(dú)立變量比較隱蔽，若不能正確理解，則極易導(dǎo)致解題錯誤，而且很難發(fā)現(xiàn).在解題時，若能發(fā)現(xiàn)假性獨(dú)立變量，則可大大降低此類試題的錯誤率.

例5已知函數(shù)

若a,b,c,d是互不相等的實(shí)數(shù)，且f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，則a+b+c+d的取值范圍為______.

圖1

錯解作出函數(shù)f(x)的圖像(如圖1)，由于f(a)=f(b)=f(c)=f(d)，可做一條直線y=t與f(x)的圖像交于4個點(diǎn).通過圖像可得

-1

則

3

評注此題有4個量a,b,c,d，其中由三角函數(shù)的對稱性可得b+c=2，結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得

-1

由同向不等式的可加性得

3

天衣無縫，可卻是錯的！問題出在哪？

解法1依題意，可設(shè)

則

a+d=-log2(t+1)+2 015t+1.

設(shè)

g(t)=-log2(t+1)+2 015t+1,則

從而g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增, 于是g(x)∈(2,2 015),故4

解法2(極限思想)若a=-1,則d=2 016；若a=0,則d=2，從而

2

于是

4

評注前面的錯解在得出-1

例6已知在銳角△ABC中，邊a,b,c所對應(yīng)的角分別為A,B,C，∠ACB=60°，CD⊥AB于點(diǎn)D，且CD=3，試求ab的取值范圍.

由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcos 60°=a2+b2-ab,

從而

即

ab≥12.

評注錯解1由基本不等式只能得出最小值，而最大值是無法求出的，另銳角這一條件還沒用到，不可能趨向正無窮.錯解2把a(bǔ),b看成兩個獨(dú)立的變量，求出各自的范圍后，由同向不等式相乘得到ab的取值范圍，而由錯解1知道ab的最小值為12，很明顯范圍變大了.

從而

于是

ab∈[12,18).

高中數(shù)學(xué)研究最多的是變量，而變量之間的關(guān)系錯綜復(fù)雜，令人眼花繚亂，好多師生為之所困.筆者斗膽將變量分為“獨(dú)立變量”與“相關(guān)變量”，再針對“獨(dú)立變量”與“相關(guān)變量”各自進(jìn)行分類.當(dāng)然，個人的考慮畢竟膚淺，不夠全面，希望感興趣的讀者對此問題進(jìn)行更深入的研究.