數(shù)學(xué)微專題教學(xué)：從“學(xué)會(huì)”走向“會(huì)學(xué)”*
——以“一類絕對值函數(shù)的最值問題”為例

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(象山縣第二中學(xué),浙江 象山 315731)

“微專題”通常是指圍繞重點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)計(jì)的、利用具有緊密相關(guān)性的知識(shí)或方法形成的專項(xiàng)研究，或者結(jié)合學(xué)生的疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)整合的、能夠在短時(shí)間內(nèi)專門解決的問題集.“微專題”教學(xué)具有“因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深”等特點(diǎn)，能起到“見微知著”，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的目的[1].

1 問題：微專題教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)

微專題針對的是學(xué)生存在的真問題、實(shí)問題，因此，在選題時(shí)切忌大而空.教師首先要了解學(xué)生到底存在著哪些問題、哪些是有價(jià)值的、哪些能夠串聯(lián)成合適的知識(shí)鏈，進(jìn)而形成微專題.

1)當(dāng)a=0，b=1時(shí)，寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

3)若對任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x0∈[0，4]使得不等式f(x0)≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2015年1月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考試題第34題)

1.1 常規(guī)解法

1),2)略.

3)解設(shè)H(t)=|at2-t+b|，其中t∈[0,2]，則原命題等價(jià)于對任意實(shí)數(shù)a，b,H(t)max≥m.記函數(shù)H(t)在[0,2]上的最大值為G(b)，只要G(b)min≥m.

①當(dāng)a=0時(shí)，

G(b)=max{H(0),H(2)}=max{|b|,|b-2|}，

此時(shí)，當(dāng)b=1時(shí)，G(b)的最小值為1，故m≤1.

②當(dāng)a<0時(shí)，

G(b)=max{H(0),H(2)}=max{|b|,|b+4a-2|}，

此時(shí)

G(b)min=1-2a>1，

故m≤1.

G(b)=max{H(0),H(2)}=max{|b|,|b+4a-2|}；

此時(shí)

此時(shí)

此時(shí)

關(guān)于函數(shù)這部分內(nèi)容，筆者已經(jīng)進(jìn)行了系統(tǒng)復(fù)習(xí)，各類題型也練習(xí)了不少，但學(xué)生在類似上述含絕對值的函數(shù)最值問題中的得分率還是較低.雖然利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、借助絕對值三角不等式可以解決此類問題，但分類過程過于繁瑣，學(xué)生“望而生畏”.在近幾年的數(shù)學(xué)高考中，此類問題也是頻頻作為壓軸題出現(xiàn)，是考查的熱點(diǎn)之一.因此，探尋此類問題的破解之道就顯得非常有價(jià)值.

1.2 解法優(yōu)化

圖1

上述思路非常高效地破解了此類問題的思維瓶頸，具有很大的推廣價(jià)值.此法雖然簡潔，但學(xué)生理解起來卻并不簡單，以微專題的形式開展此法的探究教學(xué)就顯得尤為必要.

2 “學(xué)會(huì)”：微專題教學(xué)的首要任務(wù)

確定了微專題的主題，下面就是圍繞這個(gè)主題，根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的思維障礙，通過精心設(shè)計(jì)問題與例題來編制對應(yīng)的微專題.例題與問題的呈現(xiàn)一般遵循從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的原則，其目的是為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)的門檻，通過抽絲剝繭式的逐層剖析，揭示問題的本質(zhì)，從而使學(xué)生“學(xué)會(huì)”如何解決這一類問題.

2.1 回歸思維的起點(diǎn)

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上.因此，微專題中起始問題的設(shè)計(jì)不能讓學(xué)生“望而生畏”，而是要讓學(xué)生有種“似曾相識(shí)”的感覺，“稍微跳一跳就能夠得著”.因此，起始問題設(shè)計(jì)最好能夠回歸教材，回歸到思維的起點(diǎn).

挖掘母題，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，因?yàn)槠瘘c(diǎn)往往也是知識(shí)的生長點(diǎn).對于上述微專題，起始問題可以這樣設(shè)計(jì)：

例2函數(shù)f(x)=|x-b|,其中x∈[-1,1]，b∈R，記f(x)的最大值為g(b)，則g(b)的最小值為______.

解法1(代數(shù)視角)

因?yàn)間(b)=max{|1-b|,|-1-b|}，則

從而 2g(b)≥ |1-b|+|-1-b|≥

|1-b-(-1-b)|=2,

于是g(b)≥1,當(dāng)且僅當(dāng)1-b=-(-1-b)，即b=0時(shí)，等號(hào)成立.

圖2

解法2(幾何視角)

|x-b|的幾何意義：如圖2，過x軸上一點(diǎn)Q(x,0)(其中x∈[-1,1])作x軸的垂線，交y=b于點(diǎn)M，交y=x于點(diǎn)T，則

|x-b|=|MT|.

當(dāng)b>0時(shí)，|MT|的最大值為|AA′|,顯然，當(dāng)y=b與x軸重合時(shí)，|AA′|取得最小值1.同時(shí)，當(dāng)b<0時(shí)，|AA′|的最小值也為1.

評注將例2作為例1的引例，該題比較基礎(chǔ)，學(xué)生容易入手.從代數(shù)和幾何兩個(gè)視角對此題進(jìn)行分析，既有助于學(xué)生對此類問題形成整體認(rèn)知，又可以凸顯幾何的直觀性，為后續(xù)的研究指明方向.

2.2 設(shè)計(jì)問題串

問題是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的載體，而課堂的重要構(gòu)成因素就是問題.孤立的問題對思維發(fā)展的作用微乎其微，教師要注重問題串的整體性，在問題串的引領(lǐng)下，讓學(xué)生進(jìn)行系列、連續(xù)的思維活動(dòng)，才能讓學(xué)生的思維達(dá)到新的高度.

例3函數(shù)f(x)=|x2-2x-b|，其中x∈[-1,1]，b∈R，記f(x)的最大值為M(b)，則M(b)的最小值為______.

分析|x2-2x-b|的幾何意義：如圖3，過x軸上一點(diǎn)Q作x軸的垂線，交y=2x+b于點(diǎn)M，交y=x2于點(diǎn)T，則|x2-2x-b|=|MT|.觀察發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線l位于l1與l2正中間時(shí)，M(b)取到最小值，即

圖3 圖4

例4函數(shù)f(x)=|x2-ax-b|，其中x∈[-1,1],b∈R，記f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為______.

圖5

例5函數(shù)f(x)=|x2-ax-b|，其中x∈[0,1],b∈R，記f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為______.

評注通過由易到難的問題變式，將一組問題按照一定的邏輯串題成鏈，以問題解決代替方法灌輸，從而有效地突破教學(xué)難點(diǎn)，使得學(xué)生的認(rèn)知逐步深入，達(dá)到新的深度.

2.3 獲得方法模型

數(shù)學(xué)方法模型指引著問題解決的道路.數(shù)學(xué)解題中若缺少對方法模型的掌握，即缺少對“中間環(huán)節(jié)”的認(rèn)識(shí)，則會(huì)與最終目標(biāo)之間產(chǎn)生難以逾越的障礙.一言概之，解題不是目的，獲得方法模型才是微專題教學(xué)的主要任務(wù).

經(jīng)歷上述問題的解題過程，可以猜想得到下面的結(jié)論：

3 “會(huì)學(xué)”：微專題教學(xué)的終極追求

教師在引領(lǐng)學(xué)生“學(xué)會(huì)”的同時(shí)，還需追求學(xué)生“會(huì)學(xué)”的境界，“先生責(zé)任不在教，而在教學(xué)，教學(xué)生學(xué)”[2].因此，推動(dòng)教與學(xué)的根本在于教學(xué)生學(xué)，讓學(xué)生“會(huì)學(xué)”，這也是數(shù)學(xué)微專題教學(xué)的終極目標(biāo).學(xué)生“會(huì)學(xué)習(xí)”的兩個(gè)層次是“得法”與“得道”[3].

3.1 得應(yīng)用之法

會(huì)學(xué)習(xí)的學(xué)生擁有對知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行組織和再組織的綜合遷移能力,善于舉一反三、觸類旁通、學(xué)以致用.因此，在上述微專題教學(xué)中還應(yīng)該加上應(yīng)用環(huán)節(jié)，通過設(shè)計(jì)豐富的問題情境，讓學(xué)生獲得靈活運(yùn)用結(jié)論解決問題的訣竅.

(2017年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第17題)

分析此題是研究含絕對值函數(shù)的最大值問題.若考慮去絕對值，則原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)分段函數(shù)來討論，解答過程比較復(fù)雜.若能直接利用上述結(jié)論，則能很快獲得答案.

例7設(shè)函數(shù)f(x)=|x2+a|+|x+b|，當(dāng)x∈[-2,2]時(shí)，記f(x)的最大值為M(a,b)，則M(a,b)的最小值為______.

分析先把兩個(gè)絕對值化為一個(gè)絕對值，就可以直接利用結(jié)論解題.

f(x)= |x2+a|+|x+b|≥|x2+a+x+b|=

|x2-(-x-a-b)|,

或f(x)= |x2+a|+|x+b|≥|x2+a-x-b|=

|x2-(x-a+b)|,

然后分別求出兩種變形情況下的M(a,b)，最后取交集就可以獲得答案.

評注通過上述兩道例題的解決，學(xué)生不僅能夠體會(huì)利用現(xiàn)成結(jié)論解決問題的“成就感”，而且還會(huì)發(fā)現(xiàn)“設(shè)函數(shù)f(x)=|g(x)-ax-b|在閉區(qū)間D上的最大值為M(a,b)，求M(a,b)min”這一類問題中的函數(shù)不僅可以是一次函數(shù)、二次函數(shù)等簡單函數(shù)，還可以對勾函數(shù)等復(fù)雜函數(shù).也就是說，這個(gè)解題方法適用于任意函數(shù).

3.2 得研究之道

會(huì)學(xué)習(xí)的學(xué)生，注重結(jié)果的知悉，善于診斷、反思自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)，也傾向于通過反饋、歸因的途徑提高自我的內(nèi)驅(qū)力.“得道”強(qiáng)調(diào)的是善于認(rèn)知和把握事物的規(guī)律，在學(xué)習(xí)中能夠抓住、抓準(zhǔn)知識(shí)的核心，并弄清其規(guī)律，按規(guī)律求知、認(rèn)知.就本微專題而言，學(xué)生能夠感受到解決這類問題的一般方法，那就是立足幾何視角，借助數(shù)形結(jié)合思想把抽象問題直觀化，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題的實(shí)質(zhì)，采用“以靜制動(dòng)”的策略找到問題的突破口.這種研究問題的“套路”在數(shù)學(xué)解題中具有廣泛的適用性.

(2018年上海市數(shù)學(xué)高考試題第12題)

分析此題表面上看是以代數(shù)作為命題背景，但其中涉及到4個(gè)參數(shù)，且這4個(gè)參數(shù)間存在著3組非線性的關(guān)系，無法通過消參來實(shí)現(xiàn)簡化運(yùn)算的目的.題目要求的結(jié)果是含絕對值的多變量關(guān)系式，對于此式的代數(shù)化簡很難操作，若從幾何視角入手就簡單得多了.

圖6

建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2),且點(diǎn)A,B在單位圓上運(yùn)動(dòng)，則

例8可以作為本微專題的“思維拓展”模塊中的內(nèi)容.至此，本微專題的內(nèi)容框架得到明晰，“問題提出、引例、問題探究、學(xué)以致用、思維拓展”等五大模塊構(gòu)成了整個(gè)微專題.本微專題的設(shè)計(jì)既體現(xiàn)出教師“教”的思路，又為學(xué)生鋪設(shè)了“學(xué)”的路徑，最終幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”向“會(huì)學(xué)”的飛躍.