一次關(guān)于“列方程教學(xué)”的訪談與思考*

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(海曙區(qū)古林鎮(zhèn)中學(xué)，浙江 寧波 315176)

1 訪談背景

2 訪談實(shí)錄

問：根據(jù)實(shí)際問題的條件列方程的教學(xué)要經(jīng)歷哪幾個(gè)步驟？

答：審題→分析→設(shè)元→列方程．

問：審題主要審什么？

答：審問題涉及的量、已知的量、未知的量、所求的量．

問：主要分析什么？

答：分析問題中含有的數(shù)量關(guān)系．

問：設(shè)元的含義是什么？

答：設(shè)元就是選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示．

問：列方程呢？

答：列方程就是根據(jù)等量關(guān)系列出方程．

問：針對(duì)下列問題的方程你是怎樣教學(xué)的？

例1某文藝團(tuán)體為“希望工程”募捐義演，全價(jià)票為每張18元，學(xué)生享受半價(jià)．某場演出共售出966張票，收入15 480元，問這場演出共售出學(xué)生票多少張？

答：第一，引導(dǎo)學(xué)生閱讀題目并找出問題涉及的數(shù)量：票數(shù)、票價(jià)、總價(jià)等．

第三，設(shè)哪個(gè)未知數(shù)為x(本題應(yīng)設(shè)學(xué)生票張數(shù)為x張).

3 訪談后的思考

通過課堂觀察發(fā)現(xiàn)，上述教師持有的列方程的教學(xué)過程觀具有普遍性，它主要來自于浙教版教材提供的觀點(diǎn)——運(yùn)用方程解決實(shí)際問題的一般過程：

1)審題：分析題意，找出題中的數(shù)量及其關(guān)系;

2)設(shè)元：選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)用字母表示(例如x);

3)列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程;

4)解方程：求出未知數(shù)的值；

5)檢驗(yàn)：檢查求得的值是否正確和符合實(shí)際情況，并寫出答案[1]．

事實(shí)上，用方程解決實(shí)際問題的教學(xué)性質(zhì)是問題解決教學(xué)，它要經(jīng)歷問題解決的4個(gè)基本步驟：理解問題→制定計(jì)劃→執(zhí)行計(jì)劃→回顧[2]．這里理解問題主要是：審問題含有的數(shù)量、已知量、未知量、所求量，審問題含有的等量關(guān)系，特別是含有未知量的等量關(guān)系.制定計(jì)劃主要是：在分析各種可行的列方程方案的基礎(chǔ)上，選擇一個(gè)比較合適的方案．而目前根據(jù)實(shí)際問題的條件列方程的教學(xué)隱去了列方程之前分析與決策的過程，并且選哪個(gè)未知數(shù)用字母表示帶有盲目性，這樣所列的方程不一定合適，如果審題時(shí)未知量有遺漏，也得不到相應(yīng)的方程，這樣的教學(xué)失去了發(fā)展學(xué)生能力和個(gè)性的機(jī)會(huì)，這種嘗試性列方程的方法不利于學(xué)生積淀經(jīng)驗(yàn)，這可能是導(dǎo)致學(xué)生列方程困難的根本原因．

4 列方程教學(xué)改進(jìn)建議

筆者認(rèn)為，列方程的教學(xué)過程是：審題(審已知量、未知量、所求量；審含有未知量的等量關(guān)系，即用列式、列表、畫圖等方法，找出問題中含有未知量的等量關(guān)系)→分析(列方程有哪些方案，哪個(gè)方案比較合適，即選用哪個(gè)含有未知量的等量關(guān)系來列方程和哪個(gè)未知數(shù)用字母表示比較合適——使所列方程求解方便)→設(shè)未知數(shù)、列方程(根據(jù)確定的方案用字母表示未知數(shù)并列出方程)．這里列方程之前有分析與決策的過程，并且選哪個(gè)未知數(shù)用字母表示有指向性，它依賴于選用的含有未知量的等量關(guān)系，即使審題時(shí)遺漏了某個(gè)未知量，在選用含有未知量的等量關(guān)系來列方程時(shí)也能發(fā)現(xiàn)，使得學(xué)生列方程有規(guī)律可循，從而為學(xué)生提供了發(fā)展能力和個(gè)性的機(jī)會(huì)，特別是這種帶有規(guī)律性的列方程方法有助于學(xué)生積淀經(jīng)驗(yàn)．

下面以浙教版《數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)第5.4節(jié)“一元一次方程的應(yīng)用(第一課時(shí))”中的例1與例2為載體，來展示用方程解決實(shí)際問題的教學(xué)過程．

例2同例1.

師：問題中含有哪些數(shù)量？哪些是已知的？哪些是未知的？哪些是所求的？

生1：問題中含有的數(shù)量有總票數(shù)、全價(jià)票張數(shù)、學(xué)生票張數(shù)、全價(jià)票的票價(jià)、學(xué)生票的票價(jià)、總收入、全價(jià)票的收入、學(xué)生票的收入，其中已知量是總票數(shù)、全價(jià)票的票價(jià)、學(xué)生票的票價(jià)、總收入，未知量是全價(jià)票張數(shù)、學(xué)生票張數(shù)、全價(jià)票的收入、學(xué)生票的收入，所求量是學(xué)生票張數(shù)．

師：很好！用分類方法來提取問題中的數(shù)量信息．問題中含有哪些等量關(guān)系？

生2：全價(jià)票張數(shù)×全價(jià)票的票價(jià)=全價(jià)票的收入；學(xué)生票張數(shù)×學(xué)生票的票價(jià)=學(xué)生票的收入；全價(jià)票張數(shù)+學(xué)生票張數(shù)=966；全價(jià)票的收入+學(xué)生票的收入=15 480．

師：不錯(cuò)!其實(shí)，在這4個(gè)等量關(guān)系中可以提煉出2個(gè)含有未知量的等量關(guān)系，即全價(jià)票張數(shù)+學(xué)生票張數(shù)=966；全價(jià)票張數(shù)×18+學(xué)生票張數(shù)×9=15 480．

師：那么選用哪個(gè)含有未知量的等量關(guān)系來列方程，選用哪個(gè)未知數(shù)用字母來表示比較合適?有哪些方案？

生3：用“全價(jià)票張數(shù)×18+學(xué)生票張數(shù)×9=15 480”來列方程，學(xué)生票張數(shù)用字母來表示(或全價(jià)票張數(shù)用字母來表示)；也可用“全價(jià)票張數(shù)+學(xué)生票張數(shù)=966”來列方程，學(xué)生票張數(shù)用字母來表示(或全價(jià)票張數(shù)用字母來表示)．

生4：選用“全價(jià)票張數(shù)×18+學(xué)生票張數(shù)×9=15 480”來列方程和學(xué)生票張數(shù)用字母表示比較合適．

師：根據(jù)你確定的方案，可列出怎樣的方程？

生4：設(shè)學(xué)生票張數(shù)為x，則

(966-x)×18+9x=15 480．

師：好的．請(qǐng)大家解這個(gè)方程，并通過檢驗(yàn)回答實(shí)際問題的答案．

師(待學(xué)生完成任務(wù))：誰來匯報(bào)學(xué)習(xí)結(jié)果？

生5：x=212．經(jīng)檢驗(yàn)它是方程的解且符合實(shí)際意義,即這場演出共售出學(xué)生票212張．

師：這樣我們用一元一次方程解決了這個(gè)問題，解題過程的規(guī)范表達(dá)請(qǐng)參考課本．若選其他方案，則可列出怎樣的方程？

生6：用“全價(jià)票張數(shù)×18+學(xué)生票張數(shù)×9=15 480”來列方程.設(shè)全價(jià)票張數(shù)為x，則可列出方程18x+(966-x)×9=15 480．

生7：用“全價(jià)票張數(shù)+學(xué)生票張數(shù)=966”來列方程，設(shè)全價(jià)票張數(shù)為x張，則可列出方程

生8：用“全價(jià)票張數(shù)+學(xué)生票張數(shù)=966”來列方程.設(shè)學(xué)生票張數(shù)為x，則可列出方程

師：由此可知，經(jīng)歷分析基礎(chǔ)上選擇性決策的過程，能使所列的方程更加合適．

……

例3A，B兩地相距60 km，甲、乙兩人同時(shí)從A，B兩地騎自行車出發(fā)，相向而行．甲每小時(shí)比乙多行2 km，經(jīng)過兩個(gè)小時(shí)相遇．問甲、乙兩人的速度分別是多少？

師：請(qǐng)大家依次思考并回答下列問題(允許小組合作).

1)問題中含有哪些未知量？有哪些含有未知量的等量關(guān)系？

2)選用哪個(gè)含有未知量的等量關(guān)系來列方程,選用哪個(gè)未知數(shù)用字母來表示比較合適?有哪些方案？

3)根據(jù)你確定的方案，可列出怎樣的方程？

師(待學(xué)生思考完畢)：誰來回答問題1)？

生9：問題中含有的未知量為甲行駛的速度、路程以及乙行駛的速度、路程．問題中含有未知量的等量關(guān)系為“甲行駛路程+乙行駛路程=60”和“甲的速度=乙的速度+2”．

師：好的．誰來回答問題2)？

生10：用“甲行駛路程+乙行駛路程=60”來列方程，乙的速度用字母表示(或甲的速度用字母表示)；也可用“甲的速度=乙的速度+2”來列方程，甲行駛路程用字母表示(或乙行駛路程用字母表示)．用“甲行駛路程+乙行駛路程=60”來列方程和乙的速度用字母表示比較合適．

師：有道理．誰來回答問題3)？

生11：設(shè)乙的速度為x，則可列出方程2(x+2)+2x=60．

師：好的．請(qǐng)大家完整地把解題過程寫出來．

……

師(待學(xué)生完成任務(wù))：若選其他方案，則可列出怎樣的方程？

生12：若選用“甲行駛的路程+乙行駛的路程=60”來列方程，設(shè)甲的速度為y，則可列出方程

2y+2(y-2)=60．

生13：若選用“甲的速度=乙的速度+2”來列方程，設(shè)甲行駛的路程為S，則可列出方程

若選用“甲的速度=乙的速度+2”來列方程，設(shè)乙行駛的路程為S，則可列出方程

師：由此可知，每一個(gè)含有未知量的等量關(guān)系都可以用來列方程，設(shè)未知數(shù)也有直接設(shè)元法和間接設(shè)元法兩種，但選哪個(gè)未知數(shù)用字母表示依賴于所選用的含有未知量的等量關(guān)系．這進(jìn)一步說明要使所列的方程更加合適，就要經(jīng)歷分析基礎(chǔ)上的選擇性決策的過程．

初步的理論求證與實(shí)踐驗(yàn)證表明，改進(jìn)后列方程的教學(xué)過程遵循了問題解決教學(xué)的基本規(guī)范，體現(xiàn)了過程教育和以學(xué)為中心的思想，它不但有助于學(xué)生積淀列方程的經(jīng)驗(yàn)，而且對(duì)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展智力、能力和個(gè)性也有積極的影響．