數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)設(shè)計研究*

●

(淮北師范大學(xué),安徽 淮北 235000)

貝爾在其名著《中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)》中，將數(shù)學(xué)知識的主要形式分成4類：數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)原理[1].筆者認為，數(shù)學(xué)事實過于籠統(tǒng)(數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)概念等都可以看成是數(shù)學(xué)事實)，數(shù)學(xué)技能是偏向于處理數(shù)學(xué)問題的主體經(jīng)由訓(xùn)練所獲得的個性肢體行為或心智行為的動作熟練程度的主觀特點，因此，將數(shù)學(xué)技能作為偏于客觀的數(shù)學(xué)知識一類屬性是不合適的.筆者受貝爾的啟發(fā)，對他的這種分類加以改進，試圖將進入中學(xué)數(shù)學(xué)課程的知識分為3類：數(shù)學(xué)概念性知識、數(shù)學(xué)原理性知識、數(shù)學(xué)問題解決性知識.本文著重分析數(shù)學(xué)原理性知識.

1 數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)設(shè)計準備工作的一般程序

數(shù)學(xué)原理性知識包括數(shù)學(xué)公理、數(shù)學(xué)公設(shè)、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)規(guī)律等具有數(shù)學(xué)命題形式屬性的知識.這類知識的重要特點之一是它的獲得來源于長期的觀察、總結(jié)、歸納等，首先通過發(fā)現(xiàn)的途徑得到命題，然后證明它是正確的.關(guān)于數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)設(shè)計的探討與研究，我們要特別注意波利亞的告誡，即生物學(xué)上的“遺傳學(xué)原理”：在教授一門學(xué)科(或一個理論，或一個概念)的時候，我們應(yīng)該讓兒童(人類的后代)重走人類在大腦進化過程中走過的重大的幾步.當然，我們不應(yīng)該讓他重復(fù)過去的成千上萬的錯誤之處，只須讓他重走那些重大的幾步[2].這就為數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)設(shè)計奠定了理論基礎(chǔ).

一般來說，關(guān)于數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)活動，必須要針對具體數(shù)學(xué)原理性知識的個性特點，既要注意啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理性知識結(jié)論(命題)過程中的某些重要環(huán)節(jié)，也要注意已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的這個數(shù)學(xué)原理性知識結(jié)論(命題)在證明過程的某些重要環(huán)節(jié)，這兩類不同屬性的環(huán)節(jié)往往是學(xué)生發(fā)生原理性知識認識時心理活動所繞不過去的.這就構(gòu)成了數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)設(shè)計的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)價值也深蘊于其中，因此，它是實現(xiàn)數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)目標的保證.長期的教學(xué)經(jīng)驗也促使筆者認識到，數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)可分為原理結(jié)論(命題)的發(fā)現(xiàn)與關(guān)于這個命題的證明兩個部分.

因此，數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)設(shè)計應(yīng)該分為兩步走，即原理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程與原理結(jié)論的證明過程，數(shù)學(xué)教師尤其要重視原理結(jié)論發(fā)現(xiàn)這一步(數(shù)學(xué)教育理論家對這一過程是非常重視的).很多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)準備工作中，沒有加深對于數(shù)學(xué)原理性知識發(fā)現(xiàn)活動過程重要性的認識，在隨堂(甚至是大大小小的數(shù)學(xué)教學(xué)公開課，高師師范生教學(xué)技能競賽或教師招聘面試的無生授課)聽課、與一線數(shù)學(xué)教師研究數(shù)學(xué)教學(xué)活動的數(shù)學(xué)說課、為準備“國培計劃”的教學(xué)課程設(shè)置的調(diào)查等收集的大量材料中，筆者了解到，一般教師普遍性地在施教數(shù)學(xué)原理性知識時的著力點就是原理的證明過程，而沒有在“發(fā)現(xiàn)活動”這一十分重要的環(huán)節(jié)上給予相應(yīng)的努力，從而極大地萎縮了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理過程中所蘊含的教學(xué)價值(在后文的課例中加以具體闡述)，影響了關(guān)于數(shù)學(xué)原理性知識課堂教學(xué)目標的實現(xiàn).

眾所周知，數(shù)學(xué)家關(guān)于原創(chuàng)性知識的探究與發(fā)現(xiàn)活動中，組成要素具有5個次第發(fā)生的步驟(環(huán)節(jié))：其一，從面臨問題的數(shù)學(xué)化信息中提出或發(fā)現(xiàn)一個一般性的問題；其二，利用數(shù)學(xué)學(xué)科的語言或知識把這個一般性的問題重新敘述為可理解的問題形式；其三，琢磨出某種解決問題的方法；其四，使用這種琢磨出來的方法試圖解決這個問題，獲得一些比較可靠的結(jié)論，從而對于這種方法及其產(chǎn)生的結(jié)論正確與否加以檢驗；其五，對成功解答過程中所使用的方法加以評價與反思，納入研究主體的認知結(jié)構(gòu)，為將來解決新問題增加新的工具[3].數(shù)學(xué)知識原創(chuàng)者的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性可以通過這些環(huán)節(jié)發(fā)揮出來，從而獲得具體的數(shù)學(xué)原理性知識，這為我們進行數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)指明了方向.

筆者經(jīng)由長期的教學(xué)經(jīng)驗認識到，在關(guān)于數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)的5個環(huán)節(jié)中，第一個環(huán)節(jié)“提出問題”的重要性首當其沖.因為在一節(jié)課的課堂教學(xué)中，“初始問題”不僅是“這出戲”(這節(jié)課)的開場鑼鼓(教學(xué)的起點)，而且也是“這出戲”(這節(jié)課)的本身.“初始問題”決定了一節(jié)課的節(jié)奏——幾個小高潮(中間過渡性問題的關(guān)鍵性節(jié)點)的組成，并且基本上規(guī)劃好了推進這一節(jié)課課堂上學(xué)生思維活動的行進方向[4].有了恰當合適的“初始問題”，之后的4個環(huán)節(jié)基本上可以由學(xué)生自己進行相應(yīng)的探究活動就能解決了.教師應(yīng)該相信學(xué)生的認識能力，放手讓學(xué)生自己去思考、活動、發(fā)現(xiàn)、篩選、檢驗、得出結(jié)論，順其自然而不需要多加干預(yù).當然，學(xué)生在新的數(shù)學(xué)觀念的萌生、新的數(shù)學(xué)方法的生成時，數(shù)學(xué)教師的相應(yīng)啟發(fā)與鼓勵也是不可或缺的.但是，教師要特別注意，在學(xué)生有效活動時，不要去幫學(xué)生的倒忙.筆者曾經(jīng)將這種課堂教學(xué)活動總結(jié)成一條教學(xué)原則，稱之為“力所能及的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)原則”[5]，即學(xué)生自己能做到的事情，教師一定不要去干預(yù)他們.

同時，我們不難認識到，這5個環(huán)節(jié)中的第3個環(huán)節(jié)與第4個環(huán)節(jié)也是非常重要的.因為，一般情況下，在這兩個環(huán)節(jié)中，學(xué)生已經(jīng)具備指導(dǎo)活動的“數(shù)學(xué)觀念”(在博士論文“滲透數(shù)學(xué)觀念的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計方法研究”中，筆者將“數(shù)學(xué)觀念”定義為學(xué)生展開操作行為的一種指令)與數(shù)學(xué)方法，在面對新的數(shù)學(xué)化信息特點及其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題時，可能失去了效用，此時針對具有具體特點的數(shù)學(xué)化問題信息，學(xué)生需要即興地在課堂學(xué)習的現(xiàn)場中萌生出新的數(shù)學(xué)觀念，指導(dǎo)自己的操作行為，從而有效地駕馭數(shù)學(xué)化信息所產(chǎn)生的問題，進而在這種數(shù)學(xué)觀念的指令下生成有效的數(shù)學(xué)方法，最終將這種數(shù)學(xué)化問題信息轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)原理性知識.因此，數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)準備工作的一般環(huán)節(jié)應(yīng)該從下面3個次第層面入手：

1.1 精心設(shè)置“初始問題”

通過上述的具體分析我們認識到，數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)設(shè)計的第一個要點是：在探究原理結(jié)論時，教師要下足功夫鼓勵學(xué)生從數(shù)學(xué)化信息中(至少需要教師自己向?qū)W生)提出一個合適的“初始問題”，由前面的論述可知，這個環(huán)節(jié)特別重要.提出“初始問題”又可以分為兩種途徑：其一，教師直接向?qū)W生提出合適的“初始問題”；其二，教師向?qū)W生提供相關(guān)數(shù)學(xué)化信息，鼓勵學(xué)生仔細分析這些信息，從而啟發(fā)學(xué)生從分析得出的結(jié)論中提出相應(yīng)的恰當有效的“初始問題”.第二種途徑優(yōu)于第一種途徑，但在教學(xué)準備工作中，就一般的數(shù)學(xué)知識點來說，第二種途徑對教師提出的要求非常高，這是數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力與水平的標識，也是其努力的方向與目標.

對于一般的數(shù)學(xué)教師來說，設(shè)置“初始問題”是一件非常棘手的事.由于數(shù)學(xué)知識點具有特殊性，它就不存在某種具體普適的科學(xué)程式與一般性的模型，因此在提出“初始問題”時，教師沒有什么捷徑可走，需要從自己的教學(xué)實踐中不斷地摸索與嘗試，對具體的數(shù)學(xué)知識所隱含的特點展開深層次的認識，對學(xué)生發(fā)生的心理活動要有相對準確的揣測與把握，對自己設(shè)計的教學(xué)活動不斷地進行思考與反思，有選擇地多聽優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)課，多讀相關(guān)數(shù)學(xué)教育教學(xué)專著或?qū)I(yè)雜志論文，閱讀數(shù)學(xué)教育心理學(xué)等，從中體悟到設(shè)置“初始問題”的方法與途徑.“理在用中方之妙”，數(shù)學(xué)教師一定要牢記：在自己的教學(xué)活動實踐中深入思考，在獲得關(guān)于某個知識關(guān)鍵性的關(guān)節(jié)點上請教理論，這對于提升設(shè)置“初始問題”的水平有較好的幫助.

1.2 啟發(fā)學(xué)生萌生數(shù)學(xué)觀念及其轉(zhuǎn)化為解決問題的具體數(shù)學(xué)方法

數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)設(shè)計的第二個要點在于：對于稍微復(fù)雜一些的數(shù)學(xué)原理性知識內(nèi)容，從所設(shè)置的“初始問題”過渡到關(guān)于這個知識點的結(jié)論(證明之前產(chǎn)生的命題)，中間必然要經(jīng)過某些數(shù)學(xué)觀念的轉(zhuǎn)化，才有可能成功.也就是說，在解決“初始問題”的過程中，學(xué)生熟悉的那個(或幾個)最容易首次直接出現(xiàn)的指令操作行為的“數(shù)學(xué)觀念”往往(甚至可以肯定地說)是無效的，必須要摒棄這個首次出現(xiàn)的“數(shù)學(xué)觀念”，從相關(guān)的數(shù)學(xué)化信息的問題所規(guī)定好了的材料中形成新的“過渡性問題”，在這個過渡性問題的刺激下，萌生新的“數(shù)學(xué)觀念”，有關(guān)原理性知識命題結(jié)論的發(fā)現(xiàn)必須由這個(些)新的數(shù)學(xué)觀念指令，在這個(些)新的“數(shù)學(xué)觀念”的指令下，才可以達到目的.

這種啟發(fā)學(xué)生針對具體數(shù)學(xué)化信息問題萌生新的“數(shù)學(xué)觀念”的過程，是課堂教學(xué)活動的又一個重點，而且也一定是難點之一.例如，關(guān)于“二項式定理”這一原理性數(shù)學(xué)知識點，教科書提供了非常好的數(shù)學(xué)化信息，教師在啟發(fā)學(xué)生提出相應(yīng)的“初始問題”后，學(xué)生在尋找展開式的表達式的系數(shù)時，可能要先產(chǎn)生“楊輝三角”的數(shù)學(xué)觀念指令操作，但是“楊輝三角”這種數(shù)學(xué)觀念的指令不足以駕馭這個問題(因為它需要無限操作，到最后不一定能找到那個系數(shù))，這時要啟發(fā)學(xué)生從基于“楊輝三角”形式中對于系數(shù)的歸納法這樣的數(shù)學(xué)觀念指令的操作行為，轉(zhuǎn)化到運用計數(shù)原理的“數(shù)學(xué)觀念”指令的操作行為，在計數(shù)原理的觀念指令下，才能順利地解決這個問題[6].要引起注意的是，教科書上提供的材料還是比較原始的，需要教師進行二次開發(fā)，才能最大限度地發(fā)揮它的教學(xué)價值.

1.3 在命題結(jié)論發(fā)現(xiàn)過程中為尋找邏輯證明的途徑創(chuàng)造有利條件

數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)設(shè)計的第3個要點在于：從“初始問題”過渡到合適結(jié)論(命題)的發(fā)現(xiàn)過程中，力求為這個原理結(jié)論(命題)的證明創(chuàng)造有利條件，諸如做好利于發(fā)現(xiàn)證明思路的合適表征、提示證明將要采用的數(shù)學(xué)方法等.當然，由于具體知識的特點不同，決定了這種創(chuàng)造條件活動的方式也不同，有些知識的探究發(fā)現(xiàn)活動已經(jīng)清晰地產(chǎn)生了證明結(jié)論的思路(如教科書中有關(guān)“二項式定理”的提示)，發(fā)現(xiàn)的過程同時就是證明的過程；但有些知識不是這樣的(如下文的“正弦定理”的課例).如此安排，不僅形成了發(fā)現(xiàn)活動與證明活動之間的緊密聯(lián)系，還加強了課堂教學(xué)活動之間的結(jié)構(gòu)性與情節(jié)性，更為重要的是，可以為課堂教學(xué)側(cè)重點置于發(fā)現(xiàn)活動中提供時間的保證.

總之，要做好這3個要點的準備工作，在課堂教學(xué)時，還要善于依據(jù)學(xué)生發(fā)生認知的具體心理活動情況，加以必要的調(diào)整.如此，數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)就會獲得比較理想的效果.因此，我們在進行數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)時，首先要分析知識的結(jié)構(gòu)性特點，然后依據(jù)這些特點，參照學(xué)情分析的結(jié)論，認真考慮從這3個要點著手進行教學(xué)準備工作.

2 數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)設(shè)計示例

陸游詩云：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”教育理論家提供的教育理論或教學(xué)理念對于大部分一線數(shù)學(xué)教師來說，可能是蒼白無力的.在教學(xué)實踐中，數(shù)學(xué)教師要針對具體數(shù)學(xué)知識的特點，依據(jù)學(xué)生的心理活動特點，選擇合適的數(shù)學(xué)教學(xué)法，才能發(fā)揮具有具體特點的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)價值，實現(xiàn)較好的教學(xué)效果.關(guān)于數(shù)學(xué)原理性知識的教學(xué)準備工作也是一樣.

下面以“正弦定理”這個數(shù)學(xué)原理性知識點為例進行說明，筆者通過長時間的實踐與反思，總結(jié)使用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法進行課堂教學(xué)的幾個關(guān)鍵性環(huán)節(jié)如下：

1)在△ABC中，當

∠A<∠B<∠C

(1)

時，就有

a

(2)

反之亦然.就是說，在同一個三角形中，有式(1)與式(2)相互依存的關(guān)系.這是三角形3個角、3條邊之間互相關(guān)聯(lián)的一種定性關(guān)系.數(shù)學(xué)學(xué)科除了作為揭示數(shù)與形之間的定性關(guān)系的工具外，還可以提供更強的關(guān)系，即定量的關(guān)系.那么，關(guān)于式(1)與式(2)所形成的相互依存關(guān)系可以定量化嗎(必要時，可以向?qū)W生解釋“定性”與“定量”的準確涵義，如此，筆者以一個普通的三角形為基礎(chǔ)，提出了“初始問題”)？

2)學(xué)生可能會展開猜想，得到這6個要素可能的比例式

(3)

必要時，可以確定三角形的3個角，它的3條邊可以成比例地增加或縮減，啟發(fā)學(xué)生萌生出比例式(3)(其中角度是弧度制單位).緊接著，筆者向?qū)W生提問，比例式(3)成立嗎(由式(1)與式(2)形成的這種定性的相互依存關(guān)系生成了新的數(shù)學(xué)觀念，即定量研究這6個要素的數(shù)學(xué)觀念).

3)學(xué)生使用特殊三角形進行檢驗，發(fā)現(xiàn)比例式(3)不成立.此時，筆者又啟發(fā)學(xué)生提出了對比例式(3)的分子中的3個角加以改造，即分別取正弦、余弦與正切來試探，得到3個比例式

(4)

(5)

(6)

教師鼓勵學(xué)生檢驗這3個比例式，確定是否存在某一個或幾個成立.結(jié)果發(fā)現(xiàn)比例式(4)成立.于是，筆者又提出問題，比例式(4)只不過是一種猜想，怎樣證明比例式(4)成立(將比例式(3)中的角進行三角函數(shù)化似乎是一種“神來之筆”，但是，學(xué)生的這種探究活動方式，也是合情合理的，這就體現(xiàn)了在探究中創(chuàng)新、在創(chuàng)新中探究的教學(xué)方式)？

4)在比例式(4)所表征的情形下，證明的過程其實就是將比例式(4)的3個部分都去分母，學(xué)生會快速地得到

bcsinA=acsinB=absinC,

(7)

可以看到:在引領(lǐng)學(xué)生進行探究時，要將角放在分子的位置上的原因：這種表征在最后檢驗時，為使用的邏輯證明活動帶來了極大方便，從而在證明過程中節(jié)省了大量的課堂教學(xué)時間，為發(fā)現(xiàn)活動奠定了基礎(chǔ).與筆者的這種教學(xué)活動相比較，教科書上所提供的證明(使用向量數(shù)量積等)就顯得有些“殺雞使用了宰牛刀”.

3 簡要結(jié)語

蘇霍姆林斯基說：“人的內(nèi)心里有一種根深蒂固的需要——總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者.在兒童的精神世界中，這種需求特別強烈.但如果不向這種需求提供養(yǎng)料，即不積極接觸事實和現(xiàn)象，缺乏認識的樂趣，這種需求就會逐漸消失，求知興趣也與之一道熄滅.”因此在教學(xué)中，教師(特別是新教師)要從學(xué)生的實際出發(fā)，采用生動活潑的形式，啟發(fā)學(xué)生思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習的積極性，引導(dǎo)學(xué)生積極主動地學(xué)習.

在進行具體知識的教學(xué)設(shè)計時，數(shù)學(xué)教師應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，從學(xué)生的實際認知出發(fā)，鼓勵學(xué)生參與教學(xué)過程中必不可少的心理活動，以啟發(fā)學(xué)生生成數(shù)學(xué)觀念、指導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)思維、抽象出數(shù)學(xué)方法、萌發(fā)數(shù)學(xué)思想，最終促使學(xué)生以形成數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新能力為核心的素養(yǎng)，同時充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習的主動性和積極性，這其中最重要的基礎(chǔ)在于教師必須要做好教材分析.提高數(shù)學(xué)教師的教材分析能力是實現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)理念、發(fā)揮數(shù)學(xué)知識教學(xué)價值、實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標的基本保證.本文研究的數(shù)學(xué)原理性知識教學(xué)活動環(huán)節(jié)正是這種思想的體現(xiàn).