探究多元條件極值問(wèn)題消元之思維痛點(diǎn)*

●

(柯橋中學(xué)，浙江 紹興 312030)

多元函數(shù)條件極值是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)“心病”.眾所周知，消元需要結(jié)構(gòu)判斷與變形技巧，然而“技巧也是知識(shí)”，面對(duì)多元函數(shù)條件極值，準(zhǔn)確的審題和正確的解題思路并不意味著題目的解決，還必須正確、專業(yè)地完成一些技術(shù)性的具體操作：這些工作沒(méi)有創(chuàng)新性，但需要你的專業(yè)性和專注力．現(xiàn)實(shí)情況是，對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，這兩方面都存在著障礙與思維痛點(diǎn)[1]．

1 思維痛點(diǎn)的主要癥狀

1．1 多元復(fù)雜結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化不暢

問(wèn)題1正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=2，xy+yz+xz=1，則z的最大值是______.

現(xiàn)象一是看不出變量間的關(guān)系結(jié)構(gòu)；二是缺少消元思想方法．

事實(shí)上，由題意可得

4=x2+y2+z2+2，

即

x2+y2+z2=2.

(1)

又

(z-2)2=x2+y2+2xy≤2(x2+y2)，

(2)

于是

化簡(jiǎn)得

3z2-4z≤0，

即

解讀條件中蘊(yùn)含“(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)”；建立式(1)與式(2)之間的橋梁是關(guān)鍵．

1.2 多元聯(lián)系結(jié)構(gòu)識(shí)別不暢

現(xiàn)象看不出條件與目標(biāo)變量結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，解決問(wèn)題的方法單一．

解讀在識(shí)別出條件與目標(biāo)之間其實(shí)是調(diào)和平均與平方平均的關(guān)系后，直接利用基本不等式就可以解決問(wèn)題．

解讀只需要兩次運(yùn)用基本不等式就可以破解，但要注意等號(hào)成立的條件．

方法3因?yàn)?/p>

解讀在整體思想支配下，把a(bǔ)b視為一個(gè)變量去探究目標(biāo)與條件之間的聯(lián)系．

于是

解讀將條件二元函數(shù)“9a2+b2=1”轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最直接的方法就是三角換元．

1.3 消元基本方法運(yùn)用不暢

現(xiàn)象面對(duì)兩個(gè)量之和為定值1，不會(huì)用均值法減元，也不會(huì)對(duì)目標(biāo)整體設(shè)元．

u2-6u+1≥0,

即

從而

方法2令a+b=t，則b=t-a，代入條件得

2a+4(t-a)+a+2=(a+2)(2t-a),

即

4t-a+2=-a2-2a+2at+4t，

整理得

a2+(1-2t)a+2=0,

從而

Δ=(2t-1)2-8≥0,

即

解讀均值消元的前提條件是題設(shè)中有兩個(gè)變量之和為定值，借助于均值法可以化歸為一元函數(shù)，此時(shí)至少有兩個(gè)途徑：一是化成二次方程，然后用判別式法建立目標(biāo)函數(shù)的不等關(guān)系式；二是利用導(dǎo)數(shù)工具求最值，從而求得二元函數(shù)的最值．

2 思維痛點(diǎn)的產(chǎn)生之源

2.1 代數(shù)式結(jié)構(gòu)判斷意識(shí)不強(qiáng)

多元函數(shù)條件極值問(wèn)題的信息中，代數(shù)式是基本的，因此代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的判斷成為解決問(wèn)題的首要方法.然而，學(xué)生在代數(shù)式結(jié)構(gòu)判斷方面意識(shí)不強(qiáng)，從而導(dǎo)致求解失敗或受阻，以上各現(xiàn)象都說(shuō)明這一點(diǎn).

2．2 多變量消元基本方法不熟

多元函數(shù)條件極值的第二個(gè)特征就是變量多，要消元.不同結(jié)構(gòu)特征的代數(shù)式消元的方法也不同，然而學(xué)生針對(duì)不同類型的多元結(jié)構(gòu)，消元的基本方法掌握不足、運(yùn)用不熟，從而導(dǎo)致消元失敗或找不到問(wèn)題求解的基本思路.

2.3 多元極值的基本思想不牢

解決多元極值問(wèn)題的基本思想方法有：消元意識(shí)、消元技巧、變形能力、運(yùn)算能力，這些是問(wèn)題突破的基本途徑.在腦海中若沒(méi)有這些基本思想方法，就無(wú)法解決此類問(wèn)題，痛點(diǎn)自然產(chǎn)生．

3 思維痛點(diǎn)的解除之法

3.1 有目標(biāo)的基本功訓(xùn)練

問(wèn)題4若實(shí)數(shù)x,y滿足x≥-1，y≥-1且2x+2y=4x+4y，求22x-y+22y-x的最大值．

目標(biāo)識(shí)別條件與目標(biāo)中的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，呈現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)．

事實(shí)上，該問(wèn)題中條件與目標(biāo)最明顯的表征就是指數(shù)形式．

(3)

已知式2x+2y=4x+4y可轉(zhuǎn)化為

令t=sinθ+cosθ，則

且

2sinθcosθ=t2-1,

從而

3.2 有序思維鏈接的訓(xùn)練

問(wèn)題求解過(guò)程的有序思維可以進(jìn)行程序化設(shè)計(jì).編制一個(gè)程序框圖或程序，讓學(xué)生的思維訓(xùn)練更加有序，思維過(guò)程表達(dá)更加有序．

問(wèn)題5設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且x2+2xy+4y2=6，求x2+4y2的取值范圍．

tcos2θ+tsinθcosθ+tsin2θ=6，

方法3條件配方得

(x+y)2+3y2=6，

m2-2n=6，x2+4y2=m2-4n,

將x=m-2y代入x2+2yx+4y2=6得

4y2-2my+m2-6=0.

0≤m2≤8，

于是x2+4y2=m2-4n=m2-2(m2-6)∈[4,12].

解讀對(duì)于上述問(wèn)題的求解訓(xùn)練，針對(duì)條件與目標(biāo)結(jié)構(gòu)進(jìn)入“挖掘”序列，進(jìn)而得到相應(yīng)的“求解方法”序列，這兩個(gè)序列為子程序，可以再設(shè)計(jì)，為編制函數(shù)條件極值方法挖掘的程序設(shè)計(jì)打基礎(chǔ)．有序思維鏈接的程序設(shè)計(jì)是人工智能在數(shù)學(xué)解題思維鏈(數(shù)學(xué)思維基因)研究的基礎(chǔ)．

3．3 靶向治療的專項(xiàng)訓(xùn)練

針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維痛點(diǎn)的類型，選擇有針對(duì)性地“治療”或解除方法，隨著痛點(diǎn)的變化情況，時(shí)時(shí)調(diào)整“校正手段”，以達(dá)到有效“診治”，這種治療類似于“西醫(yī)”治療，快而短期有效，但有副作用，不能保持長(zhǎng)期有效或根治．

1)它可能是“點(diǎn)穴式”的，針對(duì)某一個(gè)“知識(shí)點(diǎn)”或“專題”進(jìn)行“診斷治療”；

2)它可能是“住院式”的，針對(duì)某一塊“知識(shí)網(wǎng)”或“方法群”進(jìn)行較長(zhǎng)時(shí)間的“觀察治療”；

3)它可能是“理療式”的，針對(duì)某一個(gè)不良習(xí)慣進(jìn)行“監(jiān)督”校正．

解法1(結(jié)構(gòu)剖析+基本不等式)

解讀目標(biāo)與條件之間的代數(shù)結(jié)構(gòu)聯(lián)系是關(guān)鍵，第一個(gè)等號(hào)是容易想到的；第二個(gè)等號(hào)建立在2a+b,2b+a之間的數(shù)量關(guān)系上；第3個(gè)等號(hào)在于化簡(jiǎn)呈現(xiàn)出對(duì)勾函數(shù)形式，為使用基本不等式奠定基礎(chǔ)；最后在求最大值點(diǎn)時(shí)，要解一個(gè)復(fù)雜的二元分式方程組，這是運(yùn)算障礙．

令u=t-1(為求最大值，考慮其大于0)，則

即

(2u+b2)(2u+a2)=6u+a2+2b2,

整理得 (2u-1)a2+(2u-2)b2+5u2-6u=0,

即

(2u-1)a4+(5u2-6u)a2+(2u-2)u2=0.

此方程為關(guān)于a2的二次方程，由判別式可得

(5u2-6u)2-4(2u-1)(2u-2)u2≥0，

即

9u2-36u+28≥0,

從而

當(dāng)且僅當(dāng)

即

時(shí)，取到等號(hào)．

解讀判別式法相對(duì)比較固定、程序化，容易掌握，只是與前所述，在求最大值點(diǎn)時(shí)，要解一個(gè)復(fù)雜的二元分式和二元二次方程組，這是運(yùn)算障礙．

4 解除思維痛點(diǎn)，積累經(jīng)驗(yàn)之旅

4.1 善于積累思維方法

教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷積累多元條件極值的各種分析方法，對(duì)于多元函數(shù)關(guān)系結(jié)構(gòu)形式能多角度變形，以挖掘其特征，特別是各類可能情形的全面考慮，意在培養(yǎng)全面思考問(wèn)題的素養(yǎng)，而不僅僅是線性思考某一個(gè)問(wèn)題；對(duì)于多變?cè)獥l件極值問(wèn)題，學(xué)會(huì)分解到基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法層面，然后逐一解決，這也是在培養(yǎng)面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題本質(zhì)、化整為零、個(gè)個(gè)擊破的素養(yǎng)[2]．

4.2 及時(shí)解除思維痛點(diǎn)

及時(shí)解除解決有關(guān)多變?cè)獥l件極值問(wèn)題中遇到的思維痛點(diǎn)：一方面積極地面對(duì)多元函數(shù)結(jié)構(gòu)變形中的痛點(diǎn)，分析原因，找到產(chǎn)生痛點(diǎn)的根源；另一方面尋找解除痛點(diǎn)的思路與方法，這一過(guò)程本身也是在積累求解經(jīng)驗(yàn)，從而駕馭此類問(wèn)題[3]．

4.3 勤于總結(jié)思維經(jīng)歷

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是有規(guī)律可循的，把遇到的若干個(gè)痛點(diǎn)歸類研究與思考，尋找一些共有的特征，發(fā)現(xiàn)其共性，找到一般的思維方法與破解對(duì)策，舉一反三，融會(huì)貫通，做練習(xí)時(shí)，永遠(yuǎn)把目的放在心中最重要的位置，變“刷題爛練”為“聚匯精練”，將知識(shí)與實(shí)踐更好地結(jié)合，真正提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性[4]．