讓圖形來(lái)“說(shuō)話”

丁群俐　蔡水華

摘? ?要：

幾何直觀是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的十大核心概念之一，本文從尋找直觀模型、注重自主操作、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合等教學(xué)策略出發(fā)，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，讓幾何形體在學(xué)生頭腦中從“簡(jiǎn)約”走向“豐盈”，以求更有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。

[關(guān)鍵詞 ] 幾何直觀;數(shù)學(xué)圖形;數(shù)學(xué)教學(xué)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀?！睅缀沃庇^是揭示現(xiàn)代數(shù)學(xué)本質(zhì)的有力工具。培養(yǎng)幾何直觀能力的策略有很多，本文從幾何直觀教學(xué)策略的角度出發(fā)，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。

一、尋找直觀模型，發(fā)展學(xué)生的直觀洞察力

1.以圖表思，形象直觀。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：幾何直觀主要是利用圖形描述來(lái)分析問(wèn)題。通過(guò)圖形將關(guān)鍵信息傳達(dá)出來(lái)，能幫助我們有效地思考問(wèn)題、分析問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的方案。因此教師要善于借助幾何直觀，畫(huà)一畫(huà)、涂一涂，以圖導(dǎo)思，讓解題思路一目了然。

有這樣一道題：有一堆貨物共9600千克，需要2輛車分4次運(yùn)完，那么每輛車每次運(yùn)多少千克？

在解決問(wèn)題前，教師提出要求：先列算式，然后在長(zhǎng)方形圖中畫(huà)出解題思路。

反饋時(shí)，學(xué)生的回答很精彩：

學(xué)生通過(guò)分長(zhǎng)方形來(lái)表示算式每一步表達(dá)的含義，清晰地描述了解題思路。教師較好地利用長(zhǎng)方形溝通了解決問(wèn)題、計(jì)算教學(xué)與空間圖形三者之間的關(guān)系，充分利用外化的“形”把內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)形象地表示了出來(lái)。

2.以圖促思，表征直觀。幾何直觀不僅應(yīng)用于“圖形與幾何”的教學(xué)，在其他領(lǐng)域也發(fā)揮了不可替代的作用，而且貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中。它憑借圖形的直觀性特點(diǎn)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，深入數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，打開(kāi)學(xué)生思維的大門，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的難點(diǎn)。

一個(gè)數(shù)的近似數(shù)是相對(duì)抽象的一個(gè)概念性知識(shí)，在作業(yè)中有這樣一道題：甲、乙兩個(gè)數(shù)，將甲數(shù)四舍五入省略萬(wàn)后面的尾數(shù)約是5萬(wàn)，將乙數(shù)改寫(xiě)成以“萬(wàn)”為單位的數(shù)是5萬(wàn)，那么甲數(shù)和乙數(shù)的大小關(guān)系是（）。

A.甲數(shù)=乙數(shù)B.甲數(shù)>乙數(shù)

C.甲數(shù)<乙數(shù)D.無(wú)法確定

在解答這道題時(shí)，不少學(xué)生是舉例說(shuō)明的，列出了兩個(gè)不同的數(shù)來(lái)比較，而有一個(gè)學(xué)生用數(shù)軸來(lái)表示，這樣就把其他同學(xué)說(shuō)的情況都包括進(jìn)去了。

從這道題的分析中，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)軸這種特定的幾何圖形在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域淋漓盡致地發(fā)揮了幾何直觀的作用，之前幾個(gè)同學(xué)說(shuō)的都是零散的數(shù)，而這個(gè)同學(xué)利用數(shù)軸一下子把大家的思維聚焦起來(lái)，將這些數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，學(xué)生的思路也開(kāi)闊了，而且這樣比較更方便、更直觀。

二、注重自主操作，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力

1.借助自主操作，積累表象經(jīng)驗(yàn)。要培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，不能光是教師畫(huà)，而要讓學(xué)生積極參與，自主操作。讓學(xué)生經(jīng)歷用圖形來(lái)描述問(wèn)題和分析問(wèn)題，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”時(shí)，有位教師一開(kāi)始就提出了一個(gè)比較開(kāi)放的問(wèn)題：在學(xué)校門口一條長(zhǎng)20米的馬路一邊，每隔5米種一棵樹(shù)，能種幾棵樹(shù)？

當(dāng)學(xué)生得出不同答案時(shí)，教師沒(méi)有馬上下結(jié)論，而是讓學(xué)生畫(huà)圖驗(yàn)證自己的猜想：

根據(jù)這三幅圖，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩端都種時(shí)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1;只種一端時(shí)，棵數(shù)=間隔數(shù);兩端都不種時(shí)，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

植樹(shù)問(wèn)題是比較抽象的問(wèn)題，學(xué)生理解起來(lái)比較困難。學(xué)生通過(guò)直觀圖找到了各數(shù)量之間的關(guān)系，找到了解決問(wèn)題的方法。通過(guò)畫(huà)線段圖，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)植樹(shù)問(wèn)題的感性認(rèn)識(shí)，有效地幫助學(xué)生理解了間隔數(shù)與棵數(shù)之間的復(fù)雜關(guān)系，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

2.借助圖形，發(fā)展空間聯(lián)想。隨著年齡的增長(zhǎng)，學(xué)生從生活中獲得了不少經(jīng)驗(yàn)，形成了一定的空間知覺(jué)和空間表象。在教學(xué)中教師可以借助直觀圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合理猜想，充分發(fā)揮學(xué)生的空間想象能力。

在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，有一道這樣的題目：圖1中陰影部分可用[13]表示嗎？

學(xué)生看到這個(gè)圖馬上會(huì)判斷是錯(cuò)的，因?yàn)樗鼪](méi)有平均分。

師：那這三份都不可能是[13]嗎？

師：中間那份真的是整體的[13]嗎？你們有什么好方法驗(yàn)證一下？

學(xué)生邊觀察圖形，邊拿起筆思考。

在交流中，學(xué)生中出現(xiàn)了兩種思路，他們結(jié)合畫(huà)的草圖將想法清晰地表達(dá)出來(lái)。

在教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，如果在課堂上大量使用“平均分”的分割線，在幫助學(xué)生形成分?jǐn)?shù)概念的同時(shí)也對(duì)分?jǐn)?shù)概念本質(zhì)的理解起到了干擾作用。學(xué)生會(huì)認(rèn)為只有分割成大小形狀一樣的圖形才能被稱為“平均分”。在這個(gè)教學(xué)片段中教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角形圖形進(jìn)行探索、觀察、操作、驗(yàn)證，使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)有了更深刻的理解，思維也得到了很大程度的提升。

三、加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生的解決問(wèn)題能力

1.以形助數(shù)，內(nèi)化解題思路。在解決問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生找不到思路，或者列出了算式卻說(shuō)不清楚解題方法，這時(shí)我們可以借助形象化的直觀圖形來(lái)幫助學(xué)生提取信息，找到解決問(wèn)題的方法。

例如，一個(gè)底面是正方形的長(zhǎng)方體，把它的側(cè)面展開(kāi)后得到一個(gè)邊長(zhǎng)是12厘米的正方形，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？

初看這題似乎缺少條件，教師讓學(xué)生先根據(jù)信息畫(huà)圖（如圖2），將已知條件表示出來(lái)。

當(dāng)學(xué)生畫(huà)出展開(kāi)圖后，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體的高就是12厘米，長(zhǎng)和寬都是12÷4=3厘米，這個(gè)隱含的信息找到后自然就能求出長(zhǎng)方體的體積。

在圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，我們常常會(huì)碰到諸如此類的問(wèn)題，學(xué)生往往不能直接找到相關(guān)的數(shù)據(jù)解決問(wèn)題，這時(shí)畫(huà)圖就是一種很好的解題策略，可以幫助學(xué)生理清思路，找到隱含信息，從而解決問(wèn)題。本案例中的圖形語(yǔ)言為數(shù)學(xué)思維活動(dòng)提供了直觀模型，從而達(dá)到以形想數(shù)、化難為易、化隱為顯的目的。

2.數(shù)形互譯，外顯數(shù)量關(guān)系。數(shù)量關(guān)系是在具體情境中抽象概括出來(lái)的，具有高度的抽象性。教師可以借助幾何直觀的方法幫助學(xué)生理解和詮釋數(shù)量關(guān)系，化抽象為直觀，化內(nèi)在為外顯，為學(xué)生在分析數(shù)量關(guān)系與解決問(wèn)題之間搭起一座橋梁。

有這樣一道應(yīng)用題：一塊長(zhǎng)方形菜地，長(zhǎng)與寬的比是7∶3，如果長(zhǎng)減少12米，寬增加16米，就變成了一個(gè)正方形。這塊菜地的面積是多少？

學(xué)生解答這道題時(shí)感覺(jué)無(wú)從下手，教師引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)出如下的線段圖（如圖3）：

學(xué)生借助線段圖更直觀地理解了“長(zhǎng)比寬多出來(lái)的4份，就是16+12=28米”的結(jié)論。此時(shí)數(shù)量關(guān)系很明確，問(wèn)題也就迎刃而解了。

內(nèi)在的解題思路形象地外顯了，這樣的圖形直觀明了，易于理解，數(shù)形互譯，有效地凸顯了數(shù)形結(jié)合思想。

幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，在表征直觀、讀懂直觀中可以進(jìn)行推理和想象，實(shí)現(xiàn)思維的頓悟。當(dāng)然，幾何直觀能力的培養(yǎng)并不是一朝一夕的事，在教學(xué)中我們要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，采用合理的教學(xué)方式，促使學(xué)生對(duì)幾何形體有深刻的認(rèn)識(shí)，使幾何形體在頭腦中從“簡(jiǎn)約”走向“豐盈”，有效地培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和幾何直觀能力。