培養(yǎng)解題步驟的嚴謹性提升學(xué)生的解題能力—從一道高考題引出的思考

廣東省佛山市南海區(qū)第一中學(xué)(528000) 黃森宏

在高中增加導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容之后,解決函數(shù)問題得到了很大的提升,方法也簡單明了,使學(xué)生能以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖像等提供了更有效的途徑和簡單明了的操作手段,使學(xué)生對函數(shù)有更深刻的理解和直觀的認識.多年來全國各地的高考試卷中有關(guān)導(dǎo)數(shù)部分的題目,題目的位置放在第21題,題目的總體難度對于學(xué)生來說比較大,但只要我們掌握函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基本思想,導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的地位與作用,以及恰當有效的解題方法步驟,是可以讓學(xué)生比較好地解決這類問題的,強調(diào)步驟的嚴謹性,正是解決此類問題的關(guān)鍵.

高考導(dǎo)數(shù)試題的設(shè)計,一般是從以下幾方面入手：①求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,比較兩個式的大小,考查不等式解法；②求函數(shù)的極值與最值；③利用導(dǎo)數(shù)幾何意義構(gòu)造幾何量的最值問題；④以導(dǎo)數(shù)方法為前提設(shè)計實際綜合問題,把導(dǎo)數(shù)靈活滲透在各個知識點上,同時要讓學(xué)生(老師)根據(jù)問題去提煉出試題考查的目標是什么.

依據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗,我們要做的就是培養(yǎng)學(xué)生的解題嚴謹性,提升學(xué)生的解題能力.經(jīng)多年的教學(xué)經(jīng)驗,結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識特性,總結(jié)出解此類問題的方法步驟如下：

①求函數(shù)的定義域

②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

③令導(dǎo)數(shù)為零求出它的根,此時可能對有沒有根進行分類討論

④判斷根把定義域分成多少部份,此時可能要對根的大小,根與定義域的關(guān)系進行討論,通過列表去判斷函數(shù)的單調(diào)性,同時強調(diào)表格中第三行其實就是函數(shù)的大致圖像.

⑤通過表格的第三行再畫出較為清晰的函數(shù)圖像,(當然此圖像只反映單調(diào)性)通過圖像說明極值或最值在哪里

⑥極值的應(yīng)用,它主要有三方面的應(yīng)用,一求最值二判斷函數(shù)零點三不等式的證明等等.此時對函數(shù)的圖像有更高有要求,要求極值或最值的正負或者說它們的位置高度在哪,都要準確的畫出來.例設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈?).(1)當k=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當k∈時,求函數(shù)f(x)在[0,k]上的最大值M.

解(1)當k=1時,f(x)=(x-1)ex-x2,f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2),令f′(x)=0,解得x1=0,x2=ln2＞0,所以f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表：

x (-∞,0)0(0,ln2)ln2(ln2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗

函數(shù)的大致圖象如下：

圖1

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,0)和(ln2,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,ln2).

(2)f(x)=(x-1)ex-kx2,x∈[0,k],k∈f′(x)=xex-2kx=x(ex-2k),f′(x)=0,解得x1=0,x2=ln(2k).

圖2

令φ(k)=k-ln(2k),k∈所以φ(k)在上是減函數(shù),所以φ(1)≤φ(k)＜φ

圖3

所以1-ln2≤φ(k)即0＜ln(2k)＜k,所以f′(x),f(x)隨x的變化情況如下表所示：

x (0,ln(2k))ln(2k)(ln(2k),k)f′(x)-0+f(x)↘極小值↗

函數(shù)的大致圖象如下：

圖4

以下比較f(0)= —1與f(k)=(k-1)·ek-k3的大?。毫頷(x)=(x-1)·ex-x3+1,(1 2＜x≤1).h′(x)=x·ex-3x2=x(ex-3x).令g(x)=ex-3x,則g′(x)=ex-3＜0,φ(x)單調(diào)遞減,g(1)=e-3＜0,存在唯一的x0∈使g(x)=0.所以在上h′(x)＞0,h(x)遞增；在 (x0,1)上h′(x)＜0,h(x)遞減.而hh(1)=0,故h(x)≥ 0,即f(k)≥-1.所以M=f(k)=(k-1)·ek-k3.

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中學(xué)子們學(xué)習(xí)的重點與難點,很多學(xué)生因為不了解或者沒掌握好函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的解決方法,往往無從下手,所以我們更要緊扣導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個非常好的工具,掌握導(dǎo)數(shù)作為解題工具的方法與實質(zhì),掌握解題步聚,必能一層一層抽絲剝繭,化解難點,達到解決問題!