由一道習(xí)題的講評(píng)感悟高中數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

浙江省富陽(yáng)中學(xué)(311400) 錢麗談

數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一,是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,探究運(yùn)算方向,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求得運(yùn)算結(jié)果等.[1]

數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的提升與其它核心素養(yǎng)的提升是一脈相承的,在分析運(yùn)算對(duì)象的時(shí)候,常常要用到數(shù)學(xué)建模,在選擇運(yùn)算規(guī)則的時(shí)候也必然會(huì)用到邏輯推理,運(yùn)算的過(guò)程本身就是一個(gè)數(shù)據(jù)分析的過(guò)程,在猜測(cè)運(yùn)算方向與判斷運(yùn)算結(jié)果的時(shí)候,直觀想象也會(huì)發(fā)揮重要的作用.可以說(shuō),數(shù)學(xué)運(yùn)算是其他所有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的集中呈現(xiàn)過(guò)程.[2]近幾年,浙江高考數(shù)學(xué)命題也越來(lái)越注重對(duì)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考察,因此如何提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)顯得尤為重要,下面筆者將通過(guò)一道習(xí)題的講評(píng)談?wù)勅绾翁嵘龑W(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

一、課堂實(shí)錄

例已知直線l∶(2+m)x+(1-m)y-5-m=0(m∈?).

(1)證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,直線l都過(guò)一定點(diǎn)P,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若直線l分別交x軸和y軸于點(diǎn)M、N,當(dāng)|PM|·|PN|最小時(shí),求直線l的方程.

學(xué)生的解答情況：

第(1)問(wèn)由m(x-y-1)+(2x+y-5)=0,令解得所以直線l過(guò)定點(diǎn)P(2,1).

師：為什么沒(méi)有往下解?

生(異口同聲)：太繁了!

師：為什么會(huì)繁?找找源頭!

生1：直線方程本身就比較復(fù)雜.

師：那能不能把直線方程的形式寫(xiě)得簡(jiǎn)潔一點(diǎn)?

生2：由第(1)問(wèn),直線恒過(guò)定點(diǎn)P(2,1),所以直線方程可設(shè)為y-1=k(x-2).

師：這樣設(shè)直線方程有沒(méi)有局限性?

生3：因?yàn)楦鶕?jù)題意,直線與x軸和y軸都有交點(diǎn),所以直線的斜率一定存在.

師生共同解答：

解法2 由題意,直線l的斜率一定存在,直線方程可設(shè)為y-1=k(x-2),則MN(0,1-2k),所以當(dāng)且僅當(dāng)即k=±1時(shí)等號(hào)成立.此時(shí),直線l的方程為x-y-1=0或x+y-3=0.

師點(diǎn)評(píng)：把直線方程點(diǎn)斜式,明顯在運(yùn)算上簡(jiǎn)化了許多.直線方程有很多種形式,在解題時(shí)要會(huì)選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程進(jìn)行計(jì)算.那么按照同學(xué)們的第一種解答方式,到底能不能解出來(lái)呢?我們也一起來(lái)算算吧.

師：解法1|PM|·|PN|=這個(gè)復(fù)雜的式子先怎么處理比較好?

師：仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),你有什么發(fā)現(xiàn)?

生5：第2個(gè)根號(hào)里面提取 4,|PM|·|PN|=根號(hào)里兩個(gè)分式剛好互為倒數(shù),可設(shè)則那么與解法2一樣簡(jiǎn)潔了.

|PM|·|PN|=4,當(dāng)且僅當(dāng)t=±1時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)t=1時(shí),解得直線l的方程為x+y-3=0；當(dāng)t=-1時(shí),無(wú)解.

師：解法2為什么比解法1多了一個(gè)答案?哪個(gè)才是正確解答呢?我們退回到解題過(guò)程的開(kāi)始,解法1的直線方程形式m(x-y-1)+(2x+y-5)=0有什么特點(diǎn)?

生6：表示過(guò)兩直線x-y-1=0和x+y-3=0交點(diǎn)P(2,1),但不包括直線x-y-1=0的直線系方程.

師：解法2的直線方程形式y(tǒng)-1=k(x-2),有什么特點(diǎn)?

生7：表示所有經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(2,1)的直線方程.

師：那么結(jié)果應(yīng)該是一條直線還是兩條直線?

生8：因?yàn)轭}目給的條件中的直線方程是以直線系方程的形式給出的,本身就不包括直線x-y-1=0,所以結(jié)果只有一條直線方程x+y-3=0.也就是用解法2解題時(shí),直線方程應(yīng)設(shè)為y-1=k(x-2)(k/=1),這樣才與已知條件是等價(jià)的.

二、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

(一)揭示概念本質(zhì),明晰運(yùn)算對(duì)象

把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是學(xué)生發(fā)展運(yùn)算能力的重要前提,很多學(xué)生在考試和解題中遇到思維的障礙,究其本質(zhì)是因?yàn)闆](méi)有正確理解、掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)概念而造成的.比如本題的運(yùn)算對(duì)象是直線：m(x-y-1)+(2x+y-5)=0,這個(gè)符號(hào)的內(nèi)涵是表示過(guò)兩直線x-y-1=0和x+y-3=0交點(diǎn)P(2,1),但不包括直線x-y-1=0的直線系方程.學(xué)生只有對(duì)直線系方程的本質(zhì)理解了,才會(huì)一開(kāi)始就將直線x-y-1=0排除在外,不會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)解的結(jié)果.

近幾年浙江高考屢次出現(xiàn)這樣一類題型：若對(duì)運(yùn)算對(duì)象理解不清晰,想當(dāng)然地進(jìn)行運(yùn)算很難得到結(jié)果,但是一旦明晰了題目中的運(yùn)算對(duì)象就可以“秒殺”題目.如2016年理科第8題：

已知實(shí)數(shù)a,b,c,( )

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,

則a2+b2+c2＜100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,

則a2+b2+c2＜100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,

則a2+b2+c2＜100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,

則a2+b2+c2＜100

本題若盲目地進(jìn)行絕對(duì)值不等式的運(yùn)算,很難找到運(yùn)算方向與結(jié)果,但是一旦明晰了本題運(yùn)算對(duì)象的幾何本質(zhì)是研究圓、直線、雙曲線、拋物線的封閉性,問(wèn)題就迎刃而解了,因?yàn)橹挥袌A是封閉圖形,所以答案為D.

所以,要想提高運(yùn)算水平,在平時(shí)教學(xué)中不能只限于形式化的表達(dá),一定要努力揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),使學(xué)生透徹理解概念中所表現(xiàn)出的數(shù)量化、符號(hào)化的內(nèi)涵.

(二)關(guān)注題型變式,掌握運(yùn)算法則

公式法則是運(yùn)算的基礎(chǔ),只有熟練掌握公式法則的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、適用范圍以及公式的正用逆用,才能保證運(yùn)算的正確性.例如本題第(2)問(wèn)的解答,就有個(gè)別同學(xué)錯(cuò)用數(shù)量積的公式,將求|PM|·|PN|的最小值等價(jià)于求數(shù)量積的最小值,從而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤.事實(shí)上數(shù)量積的公式為根據(jù)題意,畫(huà)圖可知本題與反向,所以

為使學(xué)生正確理解運(yùn)算法則的內(nèi)涵和外延,在平時(shí)的教學(xué)中應(yīng)關(guān)注題型變式,讓學(xué)生在對(duì)變式的辨析過(guò)程中熟練運(yùn)算法則.例如對(duì)利用正弦定理進(jìn)行“角化邊”和“邊化角”的教學(xué)中,可以進(jìn)行這樣的變式練習(xí)：

例在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,bcosC+ccosB=2b,求的值.

變式在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,bcosC+ccosB=2,c=1,B=2A,求b的值.

通過(guò)對(duì)這樣一個(gè)簡(jiǎn)單變式的辨析,學(xué)生就會(huì)清楚地明白當(dāng)?shù)仁阶笥覂蛇咠R次時(shí),角的正弦值與相應(yīng)邊之間可以直接替換,因?yàn)檎叶ɡ碇械?R可以兩邊約分,但是若等式左右兩邊非齊次,則2R不能約分,角的正弦值與相應(yīng)邊之間就不能直接替換,而是要用a=2RsinA,進(jìn)行轉(zhuǎn)換,否則就會(huì)計(jì)算出錯(cuò).

(三)重視一題多解,優(yōu)選運(yùn)算方法

數(shù)學(xué)概念具有二重性,既表現(xiàn)為一種過(guò)程操作,又表現(xiàn)為對(duì)象、結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)概念的這種二重性決定了概念認(rèn)知、理解的二重性,數(shù)學(xué)思維的二重性.[3]因此很多數(shù)學(xué)問(wèn)題往往具有多種解法,本題一開(kāi)始學(xué)生直接計(jì)算遇到了困難,馬上轉(zhuǎn)換思路換一種直線方程的形式：y-1=k(x-2)(k/=1),計(jì)算起來(lái)就簡(jiǎn)潔了許多,問(wèn)題也自然順利解決了.

為了使學(xué)生在用一種算法解題遇到困難時(shí),立即就能想到回到題目開(kāi)始思考有沒(méi)有更簡(jiǎn)潔的算法,需要教師在平時(shí)多多采用一題多解,讓學(xué)生充分分析條件和結(jié)論,聯(lián)系相關(guān)知識(shí)處理問(wèn)題,開(kāi)闊運(yùn)算求解的視野.同時(shí),在多種解法的比較運(yùn)算中,學(xué)會(huì)綜合分析各種算法的優(yōu)劣,確定最優(yōu)運(yùn)算方向,選擇最優(yōu)運(yùn)算方法.

(四)合理分解難度,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序

面對(duì)復(fù)雜的計(jì)算,要引導(dǎo)學(xué)生聚焦難點(diǎn),重新設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,如本題的解法1：第一步寫(xiě)出|PM|·|PN|的表達(dá)式：第二步計(jì)算函數(shù)f(m)的最小值,思路很簡(jiǎn)單順暢,但是要計(jì)算函數(shù)f(m)的最小值,這個(gè)計(jì)算就難了,這時(shí)通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生思考：計(jì)算的障礙點(diǎn)在哪里?怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算?聯(lián)想到運(yùn)用整體換元的技巧：令分解了難點(diǎn),再重新設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,利用基本不等式很容易求得函數(shù)f(m)的最小值.

在高考中也經(jīng)常會(huì)遇到這樣一類思路簡(jiǎn)潔但是計(jì)算繁雜的題目,這種時(shí)候若能靜下心來(lái)分解計(jì)算難點(diǎn)就顯得尤為重要了.例如2017年浙江高考第15題：已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______,最大值是_____.考后在與學(xué)生的交流中,很多同學(xué)反映此題用三角換元的方法解答：設(shè)a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),則但 是 由 于 式 子過(guò)于復(fù)雜而放棄了.實(shí)際上,若我們能合理設(shè)計(jì)計(jì)算順序,逐個(gè)擊破絕對(duì)值就可化解計(jì)算難點(diǎn)：同理,|a-b|=然后再一起對(duì)|a+b|+|a-b|兩邊平方,得(|a+b|+|a-b|)2=所以|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是

因此,在平時(shí)的教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)整體換元、式子變形、等價(jià)轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等技巧合理設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,分解計(jì)算難點(diǎn).當(dāng)然,面對(duì)繁瑣的計(jì)算,還需要學(xué)生具備堅(jiān)持不懈、計(jì)算到底的意志品質(zhì).

(五)強(qiáng)化元認(rèn)知,調(diào)控運(yùn)算結(jié)果

要想確保運(yùn)算的準(zhǔn)確無(wú)誤,還需要學(xué)生能對(duì)自己運(yùn)算過(guò)程的正確性和運(yùn)算結(jié)果的合理性進(jìn)行判斷,即教師在教學(xué)過(guò)程中要強(qiáng)化學(xué)生的元認(rèn)知監(jiān)控.對(duì)于本題的解法2,若學(xué)生在解題過(guò)程中能思考：換一種直線方程的設(shè)法y-1=k(x-2)與題目所給的直線方程(2+m)x+(1-m)y-5-m=0(m∈?)等價(jià)嗎?計(jì)算結(jié)果有兩條直線方程x-y-1=0或x+y-3=0是不是都滿足條件?會(huì)不會(huì)有要舍掉的直線?這樣整個(gè)計(jì)算過(guò)程就會(huì)更加嚴(yán)謹(jǐn)準(zhǔn)確.

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是學(xué)生必備的一項(xiàng)基本技能,需要教師在平時(shí)的教學(xué)中加強(qiáng)概念本質(zhì)的教學(xué),使學(xué)生正確理解運(yùn)算對(duì)象；在變式訓(xùn)練中讓學(xué)生熟練掌握運(yùn)算法則；在一題多解的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的運(yùn)算方向,優(yōu)化算法；抓住一切機(jī)會(huì)教會(huì)學(xué)生運(yùn)算技巧,學(xué)會(huì)合理設(shè)計(jì)運(yùn)算程序；并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)元認(rèn)知監(jiān)控,不斷調(diào)整運(yùn)算過(guò)程和運(yùn)算結(jié)果；最終引領(lǐng)學(xué)生逐步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).