高中生核心素養(yǎng)之“數(shù)學(xué)建模”能力的培養(yǎng)與思考—以“建立數(shù)列模型解決實(shí)際問題”教學(xué)為例

廣東省廣州市番禺區(qū)石樓中學(xué)(511447) 梁振強(qiáng)

數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型、用數(shù)學(xué)知識解決問題的素養(yǎng),是學(xué)生高中階段必備的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)分析.”其中,更是強(qiáng)化了數(shù)學(xué)建模思想的核心地位,并以主題的形式要求學(xué)生參與數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動的全過程,使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用,提升實(shí)踐能力、增強(qiáng)創(chuàng)新意識和科學(xué)精神.

筆者認(rèn)為,要想提高學(xué)生核心素養(yǎng),首先要提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力.如何在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng),值得一線數(shù)學(xué)教師實(shí)踐與思考.下面以“建立數(shù)列模型解決實(shí)際問題”的教學(xué)為依托,淺談一下學(xué)生核心素養(yǎng)的根植與培養(yǎng).

一、教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)

1.教材和學(xué)情分析

本節(jié)課是對普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)5》(人教A版)第二章《數(shù)列》中2.2節(jié)—2.5節(jié)內(nèi)容進(jìn)行整合而形成的一節(jié)實(shí)際應(yīng)用課,主要內(nèi)容是通過對日常生活中的兩個實(shí)例分析,得到等差、等比兩種數(shù)列模型以及建立數(shù)列模型的具體步驟.數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,等差、等比數(shù)列又是數(shù)列中最特殊的兩種數(shù)列,在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課是關(guān)于等差、等比數(shù)列及其求和公式實(shí)際應(yīng)用的一節(jié)整合課,是本章內(nèi)容的升華,目的是讓學(xué)生感受這兩種數(shù)列模型應(yīng)用的廣泛性,并能夠利用它們解決生活中的實(shí)際問題.

學(xué)習(xí)本節(jié)課之前,學(xué)生已經(jīng)對等差、等比數(shù)列的概念及其前n項(xiàng)和公式有了較深的認(rèn)識,這對建立這兩種數(shù)列模型做好了知識儲備.從認(rèn)知結(jié)構(gòu)方面,大量的數(shù)學(xué)思維方法如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等已為學(xué)生所習(xí)知.但在分析問題的實(shí)際背景、明確問題的復(fù)雜條件等方面還有一定的困難,尤其是用函數(shù)的背景和研究方法來認(rèn)識、研究數(shù)列,還沒有形成思維習(xí)慣,所以“建模”和“解?！眱刹綄W(xué)生來說還是個難點(diǎn).

2.教學(xué)目標(biāo)

要解決日常生活中有關(guān)數(shù)列的問題,必須從實(shí)際情境中抽象出相應(yīng)的數(shù)列模型,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題求解.基于以上學(xué)情分析,本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

(1)學(xué)會解決有關(guān)等差數(shù)列模型的實(shí)際問題.

(2)學(xué)會解決有關(guān)等比數(shù)列模型的實(shí)際問題.

(3)明確建立數(shù)列模型的步驟.

教學(xué)重點(diǎn)：建立數(shù)列模型的步驟,解決有關(guān)等差、等比數(shù)列模型的實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)：從生活背景中提煉出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型,并加以解決.

二、主體教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)回顧舊知

問題1 等差、等比數(shù)列相關(guān)知識的復(fù)習(xí).

問題2解決應(yīng)用問題的思路.

教師活動：提問與引導(dǎo)；

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生更加熟悉數(shù)列建模的必備知識并懂得數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性與關(guān)聯(lián)性.

(二)實(shí)例情境1

假設(shè)某市2013年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價(jià)房,預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,

(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2013為累計(jì)第一年)將首次不少于4750萬平方米?

(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占建造住房面積的比例首次大于85%?

設(shè)計(jì)意圖以實(shí)際生活實(shí)例讓學(xué)生感受建立兩種特殊數(shù)列模型的方法和步驟.

問題1 描述中低價(jià)房的關(guān)鍵信息是什么?它的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么?如何把第(1)問轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題?

教師活動：多重設(shè)問引導(dǎo)學(xué)生提煉關(guān)鍵信息,板書建模解模步驟；

設(shè)計(jì)意圖使學(xué)生很自然地從實(shí)際情境中抽象出等差數(shù)列模型并明確“建?！辈襟E：設(shè)→建→解→答.

問題2 描述新建住房的關(guān)鍵信息是什么?它的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么?如何把第(2)問轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題?

教師活動：提問并組織學(xué)生交流解題過程；

設(shè)計(jì)意圖培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際情境中抽象出等比數(shù)列模型的能力.

問題3 解模中的不等式“n+4＞6.8×1.08n-1”能否用數(shù)形結(jié)合的方法?

教師活動：用幾何畫板演示.

設(shè)計(jì)意圖通過數(shù)形結(jié)合的方法使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)列是一種特殊函數(shù).

問題4“每年新建住房面積平均比上一年增長8%”和“中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬平方米”的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么?

設(shè)計(jì)意圖強(qiáng)化學(xué)生“識?！奔础白リP(guān)鍵信息”的能力,總結(jié)建模的步驟：識?！！饽！鹉?從而突出重點(diǎn).

(三)實(shí)例情境2

某家庭打算在2013年的年底花40萬購一套商品房,為此,計(jì)劃從2007年初開始,每年初存入一筆購房專用款,使這筆款到2013年底連本帶息共有40萬元.如果每年的存款數(shù)額相同,依年利息2%并按復(fù)利計(jì)算,問每年應(yīng)該存入多少錢?(1.027≈1.1487)

設(shè)計(jì)意圖實(shí)踐建模方法過程.

問題5 題目中的關(guān)鍵信息是什么?它的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)又是什么?

設(shè)計(jì)意圖訓(xùn)練學(xué)生抓關(guān)鍵信息、分析關(guān)鍵信息的能力.

問題6 從2007年到2013年共存了幾次錢?每次存的x萬元到2013年底的本利和分別是多少?如何把這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題?

設(shè)計(jì)意圖明確數(shù)列中的計(jì)數(shù)問題,親歷建立等比數(shù)列模型的方法,重視解模答模的過程,從而突破難點(diǎn).

(四)目標(biāo)檢測

目標(biāo)檢測題1某市一家商場的新年最高促銷獎設(shè)立了兩種領(lǐng)獎方式,獲獎?wù)呖梢赃x擇2000元的獎金,或者從12月20日到第二年的1月1日,每天到該商場領(lǐng)取獎品,第1天領(lǐng)取的獎品的價(jià)值為100元,第2天為110元,以后逐天增加10元,哪種領(lǐng)獎方式獲獎?wù)呤芤娓?你會選擇哪種方式?

目標(biāo)檢測題2一名體育愛好者為了觀看2016年里約熱內(nèi)盧奧運(yùn)會,從2010年起,每年的5月1日到銀行存入a元一年期定期儲蓄,假定年利率為p(利息稅已扣除)且保持不變,并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期,到2016年5月1日將所有存款和利息全部取出,則可取出的錢的總數(shù)是( )

設(shè)計(jì)意圖了解建立等差數(shù)列、等比數(shù)列模型的達(dá)成情況.

三、教學(xué)思考

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)作為主要的核心素養(yǎng),加強(qiáng)其在平常教學(xué)中的滲透尤為重要.教師要善于發(fā)揮教學(xué)的主導(dǎo)和引領(lǐng)作用,促進(jìn)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的落實(shí).新頒布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿將數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)劃分為三個水平,并且有十分詳細(xì)的描述,如了解熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及其數(shù)學(xué)描述,了解數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)、結(jié)論的實(shí)際含義；能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,知道數(shù)學(xué)問題的價(jià)值與作用；能夠在綜合的情境中,運(yùn)用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)關(guān)系,提出數(shù)學(xué)問題等.教師的教學(xué)活動應(yīng)基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而進(jìn)行,特別是針對三個水平展開對學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

(一)豐富課堂閱讀材料,為學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用奠基.教師應(yīng)為學(xué)生提供豐富的閱讀材料,讓學(xué)生多接觸實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題,了解所熟悉的數(shù)學(xué)模型的實(shí)際背景及其數(shù)學(xué)描述,從而為學(xué)生用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問題積累經(jīng)驗(yàn).

(二)組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模活動,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.通過開展數(shù)學(xué)建?；顒?可以讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程,進(jìn)而體會數(shù)學(xué)建模的思想和方法.在數(shù)學(xué)建?；顒又?通過討論式的教學(xué)方法,讓學(xué)生參與到教學(xué)環(huán)節(jié)中,充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.

(三)從日常教學(xué)抓起,促進(jìn)學(xué)生的綜合發(fā)展.在教學(xué)中不斷引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)習(xí)、會思考、會應(yīng)用,能夠用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析和表示實(shí)際問題中的各種度量關(guān)系和位置關(guān)系,從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出數(shù)學(xué)信息并建立數(shù)學(xué)模型,進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題,使數(shù)學(xué)建模意識成為學(xué)生思考問題和解決問題的習(xí)慣,在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行主題式教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施,讓數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)真正落地.

四、結(jié)語

重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力已成為數(shù)學(xué)教育界的共識,在新課程改革的穩(wěn)步推進(jìn)中,數(shù)學(xué)建模將逐步成為數(shù)學(xué)教育者關(guān)注的重點(diǎn)議題.通過數(shù)學(xué)模型教學(xué)案例探析教學(xué)活動,學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)分析等幾個核心素養(yǎng)在模型建構(gòu)中也會有充分的體現(xiàn),應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識肯定能得到逐步增強(qiáng).可以說六大核心素養(yǎng)是蘊(yùn)含在模型建構(gòu)教學(xué)的整個過程中的,因此應(yīng)當(dāng)重視學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識,從而將學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實(shí)到位.