一道教材中“拓廣探索”題目的變式與探究

廣東省珠海市九洲中學(xué)(519015) 盧文彬

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)過(guò),提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更可貴,教師通過(guò)捕捉學(xué)生作業(yè)里創(chuàng)新學(xué)習(xí)生成的問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì),既能激發(fā)學(xué)生的大膽猜想,提高學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,讓數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)真正落實(shí),還能啟發(fā)教師對(duì)教材的深度鉆研,提高教師創(chuàng)新教育的專業(yè)素養(yǎng),下面就學(xué)生作業(yè)里提出的一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行案例分析.

一、提出問(wèn)題

例 1 如圖1,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC.求證：AE是∠DAB的平分線.(題目來(lái)源于2013人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上52頁(yè)第7題)

圖1

二、分析問(wèn)題

做幾何證明題,通常有兩種方法：從條件入手或者從結(jié)論入手,即綜合法及分析法.綜合法是指在推理的過(guò)程中,從已知開(kāi)始,一環(huán)扣一環(huán),最后導(dǎo)致所要證明的結(jié)論成立,即從已知看可知,逐漸靠攏未知的一種證明方法,此法是我們證題的常用方法.分析法是指從要證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直到推出一個(gè)正確的條件,如已知、定理、性質(zhì)等,即從未知看須知,逐漸靠攏已知,從而達(dá)到證明.

這道題目如果從條件入手可以發(fā)現(xiàn)：已知DE平分∠ADC,且∠C=90°,由此可以初步確定,要用角平分線的性質(zhì)(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)來(lái)做輔助線,這也和教材中對(duì)本題的提示相吻合,這是本題的解法一.

另外題目中有條件：∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),所以可以通過(guò)延長(zhǎng)AE或延長(zhǎng)DE,通過(guò)構(gòu)造全等三角形來(lái)證明,這也是對(duì)應(yīng)的解法二及解法三.

三、解決問(wèn)題

解法一(利用角平分線的性質(zhì)做垂線)

證明如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD,垂足是F.因?yàn)镈E平分∠ADC,且∠C=∠EFD=90°,所以CE=EF,又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),所以EB=EF.在 Rt△AEF和 Rt△AEB中,因?yàn)锳E=AE,EB=EF,所以△AEF～=△AEB(HL),所以∠BAE=∠FAE,即AE是∠DAB的平分線.

圖2

解法二(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段)

圖3

證明如圖3,延長(zhǎng)AE及DC,相交于點(diǎn)H.在△ABE和△HCE中,因?yàn)椤螧=∠ECH,∠BEA=∠CEH,CE=BC,所以△ABE～=△HCE(ASA),所以AE=HE,∠BAE=∠H.因?yàn)锳E=HE,DE平分∠ADH,所以△ADH是等腰三角形,所以∠DAE=∠H,又因?yàn)椤螧AE=∠H,所以∠DAE=∠BAE,即AE是∠DAB的平分線.

解法三(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段)

證明如圖4,延長(zhǎng)DE及AB,相交于點(diǎn)G.在△GBE和△DCE中,因?yàn)椤螱BE=∠C,∠BEG=∠DEC,CE=BC,所以△GBE～=△DCE(ASA),所以DE=GE,∠CDE=∠G,又因?yàn)镈E平分∠ADH,所以∠ADE=∠G,所以△ADG是等腰三角形,又因?yàn)镈E=GE,所以AE是∠DAB的平分線.

圖4

四、問(wèn)題變式

(一)條件變式

我們把此題的條件∠B=∠C=90°減弱為∠B+∠C=180°,再看看結(jié)論是否發(fā)生變化?

例2如圖5,∠B+∠C=180°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC.求證：AE是∠DAB的平分線.

圖5

分析例1中的第一種證法是利用角平分線的性質(zhì),因?yàn)楝F(xiàn)在不再有∠B=∠C=90°這個(gè)條件,以此解法一不再成立,但解法二和解法三因?yàn)橹簧婕暗饺?由此變化不大,以下有變動(dòng)的部分用紅色標(biāo)注.

解法二(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段)

圖6

證明如圖6,延長(zhǎng)AE及DC,相交于點(diǎn)H.因?yàn)椤螧+∠DCB=180°,又因?yàn)椤螮CH+∠DCB=180°,所以∠B=∠ECH.在△ABE和△HCE中,因?yàn)椤螧=∠ECH,∠BEA=∠CEH,CE=BC,所以△ABE～=△HCE(ASA),所以AE=HE,∠BAE=∠H.因?yàn)锳E=HE,DE平分∠ADH,所以△ADH是等腰三角形,所以∠DAE=∠H,又因?yàn)椤螧AE=∠H,所以∠DAE=∠BAE,即AE是∠DAB的平分線.

解法三(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段)

證明如圖7,延長(zhǎng)DE及AB,相交于點(diǎn)G.因?yàn)椤螩+∠CBA=180°,又因?yàn)椤螩BA+∠CBG=180°,所以∠CBG=∠C.在△GBE和△DCE中,因?yàn)椤螱BE=∠C,∠BEG=∠DEC,CE=BC,所以△GBE～=△DCE(ASA),所以DE=GE,∠CDE=∠G,又因?yàn)镈E平分∠ADH,所以∠ADE=∠G,所以△ADG是等腰三角形,又因?yàn)镈E=GE,所以AE是∠DAB的平分線.

反思減弱條件這種變形方式比較常見(jiàn),教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中按照這種方法改編題目,鼓勵(lì)學(xué)生自主探究,對(duì)提高學(xué)生的幾何水平幫助很大.此題變形后的解法二和解法三與原題的解法基本類似,區(qū)別主要來(lái)自一組角度相等的證明由例1直接告知變?yōu)槔?的間接證明,難度提升不大,但所蘊(yùn)含的“類比”思想很重要,應(yīng)掌握.另外,有學(xué)生可能使用截取線段,再證全等的方法用類似解法一來(lái)解答例2,大概解法如下：

解法一(利用角平分線的性質(zhì)截取線段證全等)

證明如圖8,在AD上截取DF=DC,在△DEF和△DEC中,因?yàn)镈F=DC,∠CDE=∠FDE,DE=DE,所以△DEF～=△DEC(SAS),所以CE=EF,又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),所以EB=EF.因?yàn)椤鱀EF～=△DEC所以∠C=∠DFE,又因?yàn)椤螪FE+∠AFE=180°且∠C+∠EBA=180°,所以∠EBA=∠EFA.在Rt△AEF和Rt△AEB中,因?yàn)锳E=AE,EB=EF,∠EBA=∠EFA,所以△AEF～=△AEB(???),所以∠BAE=∠FAE,即AE是∠DAB的平分線.

分析這種截取線段等于已知線段的方法很常見(jiàn),尤其證明“一條線段的長(zhǎng)等于另外兩條線段的長(zhǎng)”的時(shí)候,經(jīng)常會(huì)用截取的辦法,這是初中生要掌握的重點(diǎn)方法之一,能想到這種做法的學(xué)生是很不錯(cuò)的,應(yīng)當(dāng)給予鼓勵(lì),但證明過(guò)程中的錯(cuò)誤也很明顯,△AEF與△AEB全等的理由是SSA,不能判定全等.

反思雖然和例1相比,例2解法一證明全等的條件基本相同,但之所以例1可以證明△AEF與△AEB全等,是因?yàn)橹苯侨切蜨L這個(gè)判定,通過(guò)這種錯(cuò)誤解法的展示,既加深了學(xué)生對(duì)SSA及HL這兩種判定的比較,也加深了SSA這種錯(cuò)誤判定的認(rèn)識(shí).

(二)結(jié)論變式

其實(shí)在以上證明過(guò)程中,細(xì)心的讀者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)例1的三個(gè)條件不止能推出AE是∠DAB的平分線這一個(gè)結(jié)論,所以把原問(wèn)題的結(jié)論加強(qiáng)如下：

例3如圖9,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC.

圖9

求證：(1)AE是∠DAB的平分線；

(2)AD=AB+CD；

(3)AE⊥DE.

分析此題證明方法與原題類同,也對(duì)應(yīng)了三種做法,此處只說(shuō)明證法一,其他兩種證法略去.

解法一(利用角平分線的性質(zhì)做垂線)

證明如圖10,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD,垂足是F

圖10

(1)因?yàn)镈E平分∠ADC,且∠C=∠EFD=90°,所以CE=EF,又因?yàn)镋是BC的中點(diǎn),所以EB=EF.在Rt△AEF和Rt△AEB中,因?yàn)锳E=AE,EB=EF,所以△AEF～=△AEB(HL),所以AF=AB,∠BAE=∠FAE,即AE是∠DAB的平分線.

(2)在 Rt△DEF和 Rt△DEC中,因?yàn)镈E=DE,CE=EF,所以△DEF～=△DEC(HL),所以DF=DC,又因?yàn)锳F=AB,所以AD=AB+CD.

(3)因?yàn)椤鰽EF～=△AEB,所以∠AEB=∠AEF.因?yàn)椤鱀EF～=△EDC,所以∠DEF=∠DEC,又因?yàn)椤螦EB+∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°,所以∠AEF+∠DEF=90°,即AE⊥DE.

反思很多幾何題都可以通過(guò)增強(qiáng)結(jié)論的方法來(lái)深入探究,這是我們平時(shí)幾何教學(xué)中的重要補(bǔ)充,應(yīng)該予以重視.本變形題有例1和例2作鋪墊,想必第(2)(3)問(wèn)的證明并不難,建議在教學(xué)中把例3的條件減弱為∠B+∠C=180°再讓學(xué)生們嘗試.

(三)拓廣探索

把例2中點(diǎn)條件和結(jié)論編號(hào),并羅列如下：

圖8

1.∠B+∠C=180°；

2.E是BC的中點(diǎn)；

3.DE平分∠ADC；

4.AE平分∠DAB；

5.AD=AB+CD；

6.AE⊥DE.

思考是不是任意選擇三個(gè)作為條件,另外三個(gè)作為結(jié)論,均構(gòu)成真命題?

分析答案是肯定的.從六個(gè)里選擇三個(gè)共有20種情況,實(shí)際教學(xué)中可以鼓勵(lì)學(xué)生分組探究,在探究中,鼓勵(lì)學(xué)生參考已取得的證法及證明思路(目前有三類方法：利用角平分線的性質(zhì)做垂線；利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段；利用角平分線的性質(zhì)截取線段證全等),盡量自主研究,建議每組研究1-2種情況,最后讓學(xué)生代表上臺(tái)展示即可.這里羅列這20種情況,并給予簡(jiǎn)單證明：(標(biāo)紅的是使用了新的證法)

圖11

圖12

123已證.

124因?yàn)?與4有對(duì)稱性,故證法同123.

125如圖11,先證△DCE～=△GBE,再通過(guò)等腰△ADG三線合一的性質(zhì)來(lái)證明(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

126如圖11,先證△DCE～=△GBE,再用AE是DG垂直平分線的性質(zhì)來(lái)證明(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

134如圖11,先說(shuō)明△ADG是等腰三角形,再利用△ADG三線合一的性質(zhì)來(lái)證明(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

135如圖11,先說(shuō)明△ADG是等腰三角形,再證△DCE～=△GBE(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

136如圖11,先說(shuō)明△ADG是等腰三角形,再利用△ADG三線合一的性質(zhì)來(lái)證明(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

145類似于135(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

146類似于136(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

156如圖11,先證△DCE～=△GBE,再用AE是DG垂直平分線的性質(zhì)來(lái)證明(利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段).

234如圖11,構(gòu)造EG=ED,先證△DCE～=△BGE,再證ABG共線(利用中線的性質(zhì),延長(zhǎng)構(gòu)造全等,再證共線).

235如圖12,截取DF=DC,先證△DCE～=△GFE,再證△ABE～=△AFE(利用角平分線的性質(zhì)截取線段證全等).

236如圖11,構(gòu)造EG=ED,先證△DCE～=△BGE,再證ABG共線(利用中線的性質(zhì),延長(zhǎng)構(gòu)造全等,再證共線).

245類似于235.

256如圖11,截取AG=AD,先證△AEG～=△AED,先證△DCE～=△GBE(利用中線的性質(zhì),延長(zhǎng)構(gòu)造全等,再證共線).

345如圖12,截取DF=DC,先證△DCE～=△GFE,再證△ABE～=△AFE(利用角平分線的性質(zhì)截取線段證全等).

346如圖12,構(gòu)造∠DEF=∠DEC,先證△DCE～=△DFE,再證△ABE～=△AFE(利用等角的余角相等這個(gè)性質(zhì),構(gòu)造全等).

356類似于456.

456如圖11,截取AG=AD,先證△AEG～=△AED,先證△DCE～=△GBE.

以上證明中涉及到“構(gòu)造全等,然后證明共線”這種新的方法,下面以256為例,闡述這種方法.

例4如圖13,E是BC的中點(diǎn),AD=AB+CD,AE⊥DE.

求證：(1)∠B+∠C=180°；

(2)DE平分∠ADC；

(3)AE平分∠DAB.

解法一(利用中線的性質(zhì),延長(zhǎng)構(gòu)造全等,再證共線)

證明如圖13,延長(zhǎng)DE到G,使DE=EG,連BG,AG.

(1)在△DEC和△GEB中,因?yàn)镈E=EG,CE=BE,∠BEG=∠CED,所以△AEF～=△AEB(SAS),所以DE=EG,又因?yàn)锳E=AE,∠AEG=∠AED=90°,所以△AEG～=△AED(SAS),所以AG=AD,又因?yàn)锳D=AB+CD,所以AG=AB+CD,又因?yàn)锽G=CD,所以AG=AB+BG,即A、B、G共線.

下略.

圖13

反思通過(guò)對(duì)拓廣探索部分20個(gè)命題的研究,此題已經(jīng)研究得很透徹了,其中涉及的解法大概有四類：利用角平分線的性質(zhì)做垂線；利用平行線的性質(zhì)延長(zhǎng)線段；利用角平分線的性質(zhì)截取線段證全等；中線延長(zhǎng)構(gòu)造全等類.涉及的知識(shí)點(diǎn)有：平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和判定、垂直平分線的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定等,幾乎涵蓋了七八年級(jí)學(xué)過(guò)的所有幾何知識(shí).通過(guò)這一道題目及其變式的研究,復(fù)習(xí)了初中階段學(xué)習(xí)的所有幾何知識(shí),證明過(guò)程中應(yīng)用了各種常見(jiàn)的證明方法,這說(shuō)明本次探究及變形是有意義的.

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,通過(guò)減弱條件、增強(qiáng)結(jié)論、條件結(jié)論互換等方式改編題目,得到變式,通過(guò)充分研究變式,能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深層次的思維狀態(tài),進(jìn)而探尋解題策略,培養(yǎng)學(xué)生形成解后反思的良好思維習(xí)慣,使解題規(guī)律化、系統(tǒng)化,以達(dá)到觸類旁通的效果.