幾何畫板與數(shù)學(xué)知識(shí)生成的結(jié)合的實(shí)踐與思考*—以《圓周角(第1課)》教學(xué)為例

廣東省中山市坦洲中學(xué)(528467) 郭日康

開展幾何畫板與數(shù)學(xué)知識(shí)生成的融合的教學(xué),有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣,揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系,暴露知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程,從而優(yōu)化教學(xué)過程,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)及提高學(xué)生的綜合素質(zhì),它也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的重要途徑.2018年3月,筆者應(yīng)邀參加順德區(qū)鳳城中學(xué)進(jìn)行教學(xué)研討活動(dòng),以《圓周角(第1課)》為內(nèi)容,執(zhí)教了一節(jié)公開課.現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄與思考整理成文,談?wù)剮缀萎嫲迮c數(shù)學(xué)知識(shí)生成融合的實(shí)踐與思考.

一、教學(xué)實(shí)錄

教學(xué)活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情景,圓周角從哪里來?

師：前面我們學(xué)習(xí)了圓心角,請(qǐng)同學(xué)們?cè)趫D1中,畫出一個(gè)圓心角.

生：(學(xué)生動(dòng)手在導(dǎo)學(xué)案上畫圓心角)

師：誰能根據(jù)你畫出的圖說一說圓心角的概念?

生：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.

師：誰來說說圓心角的有關(guān)性質(zhì)?

生：在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

點(diǎn)評(píng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),面向全體學(xué)生,為下面學(xué)習(xí)圓周角作鋪墊.

師：如果將圖2中的圓心角∠BOC的頂點(diǎn)移動(dòng),改變頂點(diǎn)O的位置,那O的位置有哪些可能性呢?

圖1

圖2

圖3

生：O可以在圓內(nèi)、圓上、圓外.

師：(幾何畫板演示),拖動(dòng)點(diǎn)O,改變O的位置,如圖3所示,O可以在圓內(nèi),圓上,圓外.如果讓你們研究這些角,你們打算研究哪一種?

生：頂點(diǎn)在圓周上的角是這三類中最為特殊的角,所以我覺得先研究它.

師：我們研究一個(gè)新的圖形正常從哪些方面來研究?

生：我們先研究圖形的概念,再研究圖形的判定與性質(zhì),最后是性質(zhì)與判定的應(yīng)用.

點(diǎn)評(píng)沒有以告知的形式告訴學(xué)生要研究什么,而是讓學(xué)生以已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)判斷需要研究什么,怎樣研究,這里不僅關(guān)注知識(shí)的傳授,更關(guān)注思想方法的滲透,關(guān)注學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力的培養(yǎng).

師：你們能為這些角起個(gè)名字嗎?

生：頂點(diǎn)在圓周上的角叫圓心角,頂點(diǎn)在圓周上我們可以叫圓周角.

師：那什么叫做圓周角?

生：頂點(diǎn)在圓周上的角叫圓周角.

師：他表達(dá)的準(zhǔn)確嗎?請(qǐng)同學(xué)比較下面幾個(gè)角,它們都是圓周角嗎?

生：不是,第2個(gè)圖是圓周角,其余的都不是.

師：為什么?它們有什么區(qū)別?

生：其余的角要么邊不在圓里面,沒有與圓相交,要么頂點(diǎn)不在圓上.

師：那我們一起總結(jié)什么是圓周角

生：頂點(diǎn)在圓上并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.

點(diǎn)評(píng)教師沒有直接糾正學(xué)生所說圓周角的概念,而是通過比較讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題,有效的培養(yǎng)學(xué)生觀察歸納能力及語言表達(dá)能力.

師：圓周角,顧名思義,自然與圓有關(guān),與圓有怎樣的關(guān)聯(lián)呢?接下來請(qǐng)你畫一畫,如圖4,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角,并與同學(xué)們交流.

圖4

生：弧AB所對(duì)的圓心角只有1個(gè),而弧AB所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè).

師：(利用幾何畫板)如圖5,拖動(dòng)點(diǎn)C至D、E等不同位置,我們可以發(fā)現(xiàn)弧AB所對(duì)的圓周角有無數(shù)個(gè).

圖5

圖6

師：(總結(jié))至此如圖6,我們得知：在圓上,一個(gè)圓周角對(duì)應(yīng)圓上一條弧,圓上一條弧對(duì)應(yīng)著無數(shù)個(gè)圓周角.圓周角不是來自于圓心角,但它的兩邊在圓上所夾的一段弧與所對(duì)的圓心角有聯(lián)系,因此圓周角與它所對(duì)的弧有關(guān),是圓上的一條“弧”維系著圓心角的“一”與圓周角的“多”．可以說,圓周角、圓心角都與它們所對(duì)的弧有聯(lián)系,圓周角因圓而產(chǎn)生,它來源于圓中的“弧”.

點(diǎn)評(píng)圓周角與它所對(duì)的弧有關(guān),是圓上的一條“弧”維系著圓心角的“一”與圓周角的“多”．這讓學(xué)生明白圓周角從那里來,也為后面的為什么圓上同一條弧所對(duì)的無數(shù)個(gè)圓周角彼此相等作鋪墊.

教學(xué)活動(dòng)2類比聯(lián)想,圓周角定理的發(fā)現(xiàn).

師：如圖7,請(qǐng)大家在學(xué)案上量一量∠C=___,∠D=___,∠E=____,你有何發(fā)現(xiàn)呢?

圖7

生：圓周角的度數(shù)都相等,都等于40°.

師：猜想：弧AB是所對(duì)的每一個(gè)圓周角是否都相等?

生：圓周角的度數(shù)都相等

師：(利用幾何畫板)如圖8,拖動(dòng)點(diǎn)C至D、E等不同位置,度量∠C、∠D、∠E,我們發(fā)現(xiàn)它們均為40°,由此我們得到弧AB是所對(duì)的每一個(gè)圓周角都相等.

圖8

師：圓上同一條弧所對(duì)的無數(shù)個(gè)圓周角彼此相等的原因可能是?

生：(思考后)它們都以這條弧AB作為底.

師：那么,這條弧又與什么有聯(lián)系呢?

生：(思考后)這條弧還與它所對(duì)的圓心角有聯(lián)系,也就是圓周角與同弧所對(duì)圓心角有聯(lián)系.

師：非常棒!請(qǐng)你猜想：弧AB是所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系?

生：(度量后)我發(fā)現(xiàn)∠AOB=80°,由此得到弧AB是所對(duì)的圓周角是圓心角的一半.

師：(利用幾何畫板)下面我們?cè)趲缀萎嫲逯卸攘俊螦OB,得到∠AOB=80°,由此可驗(yàn)證同學(xué)們的猜想.

師：(利用幾何畫板)下面我們?cè)趲缀萎嫲逯懈淖兓B的大小,然后再度量∠AOB與角∠ACB,我們同樣得到∠ACB=∠AOB,由此進(jìn)一步驗(yàn)證同學(xué)們的猜想.

師：(總結(jié))圓周角與圓心角是通過這條弧AB取得聯(lián)系．形象地說,這條弧就像一座“橋”,圓周角與圓心角可以在這座“橋”上來回走動(dòng),弧就是它們彼此聯(lián)系的“結(jié)點(diǎn)”.

點(diǎn)評(píng) 至此,讓學(xué)生明晰圓上同一條弧所對(duì)的無數(shù)個(gè)圓周角彼此相等的原因,它們都弧為聯(lián)系的載體,清晰地表述它們之間的邏輯關(guān)系.讓知識(shí)的生成更加自然與流暢.

教學(xué)活動(dòng)3合作探究,圓周角定理的推證.

師：對(duì)于剛才我們的發(fā)現(xiàn)：同弧所對(duì)的圓周角相等,等于該弧所對(duì)圓心角的一半.對(duì)這兩個(gè)猜想,是先證“同弧所對(duì)的圓周角相等”?還是先證“同弧所對(duì)的圓周角都等于該弧所對(duì)圓心角的一半”?

生：“同弧所對(duì)的圓周角都等于該弧所對(duì)圓心角的一半”成立時(shí),命題“同弧所對(duì)的圓周角相等”就一定成立,所以還是先證命題“同弧所對(duì)的圓周角都等于該弧所對(duì)圓心角的一半”成立．

師：有這么多的圓周角,怎樣來證明呢?可以用什么思想方法來研究?

生：分類討論思想!

師：如何對(duì)這么多的圓周角進(jìn)行分類?

生：(沉默思考,困惑)

師：請(qǐng)同學(xué)們思考同一條弧所對(duì)的圓周角與圓心角的位置關(guān)系?可分成幾種情況?用什么分類標(biāo)準(zhǔn)對(duì)它進(jìn)行分類?

生：可以分為三類,圓心在角的邊上,圓心在角的內(nèi)部,圓心在角的外部.(相當(dāng)部分學(xué)生仍困惑)

師：(利用幾何畫板),如圖9,當(dāng)移動(dòng)圓周角的頂點(diǎn)時(shí),就出現(xiàn)了圓心與圓周角的三種位置關(guān)系—圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部．

圖9

生：豁然開朗!

師：你們準(zhǔn)備先研究哪一類?

生：先研究圓心在圓周角的邊上的!因?yàn)樗钐厥?

點(diǎn)評(píng)與活動(dòng)2類似,教師一步一步的引導(dǎo)學(xué)生研究問題,先讓學(xué)生動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)問題,再大膽的猜想,最后嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那笞C.

師：如圖10,誰來為大家展示證明：∠ACB=∠AOB?

生：因?yàn)椤螦OB是△AOC的外角,所以∠AOB=∠ACB+∠OAC.因?yàn)镺A=OC,所以∠ACB=∠OAC,所以∠AOB=2∠ACB,所以∠ACB=∠AOB.

圖10

師：另外兩類怎樣解決呢?以小組為單位,1至3組研究圓心在角的內(nèi)部的.4至6組研究圓心在角的外部的.

生：(學(xué)生推證)

師：(適當(dāng)指導(dǎo))在數(shù)學(xué)證明中,我們通常將未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知(或已學(xué)過)的來進(jìn)行證明.像圓心在角的內(nèi)部的這種情況,我們能否將其轉(zhuǎn)化為剛才的第一種情況進(jìn)行證明?

生：在圖11中,若過圓周角∠ACB的頂點(diǎn)C作⊙O的直徑CD,圓心角∠AOB是以△AOC與△BOC兩個(gè)三角形的外角身份出現(xiàn)的,此時(shí)圓周角∠ACB被分成的兩個(gè)角也恰好分別是△AOC與△BOC的一個(gè)內(nèi)角,因此可以利用“和”的辦法來完成“∠AOB=2∠ACB”的證明．證明如下：(具體證明過程略)

圖11

師：如何證明第三種情況呢?在第三種情況中,該如何創(chuàng)造“圓心角∠AOB是一個(gè)三角形的外角身份、圓周角∠ACB恰好為這個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角身份”條件呢?

圖12

生：在圖12中,過圓周角∠ACB頂點(diǎn)C作⊙O的直徑CD．因?yàn)椤螧OD是△BOC的外角,所以∠BOD=∠DCB+∠OBC.因?yàn)镺B=OC,所以∠DCB=∠OBC,所以∠BOD=2∠DCB.因?yàn)椤螦OD是△AOC的外角,所以∠AOD=∠OAC+∠OCA.因?yàn)镺A=OC,所以∠OAC=∠OCA,所以∠AOD=2∠OCA,所以∠AOB=∠BOD-∠AOD=2(∠DCB-∠DCA)=2∠ACB,所以∠ACB=∠AOB.

師：還可有其它的證法嗎?

圖13

生：還可從“內(nèi)角”方面著手,另辟溪徑,同樣可將問題化解.如圖13,連AB和OC,因?yàn)椤螦OB=180°-∠OBA-∠OAC-∠BAC,∠ACB=180°-∠OBA-∠OBC-∠BAC,又因?yàn)镺B=OC,∠OBC=∠OCB,∠ACB=180°-∠OBA-(∠ACB+∠ACO)-∠BAC=180°-∠OBA-∠ACB-∠ACO-∠BAC,所以2∠ACB=180°-∠OBA-∠OAC-∠BAC=∠AOB.

師：非常棒!我們已經(jīng)驗(yàn)證了猜想“同弧(或等弧)所對(duì)的圓周角相等,等于該弧所對(duì)圓心角的一半”是正確的.回顧我們的探索過程,你有些什么收獲?

生：我們研究問題可以先特殊再一般,如果有無限個(gè),可以找一找共同特征將它們分類,化成有限個(gè).

生：圓周角性質(zhì)的證明中,將一般向特殊轉(zhuǎn)化.

生：我們研究幾何圖形的問題一般由：“概念–判定–性質(zhì)–應(yīng)用”的過程.

生：在證明或解決新問題時(shí),我們要通常將其轉(zhuǎn)化化歸為已學(xué)過的問題或知識(shí)來解決.

師：非常棒!從特殊到一般,是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要思想方法.與此同時(shí),當(dāng)情況有多種時(shí),我們要懂得將其分類,這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分類討論思想.更重要的是,我們要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化化歸,將新問題化歸為已學(xué)過的問題或知識(shí)來解決.

點(diǎn)評(píng)活動(dòng)3借助幾何畫板,教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊入手,一般轉(zhuǎn)化為特殊．在轉(zhuǎn)化過程中,僅僅抓住圓周角與圓心角的“身份”,特別是圓心角在不同情形中“身份”的變化,圓心角“身份”變化的“宗”就是它始終是一個(gè)三角形的外角．歸納推理的本質(zhì)是：從經(jīng)驗(yàn)過的數(shù)學(xué)結(jié)果推斷未曾經(jīng)驗(yàn)過的數(shù)學(xué)結(jié)果的可能性,再借助推理驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果的必然性.

教學(xué)活動(dòng)4認(rèn)知內(nèi)化,圓周角定理的應(yīng)用.

練習(xí)1 如圖14,點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上,∠ADC=∠BDC=60°.判斷△ABC的形狀,并說明理由.

圖14

練習(xí)2 如圖15,OA、OB、OC都是⊙O的半徑,∠AOB=2∠BOC,∠ACB與∠BAC的大小有什么關(guān)系?為什么?

圖15

二、幾點(diǎn)感悟

1．關(guān)注概念的獲得過程.

心理學(xué)研究成果表明,概念獲得方式主要有兩種：概念的同化、概念的形成．?dāng)?shù)學(xué)概念的教學(xué)要經(jīng)歷“具體–抽象–具體”的認(rèn)識(shí)過程,即“概念的外延分類–概念內(nèi)涵的歸納、概括–概念的外延辨析”的認(rèn)識(shí)過程,教學(xué)設(shè)計(jì)中要從具體的角的分類和辨析,歸納得到圓周角的內(nèi)涵,再通過具體圓周角的辨析,完成概念的同化和形成過程．于本節(jié)課而言,明確圓周角從那里來尤為重要.

章建躍博士指出,“明數(shù)學(xué)之道,方能優(yōu)教學(xué)之術(shù)”.圓周角首先是一個(gè)角,它有一個(gè)頂點(diǎn)、兩條射線．圓周角,顧名思義,自然與圓有關(guān),與圓有怎樣的關(guān)聯(lián)呢?我們?cè)谝龑?dǎo)的時(shí)候要強(qiáng)調(diào)或解釋的內(nèi)容要點(diǎn)有：圓周角的頂點(diǎn)一定在圓上、并且兩邊一定要截一段弧；在圓上,一個(gè)圓周角對(duì)應(yīng)圓上一條弧,圓上一條弧對(duì)應(yīng)著無數(shù)個(gè)圓周角.圓周角不是來自于圓心角,但它的兩邊在圓上所夾的一段弧與所對(duì)的圓心角有聯(lián)系,因此圓周角與它所對(duì)的弧有關(guān),是圓上的一條“弧”維系著圓心角的“一”與圓周角的“多”．可以說,圓周角、圓心角都與它們所對(duì)的弧有聯(lián)系,圓周角因圓而產(chǎn)生,它來源于圓中的“弧”．

在課堂中,教師利用幾何畫板,讓圖形由原來的“不動(dòng)”變成了“多動(dòng)”,學(xué)生真真實(shí)實(shí)地經(jīng)歷了觀察、猜測、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)．彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)中獲得方式的不足,極大地豐富了學(xué)生獲取知識(shí)的途徑.

2．突出圖形性質(zhì)探究中的思維過程.

幾何探究的核心價(jià)值的實(shí)現(xiàn)需要通過具體問題的探究任務(wù)來引導(dǎo)學(xué)生的探究活動(dòng),并使學(xué)生的幾何直觀和推理能力(數(shù)學(xué)思維)得到發(fā)展．在圓周角性質(zhì)的探究過程中,通過從特殊到一般的過程獲得性質(zhì),再通過演繹推理證明性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生直覺思維和邏輯思維能力,符合幾何學(xué)習(xí)的一般規(guī)律,突出思維過程．在教學(xué)中,教師利用幾何畫板度量∠AOB,得到∠AOB=80°,由此可驗(yàn)證同學(xué)們的猜想.并將其從特殊到一般,在幾何畫板中改變弧AB的大小,然后再度量∠AOB與角∠ACB,我們同樣得到∠ACB=∠AOB,由此進(jìn)一步驗(yàn)證同學(xué)們的猜想.

3．?dāng)?shù)學(xué)思想的滲透要符合學(xué)生的認(rèn)知生成過程.

在圖形性質(zhì)的探究過程中,滲透特殊到一般、分類討論、化歸等基本數(shù)學(xué)思想,要讓學(xué)生在具體的探究活動(dòng)中體驗(yàn)和反思,形成自覺運(yùn)用這些思想方法的習(xí)慣和能力,要符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律,不能將思想方法的運(yùn)用直接拋給學(xué)生,而忽視學(xué)生的認(rèn)知過程．在圓周角性質(zhì)的探究中,若直接告知學(xué)生分成三種類型,學(xué)生不理解要為什么要如此分?為什么首先研究最特殊的情形?用思維的結(jié)果代替思維過程,不符合學(xué)生的認(rèn)知過程；通過對(duì)各種圖形進(jìn)行分析,自主選擇研究(當(dāng)然也可以首先研究最特殊情形),反思研究的幾種類型,學(xué)生感悟到分成三種類型是必要的,明確分類的標(biāo)準(zhǔn)和方法,完成性質(zhì)定理的探究和證明,符合學(xué)生的“認(rèn)知生成過程”．本課中,教師利用幾何畫板,當(dāng)移動(dòng)圓周角的頂點(diǎn)時(shí),就出現(xiàn)了圓心與圓周角的三種位置關(guān)系—圓心在圓周角的一邊上、圓心在圓周角的內(nèi)部、圓心在圓周角的外部．較好地突破將無數(shù)個(gè)圓周解分成三種位置類型這一難點(diǎn),為證明作好鋪墊.

4.幾何畫板輔助教學(xué)要找準(zhǔn)切入點(diǎn),切忌花俏.

“教之道在于度,學(xué)之道在于悟”.幾何畫板的輔助教學(xué)如何引導(dǎo),何時(shí)介入,介入多少,這里便有個(gè)“度”的問題,要處理好這個(gè)“度”的問題關(guān)鍵是找準(zhǔn)切入點(diǎn).幾何畫板與數(shù)學(xué)課程的整合應(yīng)整合在關(guān)鍵處,如難點(diǎn)的突破、認(rèn)知的沖突、規(guī)律的生成以及數(shù)學(xué)思想方法的呈現(xiàn)等.

同時(shí),在課件的設(shè)計(jì)上切忌花俏,幾何畫板輔助教學(xué)不是功能展示課,課件的制作過于華麗、花俏,容易分散學(xué)生的課堂注意力,幾何畫板的輔助教學(xué)應(yīng)在是否體現(xiàn)新的教學(xué)思想；是否體現(xiàn)新的數(shù)學(xué)思想；是否更簡單直接突破教學(xué)的重、難點(diǎn)上下功夫.

另外要注意的是在教學(xué)中,能用黑板或其它教具講清楚的問題,不一定要用多媒體,特別是例題或習(xí)題講解時(shí),切忌用多媒體,要注意黑板的板書,因?yàn)榘鍟前阉季S過程呈現(xiàn)給學(xué)生的一個(gè)重要載體.