2018年全國Ⅰ卷理科解幾題研究

江蘇省揚(yáng)州中學(xué) (225009)

戚有建 王 晨

很多高考題看起來很平常，實(shí)際上卻豐富多彩，都是專家經(jīng)過精心思考編制出來的，所以有很大的教學(xué)價(jià)值和研究空間，本文從一道高考解幾題出發(fā)，首先對問題進(jìn)行了一般化研究、然后對問題進(jìn)行類比和逆向研究、最后揭示了問題的深刻背景并進(jìn)行推廣．

一、考題展示

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AN的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠ONA=∠ONB.

綜上得∠ONA=∠ONB.

二、一般化研究

圖1

綜上得kAN+kBN=0.

圖2

說明:(1)命題1中規(guī)定了|m|a時(shí)(如圖2)也成立；

(2)此結(jié)論對圓也成立，因?yàn)閳A可以看作是橢圓的特殊情況.

三、類比研究

既然橢圓有這樣的結(jié)論，那么雙曲線、拋物線也會有類似的結(jié)論.

命題3 已知拋物線y2=2px(p>0)及M(m,0),N(-m,0)(其中m≠0)，過點(diǎn)M的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN,BN的斜率分別為kAN,kBN，則kAN+kBN=0.

說明:2015年新課標(biāo)全國Ⅰ卷理科20題就是由命題3改編而來

四、逆向研究

命題6 已知拋物線y2=2px(p>0)及N(m,0)(其中m≠0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A,B，若kAN+kBN=0，則直線l過定點(diǎn)M(-m,0).

五、背景研究

在命題1中，有xM·xN=a2，這是偶然還是必然呢？其實(shí)是必然，研究后發(fā)現(xiàn)本題有豐富的背景，它與極點(diǎn)極線知識有關(guān)，實(shí)際上，關(guān)于極點(diǎn)極線有如下兩個(gè)常用結(jié)論：

(1)如圖3，設(shè)P為不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P引兩條割線交圓錐曲線于E,F,G,H，設(shè)EG,FH交于M，EH,FG交于N，則稱MN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線，同理，稱PN為點(diǎn)M對應(yīng)的極線，PM為點(diǎn)N對應(yīng)的

圖3

極線.

圖4

六、推廣研究

圖5

綜上得kAN+kBN=2kMN.

命題9 已知拋物線y2=2px,(p>0)及M(m,0),N(-m,n)(其中m≠0)，過點(diǎn)M的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線AN,BN,MN的斜率分別為kAN,kBN,kMN，則kAN+kBN=2kMN.