“圓”來如此話橢圓
——例談伸縮變換在解決橢圓問題中的應用

江蘇省蘇州實驗中學 (215009)

張文海

蘇教版高中數(shù)學教材選修系列4-2中專題“矩陣與變換”向?qū)W生介紹了圖形變換和數(shù)學表示之間的緊密聯(lián)系，同時揭示了變換前后幾何圖形的相關(guān)性．利用伸縮變換解決一些幾何題目，以較高的觀點來研究初等幾何，可以使問題變得更加簡潔，透徹，尤其在解決橢圓的某些綜合問題時，可以利用伸縮變換的辦法，把橢圓變換為圓，再利用圓良好的幾何性質(zhì)來進行研究，會使得問題的解決過程變得簡化．在利用伸縮變換解決相關(guān)問題時，主要利用以下幾個性質(zhì)：

性質(zhì)1 直線與曲線的位置關(guān)系保持不變；

性質(zhì)3 若直線l和直線m平行，則變換后的直線l′與直線m′仍然平行；

性質(zhì)5 設ΔABC在變換后變成ΔA′B′C′，則SΔA′B′C′=λμSΔABC．

一、利用伸縮變換研究直線與曲線的位置關(guān)系問題

(1)求橢圓C1的方程；

(2)若動點P(x0,y0)為橢圓外一點，且點P到橢圓的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

分析：求動點的軌跡方程，通法是設出動點P的坐標P(x0,y0)，尋求x0與y0之間的關(guān)系式．本題(2)問抓住直線和橢圓相切這個條件，先利用點斜式(先研究切線斜率存在的情形，再將斜率不存在的特殊情形補充說明)設出直線方程，然后把它和橢圓方程聯(lián)立，利用方程有等根建立x0、y0與k之間的關(guān)系式，最后整理成關(guān)于k的方程．因為兩條切線垂直，由韋達定理可得k1k2=-1，從而可求得動點的軌跡方程．

說明：遇到直線和橢圓相切的問題時，基本思路是將切線方程和橢圓方程聯(lián)立組成方程組，利用判別式△=0處理.而利用伸縮變換，可將問題轉(zhuǎn)化為研究直線和圓相切的問題，利用幾何法圓心到切線的距離等于半徑處理，有效地避免直線和橢圓聯(lián)立消元的復雜運算，簡化了運算過程，給人以一種“撥開云霧見月明”的感覺．本題實際上是一個“蒙日圓”問題，有興趣的同學可以把這個問題推廣到一般情形，動點P的軌跡方程為x2+y2=a2.

二、利用伸縮變換處理弦長問題

例2 如圖1，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1,C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A,B,C,D．

(2)當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由．

圖1 圖2

分析：本題(1)問設出直線l的方程，代入橢圓C1,C2的方程，求出點A,B的縱坐標即可；(2)問可先把直線和橢圓方程聯(lián)立，表征出點A,B坐標，根據(jù)直線平行斜率相等，建立離心率這個目標，通過研究函數(shù)的值域求解．

說明：本題(2)問若用傳統(tǒng)解法雖然目標很明確，直線平行斜率相等，但點A，B坐標的表征較為復雜，導致離心率的建構(gòu)不夠清晰，進而使得問題的解決困難重重．而通過伸縮變換將橢圓化為圓以后，點A，B重合在同一個圓上，使得坐標表征更為簡潔方便，目標的建構(gòu)也更為清晰．

三、利用伸縮變換研究面積問題

圖3 圖4

說明：凡涉及到直線與橢圓相交的問題，均可將橢圓通過伸縮變換化為圓，從而轉(zhuǎn)為研究直線與圓的相交問題，進一步利用圓良好的幾何特性，達到事半功倍的效果．

四、利用伸縮變換處理垂直問題

(1)當直線PA平分線段MN時，求k的值；

(2)當k=2時，求點P到直線AB的距離d；

(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB.

圖5 圖6

說明：要證橢圓中PA⊥PB，只需探究它們斜率之間的關(guān)系，而其中PB的斜率比較難求，將橢圓變換為圓后，可探究圓中P1A1、P1B1之間斜率的關(guān)系．在圓中直徑所對的圓周角為π，可利用A1B1的斜率很快求出P1B1的斜率，從而問題得到簡化與解決．

從以上的例題可知，橢圓中的定點、定值、垂直、弦長、面積等問題，可以先在圓上進行研究，得到一個正確的結(jié)論后，再通過變換得到橢圓上與之相對應的結(jié)論．或?qū)A的一些熟知的結(jié)論類比到橢圓上，再進行深入的研究，得到橢圓的一個正確的結(jié)論，然后進行加工、改編，形成一道適合學生進行知識鞏固、方法訓練、能力測試、選拔考試的試題．這也是命題中常用的一種有效方法之一．