突破函數(shù)壓軸題的瓶頸
——如何選擇ex、lnx、sinx結(jié)合的綜合題處理方法

江蘇省吳縣中學(xué) (215151)

唐俊濤

高考函數(shù)的壓軸題往往是以ex,lnx,sinx做為載體，命題者對這類型的函數(shù)“情有獨鐘”，幾乎年年各地的高考試卷中都會出現(xiàn).若題目將它們結(jié)合在一起，那就更具靈活性，這對解題者的數(shù)學(xué)技能及數(shù)學(xué)抽象等要求將更高.所以這樣的函數(shù)題就成了數(shù)學(xué)高考的難點及熱點.本文通過幾種常見處理該類題目的方法進行總結(jié)，希望對大家有所幫助，同時也希望得到各位專家同仁的指導(dǎo).

一、整體“討論”，正面求解

本題屬于常規(guī)題型，學(xué)生在解題過程中只需牢記導(dǎo)數(shù)用于處理函數(shù)單調(diào)性的方式方法即可：

(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)該令函數(shù)導(dǎo)數(shù)f′(x)>0(增區(qū)間)或f′(x)<0(減區(qū)間)；

(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則應(yīng)該滿足f′(x)≥0(≤0)在給定區(qū)間恒成立來處理解決.

例2 已知函數(shù)f(x)=xlnx-aex有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

點評：這兩題的切入口都較為簡單，直接從正面分析后就能得到解題思路，例1將問題最終轉(zhuǎn)化為了二次函數(shù)恒成立問題，而例2從正面求導(dǎo)運算后，在判斷導(dǎo)數(shù)為零的方程時遇到困難，但是通過分析思考后，可將原來的導(dǎo)函數(shù)進行“分離參數(shù)”，而后判斷兩個函數(shù)圖像的交點個數(shù)來解決此類問題，這兩題都屬于常規(guī)直接正面解決的問題.

二、分開“判斷”，雙管齊下

例4 已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.

(1)對一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；

解析：(1)分離參數(shù)，構(gòu)成新函數(shù)，然后通過對新函數(shù)求最值來求解；

三、分離參數(shù)，極端原理

利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要確立研究函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；當(dāng)然也可以分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用“極端原則”，直接把問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值問題.

在解此類型題目的時候，我們一般是分三個步驟：一是分離參數(shù)，得到a≥f(x)或a≤f(x)；二是求函數(shù)f(x)的最值，得到f(x)max或f(x)min；三是極端原理，即a≥f(x)max或a≤f(x)min.由于第一步分離參數(shù)后，就不用再擔(dān)心不等式左右的x不一致了.

四、切線“放縮”，層層遞進

由于ex,lnx的存在使得函數(shù)很難進行處理，所以我們有時也可以利用“切線”不等式(ex≥x+1(x=0取等號)，lnx≤x-1(x=1取等號),sinx≤x(x=0取等號)),從而將函數(shù)或不等式中的ex,lnx,sinx都變?yōu)榱烁菀滋幚淼囊淮魏瘮?shù)，讓問題的處理出現(xiàn)了“柳暗花明又一村”的境界，讓解題過程簡潔明了.

例6 函數(shù)f(x)=xex-a(lnx+x).(1)略；(2)若對任意x>0恒有不等式f(x)>1成立.①求實數(shù)a的值；②證明：x2ex>(x+2)lnx+2sinx.

解析：(1)略；(2)a=1；②要證明x2ex>(x+2)lnx+2sinx，只需要證明x2ex-(x+2)lnx-2sinx>0,因為x>0,所以ex>x+1,lnx≤x-1,sinx(x+2)lnx+2sinx.

這題的處理就是借助于三個常見的“切線”不等式(ex≥x+1(x=0取等號)，lnx≤x-1(x=1取等號),sinx≤x(x=0取等號),擺脫了ex、lnx、sinx這樣復(fù)雜的混合式，將復(fù)雜的不等式轉(zhuǎn)變?yōu)槲覀儤O其熟悉的三次不等式，最終完美簡答，這樣的題目思考的過程是“痛苦”的，但是結(jié)果是順暢的，也讓人感覺了數(shù)學(xué)的奇妙性.

例7 已知函數(shù)f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2.求證：當(dāng)m≥1時，f(x)>g(x)-x3.

解析：f(x)>g(x)-x3等價于ex+m-ln(x+1)-2>0.由于m≥1，所以上式只要證明ex+1-ln(x+1)-2>0即可，有切線不等式ex+1≥x+2,又可以將上述不等式轉(zhuǎn)化為：證明x+2-ln(x+1)-2>0,即只需證明x-ln(x+1)>0.下面就比較簡單了.

五、運用“圖像”，數(shù)形結(jié)合

圖1

解析：本題的入手應(yīng)該比較明朗，通過兩個函數(shù)圖像交點最終求零點范圍問題，在作函數(shù)f(x)的圖像時，如圖1，首先先畫x≥0的圖像，y=

可見本題的關(guān)鍵就是在于圖像，而圖像中需要注意的是那些漸近線.數(shù)形結(jié)合是高中階段重要的思想方法，學(xué)生可以通過轉(zhuǎn)化化歸的方法將陌生的函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的函數(shù)，然后在利用熟悉函數(shù)的圖像對現(xiàn)有的問題進行觀察思考，從而尋求解題的途徑，雖然圖像法不能直接應(yīng)用在解答題中，但是填空題中還是可以借助圖像來解決問題的，當(dāng)然圖像法也可以幫助我們對問題進行思考分析.

六、構(gòu)造“函數(shù)”，順流而下

例10 已知函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a(a∈R),e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)①若存在實數(shù)x，滿足f(x)<0，求實數(shù)a的取值范圍；②若有且只有唯一整數(shù)x0，滿足f(x0)<0，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：在證明不等式時，通常需要根據(jù)不等式的特點將已知不等式進行適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題，此類問題變化多，思路廣，但是核心點在于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造的新函數(shù)需要是熟悉常見的，方便下一步的處理.

壓軸題由于位置的特殊性，解題時往往需要用到對稱分析、結(jié)構(gòu)分析、圖形化、數(shù)學(xué)技巧、思想等等.教師在評講練習(xí)時，由于事先已經(jīng)做好準(zhǔn)備，進行了思考分析，所以講解后學(xué)生總認(rèn)為解題的解法是一種必然的結(jié)果.但是學(xué)生自己處理問題時總覺得無從下手，像“無頭蒼蠅到處亂撞”.所以筆者認(rèn)為解題時應(yīng)該注意解題的感覺，少談一些原則，解題最好的辦法就是探索，提高解題能力的捷徑是反思總結(jié).學(xué)生經(jīng)常反映：“做了很多的題目，解題能力為何并沒有提升？”這多半可能是沒有做好及時的總結(jié)，做完一道有難度的題目，一定要回顧一遍，弄清：解本題需要哪些步驟，哪些必須，哪些多余，哪些關(guān)鍵，哪些易得，有無更好的方法.所以總結(jié)是提高解題能力的重要環(huán)節(jié).

教師的課堂任務(wù)并不是教學(xué)生解題，而是要教會學(xué)生如何去發(fā)現(xiàn)解題的路徑，講到解題那就不得不說偉大的數(shù)學(xué)家波利亞，他的很多思想理論不是教條，而是實際解題的指南，平時也可以給學(xué)生灌輸一些他的經(jīng)典理論，讓學(xué)生自己去體會這些理論，同樣也能夠提高自身的解題能力.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的提升點就在于有效地將多個板塊的知識點進行有效地整合，將知識點、課后練習(xí)、模擬題、高考題有機地結(jié)合起來，理清它們之間的聯(lián)系，讓課堂教學(xué)更加有效地激活學(xué)生的思維.從而提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的感覺、對數(shù)學(xué)的理解，提高復(fù)習(xí)課堂的效率.

復(fù)習(xí)備考中，筆者認(rèn)為必須做題，只有“跳入題海，才能暢游題海”，但是做了題、講了題之后必須要花點精力去精心反思總結(jié)、分析透徹，才能觸類旁通.高考壓軸題是由多個知識板塊“揉捏”而成的，如果學(xué)生能夠準(zhǔn)確的找到題目中問題的本質(zhì)，那么高考壓軸題也能夠容易的突破了.