遞推數(shù)列中的完全平方數(shù)分析*

重慶市第八中學(xué) (400030)

羅 毅 李長江

完全平方數(shù)分析是競賽數(shù)論中的常見問題，文[1]歸納了一些判斷完全平方數(shù)的方法．而在近年的賽題中，還出現(xiàn)了以(遞推)數(shù)列為載體的完全平方數(shù)分析問題，這類問題中，不僅涉及到完全平方數(shù)的性質(zhì)研究，還需要借助遞推數(shù)列的處理技巧，如構(gòu)造、配湊、變階等，形成別具一格的題型．本文針對這類問題，在解題方法上進(jìn)行探究和歸納，以饗讀者．

一、通項(xiàng)公式法

由遞推關(guān)系求出數(shù)列通項(xiàng)公式，借助通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征，分析數(shù)列中的項(xiàng)是否是完全平方數(shù)．這種方法對低階線性遞推關(guān)系較為適用．

評注:本題條件化簡之后是一個(gè)典型的二階線性遞推關(guān)系，容易通過特征根法求出其通項(xiàng)，借助二項(xiàng)式定理的結(jié)論即得．

例2 已知x0=1，x1=3，xn+1=6xn-xn-1(n∈N+)，求證：數(shù)列{xn}(n≥1)中無完全平方數(shù)．(《中等數(shù)學(xué)》2003年第3期訓(xùn)練題)

評注:本題求出{xn}的通項(xiàng)公式后，通過構(gòu)造{xn}的對偶數(shù)列{yn}形成不定方程，轉(zhuǎn)化為探求不定方程解存在性的問題．

例3 兩個(gè)整數(shù)數(shù)列{an}與{bn}(n∈N)滿足bn=an+9，an+1=8bn+8，(n∈N)．又1988是兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)．求證：數(shù)列{an}中不含完全平方數(shù)的項(xiàng)．(1988奧地利—波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克)

當(dāng)n≥3時(shí)，an=16[4a08n-2+5(8n-1+8n-2+…+1)]．∵4a08n-2+5(8n-1+8n-2+…+1)≡5(mod8),所以an(n≥3)不是完全平方數(shù)．下驗(yàn)證a0，a1，a2都不是完全平方數(shù)．因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，8|an，且bn為奇數(shù)，所以an和bn均不為1988，因此必有a0=1988或b0=1988．

當(dāng)b0=1988時(shí)，a0=1979，a1=8·1989，a2=8·(8·1989+10)=16·7961，均不是完全平方數(shù)；當(dāng)a0=1988時(shí)，a1=8·1998，a2=16·(4·1988+45)，均不是完全平方數(shù)．

綜上，命題得證．

二、構(gòu)造轉(zhuǎn)換法

對于不能或不宜求出通項(xiàng)公式的遞推關(guān)系，可以考慮直接借助遞推關(guān)系作構(gòu)造，利用f(an,an+1,…)整體形成完全平方數(shù)(式)形式，實(shí)現(xiàn)證明．

1.擇項(xiàng)構(gòu)造

例4 給定正整數(shù)u、v．?dāng)?shù)列{an}定義如下：a1=u+v，對整數(shù)m≥1，a2m=am+u，a2m+1=am+v．記Sm=a1+a2+…+am(m=1,2,…)．證明：數(shù)列{Sn}中有無窮多項(xiàng)是完全平方數(shù)．(2013全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第2題)

證明：對正整數(shù)n，S2n+1-1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n+1-2+a2n+1-1)=(u+v)+(a1+u+a1+v)+(a2+u+a2+v)+…+(a2n-1+u+a2n-1+v)=2n(u+v)+2S2n-1，所以S2n-1=n·2n-1(u+v)．取n=2(u+v)k2(k∈N+)，S2n-1=2(u+v)k2·22(u+v)k2-1(u+v)=(u+v)2k2·22(u+v)k2=[(u+v)k·2(u+v)k2]2．于是S2n-1為完全平方數(shù)．由于正整數(shù)k有無窮多個(gè)，從而原命題得證．

評注:這種解法巧妙的選擇了數(shù)列{Sn}中第2n-1項(xiàng)作分析，在找到遞推關(guān)系S2n+1-1=2n(u+v)+2S2n-1后求出S2n-1的通項(xiàng)公式，再通過取n的值實(shí)現(xiàn)證明．該解法由江蘇常熟市中學(xué)查正開老師提供．

2.變階構(gòu)造

下用數(shù)學(xué)歸納法證之：

評注:本題條件中給出一個(gè)二階線性遞推關(guān)系f(an-2,an-1,an)=0，但其通項(xiàng)公式不易求取，而通過待定系數(shù)將所探求的表達(dá)式用g(an-1,an)=0表示，降階整體構(gòu)造出完全平方數(shù)形式．

例6 數(shù)列{an}滿足a0=1，an+1=

(1)對于任意n∈N，an為整數(shù)；

(2)對于任意n∈N，anan+1-1為完全平方數(shù)．

(2005全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)

①-②得(an+1-an-1)(an+1+an-1-7an)=0，∵an+1>an-1，∴an+1=7an-an-1③.

由③及a0=1，a1=5可知對于任意n∈N，an為整數(shù)．

評注:將原條件中的一階非線性遞推關(guān)系升階轉(zhuǎn)化成二階線性遞推關(guān)系，其目的還是為了簡化運(yùn)算形式．

3.逆向轉(zhuǎn)化

評注:本題的關(guān)鍵在于借助Sn與an的關(guān)系，反向構(gòu)造an．

三、同余分析法

解：若an是一個(gè)完全平方數(shù)，則an≡0或1(mod4)．

①若ak≡0(mod4)，則ak+i≡

②若ak≡1(mod4)，則ak+1=0(mod4)．從而，當(dāng)n>k+1時(shí)，an不是完全平方數(shù)．

于是，數(shù)列{an}中至多有兩個(gè)完全平方數(shù)，設(shè)為ak和ak+1．令ak=s2(s為奇數(shù))，則ak+1=s10+487=t2．

設(shè)t=s5+r，則t2=(s5+r)2=s10+2s5r+r2，從而2s5r+r2=487．

若s=1，則r(r+2)=487，該方程無整數(shù)解；

若s=3，則486r+r2=487，解得r=1，r=-487(舍去)；

若s>3，該方程顯然無正整數(shù)解．從而ak=9．而當(dāng)n>0時(shí)，an>487，故m=a0=9．

另一方面，當(dāng)a0=9時(shí)，a1=95+487=2442是完全平方數(shù)．

綜上，所求m=9．