巧用均值不等式證明2018年數(shù)學(xué)奧林匹克不等式題

江西教育傳媒集團(tuán) (330038)

周瑜芽

均值不等式是一個(gè)應(yīng)用廣泛的不等式，在證明不等式問(wèn)題時(shí)，為了創(chuàng)設(shè)使用均值不等式的條件，常常需要對(duì)題中的式子作適當(dāng)?shù)淖冃?，而變形的出發(fā)點(diǎn)又是在兼顧所給條件的基礎(chǔ)上注意不等式的取等條件，若遇到等號(hào)取不到、用“均值法”無(wú)效時(shí)可考慮引入?yún)?shù)，借助待定系數(shù)法來(lái)解決.這樣才能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到事半功倍的效果.下面舉例說(shuō)明.

讀者可以自己完成下面另一道2018年烏克蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題的證明：

推廣到三元，筆者編擬以下試題：

推而廣之，我們有(證明留給讀者)：

本題可以推廣：

故原不等式成立.

證明：不妨設(shè)min{a,b,c}=a,則原不等式成為2(ab+bc+ca)+4a2≥a2+b2+c2.

(a+b+c)2?2(ab+bc+ca)+4a2≥a2+b2+c2.

故原不等式成立.

類(lèi)似的不等式有(證明留給讀者)：

例7 (2018年香港數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a,b,c是滿足57a+88b+125c≥1148的正數(shù)，求a3+b3+c3+5(a2+b2+c2)的最小值.

解：由均值不等式，可得a3+b3+c3+5(a2+b2+c2)=(a3+33+33)+(b3+43+43)+(c3+53+53)+5(a2+32)+5(b2+42)+5(c2+52)-2(33+43+53)-5(32+42+52)≥3(32a+42b+52c)+10(3a+4b+5c)-682=57a+88b+125c-682≥1148-682=466，當(dāng)a=3,b=4,c=5時(shí)，a3+b3+c3+5(a2+b2+c2)取得最小值466.

推而廣之，我們有(證明留給讀者)：