小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的合情推理

曹健

[摘 要]在數(shù)學(xué)中，演繹推理有助于證明，而合情推理有助于發(fā)現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力，也要培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。以“圖形與幾何”為載體，找準(zhǔn)“圖形與幾何”與合情推理的契合點(diǎn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)力、建構(gòu)力和創(chuàng)造力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]圖形與幾何;合情推理;類比性;歸納性;聯(lián)想性

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）02-0045-02

“圖形與幾何”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，包括圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的測(cè)量、圖形的計(jì)算、圖形的變換等內(nèi)容。根據(jù)學(xué)生的年齡和心理特征，在小學(xué)階段的“圖形與幾何”教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合情推理，將“發(fā)現(xiàn)”“創(chuàng)造”作為“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的核心，激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中利用經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)進(jìn)行合理猜想、推斷，借助類比、歸納等方式展開(kāi)合情推理教學(xué)，以此培育學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)力、建構(gòu)力和創(chuàng)造力。

一、運(yùn)用類比性猜想，促進(jìn)合情推理

合情推理包括類比推理和不完全類比推理。類比推理是從特殊到特殊的推理，是一種由此及彼的推理。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)學(xué)對(duì)象、條件和問(wèn)題的相似性，進(jìn)而形成對(duì)問(wèn)題性質(zhì)、解決方法等的類比性推理能力。類比推理具有啟發(fā)思維、提供線索、觸類旁通的作用，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

如教學(xué)“圓柱的體積”（蘇教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)）時(shí)，教師就可以運(yùn)用類比推理的方式，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)猜想、驗(yàn)證，進(jìn)而自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。筆者在教學(xué)中，首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體體積的相關(guān)內(nèi)容，以激活他們頭腦中已有的經(jīng)驗(yàn);然后出示長(zhǎng)方體、正方體和圓柱，引導(dǎo)學(xué)生觀察，形成類比性猜想——“圓柱體積計(jì)算也可以用底面積乘高”。學(xué)生提出各種猜想理由，如“長(zhǎng)方體、正方體和圓柱都是直的。”“長(zhǎng)方體、正方體和圓柱都可以看成是由無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)方形、正方形和圓形疊加而成。”“長(zhǎng)方體、正方體和圓柱都是直直地向上生長(zhǎng)的。”……童言稚語(yǔ)，體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。筆者在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證。首先，同樣借助圓柱的“前情知識(shí)”進(jìn)行類比性猜想：圓的面積公式的推導(dǎo)是將圓無(wú)限“分割”后轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，那么圓柱的體積公式的推導(dǎo)是否可以將圓柱無(wú)限“切割”后轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體呢？在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)學(xué)具操作，將圓柱轉(zhuǎn)化成近似長(zhǎng)方體。最后，借助多媒體，展示圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的“化曲為直”的生動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)中的極限思想。在交流中，學(xué)生能自覺(jué)比較長(zhǎng)方體底面積與圓柱底面積、長(zhǎng)方體高與圓柱高、長(zhǎng)方體體積與圓柱體積的異同，完成了數(shù)學(xué)知識(shí)的演繹、轉(zhuǎn)化。

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)：“數(shù)學(xué)不僅要教證明，更要教推理、教猜想?！被仡檲A柱體積的類比推理過(guò)程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是“灌輸”和“填鴨”式的“教給”，而是在教師引導(dǎo)下的積極的合情推理過(guò)程。這樣的過(guò)程，讓學(xué)生嘗到發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)、想象的恣意、探究的愉悅。在“圖形與幾何”教學(xué)中，正是因?yàn)閯?chuàng)設(shè)了類比性猜想情境，激活了學(xué)生沉睡的記憶，喚醒了學(xué)生休眠的經(jīng)驗(yàn)，才讓學(xué)生形成一種類似的情境體驗(yàn)，輕車熟路地進(jìn)行合情推理，滿心歡喜地感受著猜想、探究、驗(yàn)證帶來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之樂(lè)。

二、運(yùn)用歸納性猜想，促進(jìn)合情推理

所謂“歸納推理”，是從特殊到一般的推理。歸納推理主要包括完全歸納推理和不完全歸納推理兩種形式。所謂“不完全歸納推理”，是指從部分對(duì)象所具有的屬性推斷全部對(duì)象應(yīng)當(dāng)具有這種屬性的推理。正是由于“不完全歸納推理”的不完全性，使得推理具有合情性，同時(shí)也具有或然性。小學(xué)階段的“圖形與幾何”，就其屬性來(lái)說(shuō)，主要是直觀幾何。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生充分觀察、思考，盡可能多而廣地考察事物或?qū)ο?，做到“厚積而薄發(fā)”。當(dāng)學(xué)生積淀的經(jīng)驗(yàn)豐厚了，自然能生發(fā)出靈感、靈性，這種靈感、靈性能助推學(xué)生合情推理。

如教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”（蘇教版教材四年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，當(dāng)學(xué)生通過(guò)探究形成“四邊形的內(nèi)角和是2×180°，五邊形的內(nèi)角和是3×180°，六邊形的內(nèi)角和是4×180°”的認(rèn)知之后，教師讓學(xué)生思考“幾個(gè)180°與幾邊形之間的關(guān)系”，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“n邊形的內(nèi)角和為（n-2）×180°”，這是一種不完全歸納推理。基于不完全歸納推理的“不完全性”，教師必須引導(dǎo)學(xué)生超越數(shù)學(xué)直覺(jué)，進(jìn)行深度思考：為什么多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間存在這樣的關(guān)系？進(jìn)而，將學(xué)生從數(shù)學(xué)觀察引向數(shù)學(xué)思考，從規(guī)律的簡(jiǎn)單小結(jié)轉(zhuǎn)向規(guī)律的深度探尋。結(jié)合四邊形、五邊形、六邊形等圖形的內(nèi)角和公式的證明，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)：四邊形的一條對(duì)角線，就能將四邊形分成兩個(gè)三角形（兩個(gè)三角形有六條邊，重合一條邊，變成五條邊）;五邊形可分成三個(gè)三角形（三個(gè)三角形有九條邊，重合兩條邊，變成七條邊）……以此類推，n邊形可以分成（n-2）個(gè)三角形（（n-2）個(gè)三角形有3（n-2）條邊，重合n-3條，變成2n-3條邊）。如此，不完全歸納推理與演繹推理相互融合、相得益彰。

在“圖形與幾何”教學(xué)過(guò)程中，針對(duì)不完全歸納推理的“不完全性”，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生用其他方式進(jìn)行佐證，包括實(shí)驗(yàn)、演繹等方式，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有更為完整、深刻的認(rèn)知。

三、運(yùn)用聯(lián)想性猜想，促進(jìn)合情推理

在“圖形與幾何”教學(xué)中，教師還可以運(yùn)用聯(lián)想性猜想，促進(jìn)學(xué)生合情推理。與類比推理從特殊到特殊、歸納推理從特殊到一般不同，聯(lián)想性猜想的“觸角”是多向的，可以由特殊到特殊，可以由特殊到一般，也可以由一般到一般。這是學(xué)生的 “熟悉”與“陌生”之間彼此溝通聯(lián)系的過(guò)程，是學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題常用的策略與手段。讓學(xué)生在“圖形與幾何”學(xué)習(xí)中找準(zhǔn)知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)、生發(fā)點(diǎn)和生成點(diǎn)，主動(dòng)聯(lián)想、大膽猜想，從而發(fā)展和提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

如教學(xué)“三角形面積公式”（蘇教版教材五年級(jí)下冊(cè)）時(shí)，教師可以和學(xué)生先一起回顧、復(fù)習(xí)“平行四邊形面積公式”的推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生從平行四邊形面積公式的推導(dǎo)中獲得聯(lián)想。盡管“三角形面積公式”的推導(dǎo)方式和“平行四邊形面積公式”的推導(dǎo)方式不完全相同，但學(xué)生可以從平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程中獲得啟迪。如“平行四邊形面積公式的推導(dǎo)是將未知圖形的面積轉(zhuǎn)化成已知圖形的面積”，可以啟發(fā)學(xué)生思考：“是否可以將三角形面積轉(zhuǎn)化成平行四邊形或者長(zhǎng)方形的面積？”又如“平行四邊形是通過(guò)剪、移、拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的”，可以啟發(fā)學(xué)生思考：“三角形的面積推導(dǎo)是否也可以運(yùn)用剪、拼、移的策略？”而“平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形之后，要將平行四邊形的底、高與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬進(jìn)行比較”，可以啟發(fā)學(xué)生思考：“三角形的底、高相當(dāng)于平行四邊形的什么，相當(dāng)于長(zhǎng)方形的什么？”聯(lián)想性猜想，是培育學(xué)生良好思維品質(zhì)的重要方法，是學(xué)生思考問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要手段與策略。

當(dāng)然，聯(lián)想不是任意拼湊的胡思亂想，而是一種科學(xué)的思維和想象活動(dòng)。合理有據(jù)的聯(lián)想，有助于打開(kāi)學(xué)生問(wèn)題解決的思路，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。作為教師，我們要根據(jù)“圖形與幾何”的特點(diǎn)，找準(zhǔn)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，誘導(dǎo)學(xué)生大膽聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生合理聯(lián)想。

總之，“圖形與幾何”的猜想學(xué)習(xí)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。教師要找準(zhǔn)“圖形與幾何”內(nèi)容與培育學(xué)生合情推理的契合點(diǎn)，發(fā)掘合理因素，引導(dǎo)學(xué)生猜想、推理，并讓學(xué)生基于猜想進(jìn)行驗(yàn)證，讓他們?cè)诖竽懖聹y(cè)、合理聯(lián)想中，融會(huì)貫通，舉一反三，真心享受到由合情推理帶來(lái)的成功體驗(yàn)。

（責(zé)編 羅 艷）