函數(shù)極限的幾種求解方法

楊艷秋

摘要：函數(shù)極限是極限的一個重要內(nèi)容，求函數(shù)極限的方法多種多樣，本文主要通過例題來闡述了幾種求函數(shù)極限的方法。求極限的方法不可能全部列舉出來，希望通過這幾種求解方法的介紹展現(xiàn)極限思想的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：函數(shù)極限;四則運算法則;洛必達法則

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2019）35-0247-02

極限是數(shù)學中一個非常重要的概念，廣義上的極限是指無限接近而永遠無法到達，數(shù)學中的極限是指某一個變量在變化的過程中，逐漸逼近某一個確定的數(shù)值，但是永遠不能等于這個數(shù)值。數(shù)學中的極限一般分為數(shù)列極限和函數(shù)極限，本文主要介紹函數(shù)極限及其求法。

1 函數(shù)極限的定義

設函數(shù)f（x）在點x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε，存在正數(shù)δ，使得當x滿足不等式0<|x-x0|<δ時，對應的函數(shù)值f（x）都滿足不等式：f（x）-A|<ε。那么常數(shù)A就叫作函數(shù)f（x）當x→x0時的極限，記作lim f（x）=A。

2 求函數(shù)極限的方法

2.1利用連續(xù)性求極限

設函數(shù)f（x）在某u（x0）內(nèi)有定義，如果lim f（x）=f（x0）.則稱f（x）在x0連續(xù)。反之，如果要求lim f（x），可以由以上等式直接求f（x）在x0處的函數(shù)值就可以。

例1求lim（3x2-x+ 7）.

解：由初等函數(shù)的連續(xù)性，將1直接代人函數(shù)中有意義，所以：

原式=3x1 2-1+7 =9.

2.2消公因子法求極限

有些具有分數(shù)結(jié)構(gòu)的函數(shù)用上面的代入法可能會出現(xiàn)分子或分母為零的情況，使得原函數(shù)沒有意義，所以無法直接代入求極限。

2.3利用無窮大無窮小的關(guān)系求極限

無窮大量和無窮小量的定義：如果函數(shù)f（x）當x→x0（或x→∞）時的極限為零，則稱函數(shù)f（x）為x→x0（或x→∞）時的無窮小量;如果函數(shù)f（x）當x→x0（或x→∞）時對應的f（x）無限增大，則稱函數(shù)f（x）為x→x0（或x→∞）時的無窮大量。

這里是利用無窮大量無窮小量的倒數(shù)關(guān)系求極限。

2.4分子分母降冪法求極限

在某些函數(shù)極限求解過程中，可以通過分子分母同時除以最高次冪來求極限。

該題目中分子分母的最高次冪是x3，同時除以x3然后求極限可知分子分母的后兩項極限為零，由此我們得到其極限值。

當a0≠0，b0≠0，m和n為非負整數(shù)時，有

2.5利用兩個重要極限求極限

首先介紹一下兩個重要極限，我們通過幾個例題來看一下如何利用重要極限求解極限。

我們可以看到在求極限的過程中，有的式子并不能直接利用重要極限的公式，需要進行一定程度的變形，在變形的過程中要注意保持原式的恒等性，靈活變換。

2.6利用四則運算法則求極限

極限的四則運算法則如下：如果limf（x）=A，limg（x）=B，則

2.7利用洛必達法則求極限

洛必達法則有兩種，0/0型和∞/∞型，即分子分母同時是無窮小或同為無窮大，這種情況極限可能存在也可能不存在，稱為未定式。

若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：

3 小結(jié)

以上求極限的幾種方法互相之間有交叉，說明求極限需要靈活應用不同的方法，學會融會貫通。當然除了上面介紹的幾種方法，還有很多其他的方法，比如利用中值定理求極限，利用導數(shù)的定義求極限，利用泰勒公式求極限等等。極限思想的理解是比較大的一個難點，只有理解好極限思想才能在求極限的過程中得心應手。

參考文獻：

[1]陳家榮.高等數(shù)學教學中求極限的方法研究[J].科學咨詢，2019（13）：76-77.

[2]舒孝珍.高等數(shù)學中函數(shù)極限的求法技巧解析[J].赤峰學院學報，2019（35）：11-13.

[3]王亞蘭，賈杰.函數(shù)極限的七種求解方法[J].數(shù)學學習與研究，2018（17）：7-9.

【通聯(lián)編輯：光文玲】