劉春生,任春平,2
(1.黑龍江科技大學(xué),黑龍江 哈爾濱 150022; 2.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150001)
載荷識(shí)別作為一類反問題,其具有病態(tài)性(不適定性),尋求準(zhǔn)確解相對(duì)是比較困難的,在科學(xué)和工程領(lǐng)域中該類問題都具有第一類或者第二類積分方程的形式,由于系統(tǒng)條件數(shù)較大的原因,直接利用數(shù)值算法是無效的[1-2]。探究一種穩(wěn)定求解反問題方法是國內(nèi)外學(xué)者不斷探索的重要課題,許多學(xué)者做出了重要的貢獻(xiàn),目前還沒有完全成熟的理論研究方法。
反問題的間接處理方法被諸多學(xué)者所探究,其中較為經(jīng)典的為整數(shù)階Tikhonov正則化方法。文獻(xiàn)[3]探討了截?cái)嗥娈愔捣纸?SVD)Tikhonov正則化對(duì)沖擊載荷識(shí)別的影響。文獻(xiàn)[4]利用整數(shù)階Tikhonov 正則化與迭代算法相結(jié)合方式對(duì)結(jié)合部等效力矢量模型進(jìn)行更新,辨識(shí)出結(jié)合部等效動(dòng)力學(xué)參數(shù)。文獻(xiàn)[5]采用整數(shù)階Tikhonov正則化與L曲線相結(jié)合方法,有效穩(wěn)定地實(shí)現(xiàn)多源動(dòng)態(tài)載荷的重構(gòu)。文獻(xiàn)[6]研究了整數(shù)階Tikhonov正則化技術(shù)參數(shù)對(duì)載荷識(shí)別的影響。文獻(xiàn)[7]探究了基于Green函數(shù)的整數(shù)階Tikhonov正則化與區(qū)間理論結(jié)合的載荷識(shí)別方法。文獻(xiàn)[8]結(jié)合動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法與整數(shù)階Tikhonov正則化算法對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別進(jìn)行了探討。盡管整數(shù)階Tikhonov正則化識(shí)別方法已被國內(nèi)外學(xué)者探究,并取得諸多重要成果,但在特殊工程應(yīng)用領(lǐng)域,該識(shí)別技術(shù)還沒有得到完全的應(yīng)用與推廣。
文獻(xiàn)[9-10]將離散正則化技術(shù)及其修正算法應(yīng)用到截割煤巖載荷重構(gòu)中,驗(yàn)證了算法的實(shí)用性和穩(wěn)定性,但解收斂率較低。文獻(xiàn)[11]探討基于瑞利隨機(jī)分布下載荷重構(gòu)的影響,其重構(gòu)效果不夠理想。文獻(xiàn)[12]采用整數(shù)階Tikhonov正則化技術(shù)與小波變換相結(jié)合的技術(shù),研究了載荷識(shí)別的效果。專著[13]預(yù)測(cè)了分?jǐn)?shù)階微積分理論與正則化技術(shù)相結(jié)合的分?jǐn)?shù)階正則化技術(shù)將會(huì)是在礦山機(jī)械領(lǐng)域中載荷識(shí)別的重要研究手段。但有關(guān)分?jǐn)?shù)階正則化方法的研究報(bào)道相對(duì)較少,且工程應(yīng)用領(lǐng)域還不夠成熟和完善。
本文在以前研究工作基礎(chǔ)上,針對(duì)上述載荷識(shí)別技術(shù)在具體應(yīng)用中存在的缺陷,如系數(shù)矩陣不適定性、抗噪能力弱、正則解平滑等問題,提出一種改進(jìn)分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化方法,其方法的技術(shù)路線為將載荷在時(shí)域范圍內(nèi)表示為一系列核函數(shù)的疊加形式,系統(tǒng)的測(cè)量載荷可表達(dá)為識(shí)別載荷和核函數(shù)的卷積分,然后通過離散化方法將卷積方程變換為線性方程組,對(duì)其進(jìn)行載荷識(shí)別。利用改進(jìn)分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化方法將載荷識(shí)別過程轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題處理,目標(biāo)函數(shù)采用新超記憶梯度法進(jìn)行快速求解,最后獲得穩(wěn)定的識(shí)別解。
在時(shí)域范圍內(nèi),建立系統(tǒng)的載荷識(shí)別模型,將測(cè)試載荷表示為被識(shí)別載荷和核函數(shù)的卷積分,即載荷識(shí)別模型可用Fredholm方程表達(dá)[14-15]:
通常情況下,測(cè)試載荷響應(yīng)y(t)含有一定的噪聲e(t),其可表達(dá)為如下形式:
yδ(t)=y(t)+e(t)
據(jù)此,以下表達(dá)式可代替式(1),即
根據(jù)矩形公式,離散化處理式(2),其表達(dá)如下:
(3)
其中,當(dāng)k≠i時(shí),
因此,式(3)被如下表達(dá)式代替:
AZ=Yδ(4)
式(4)揭示了被識(shí)別載荷Z與測(cè)試載荷Yδ和識(shí)別模型結(jié)構(gòu)參數(shù)A特性關(guān)系。但是,載荷識(shí)別具有病態(tài)性,直接應(yīng)用數(shù)值算法很難獲取穩(wěn)定的識(shí)別解。據(jù)此,探尋載荷識(shí)別的有效方法具有重要的研究意義,然而研究特定形式的正則化方法是直接處理該問題的有效途徑。
為了提高載荷識(shí)別的抗噪性及魯棒性,在以往研究工作基礎(chǔ)上,提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法,以此減少該類反問題存在的缺陷及不足等問題。
根據(jù)奇異值分解(SVD)方法,分解式(4)中的矩陣A,其分解結(jié)果如下[16-18]:
(5)
式中,U=(u1,u2,…,un)和V=(v1,v2,…,vn)分別為由左奇異向量和右奇異向量構(gòu)成的列正交矩陣。并且∑為矩陣A的奇異值所構(gòu)造的對(duì)角矩陣,∑=diag(σ1,σ2,…,σn),且σ1≥σ2≥…≥σn≥0。
根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論的思想,重點(diǎn)基于分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化理論方法[19],給出了一種改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法,其方法的核心在于將處理載荷識(shí)別這類反問題的思想轉(zhuǎn)化為一類無約束優(yōu)化問題,其目標(biāo)函數(shù)被表述為
(6)
當(dāng)分?jǐn)?shù)階次α確定時(shí),正則參數(shù)λ可以通過差異原理進(jìn)行選取[20]。
基于上述的改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化方法,其濾波因子被描述為
(7)
然而整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化的濾波因子,其具體表達(dá)式描述[21-22]為
(8)
式(8)濾波因子的漸進(jìn)性如下:
(σi→0)
為了分析比較3種方法,從濾波因子漸進(jìn)性及濾波因子隨奇異值變化兩方面考慮。首先,從整數(shù)階Tikhonov 正則化與分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化濾波因子的漸進(jìn)性可知,整數(shù)階Tikhonov 正則化濾波因子比分?jǐn)?shù)階Tikhonov 正則化濾波因子收斂得快,意味著較小奇異值對(duì)應(yīng)的分量被有效濾掉了,即快的收斂速度表明識(shí)別對(duì)象具有明顯的光滑性,所以分?jǐn)?shù)階正則化優(yōu)于整數(shù)階。
雖然改進(jìn)分?jǐn)?shù)階正則化濾波因子漸進(jìn)性表達(dá)式與分?jǐn)?shù)階正則化濾波因子相同,但可通過濾波因子隨奇異值變化曲線來判別3種方法的差異,如圖1所示,對(duì)于較小奇異值,改進(jìn)分?jǐn)?shù)階濾波因子比分?jǐn)?shù)階濾波因子抑制的少,對(duì)于較大的奇異值,改進(jìn)分?jǐn)?shù)階比分?jǐn)?shù)階對(duì)應(yīng)的分量保持得多。因此,改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階正則化方法不但能夠保留較小奇異值對(duì)應(yīng)的分量,而且還能夠抑制較大奇異值對(duì)應(yīng)的分量。綜上所述,可以得出改進(jìn)分?jǐn)?shù)階正則化比分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階正則化更有效,從而減小載荷識(shí)別的病態(tài)性。
圖1 濾波因子隨奇異值變化曲線Fig.1 Variation curves of filter factor with singular value
式(6)被認(rèn)為是無約束優(yōu)化問題,并且可以通過使用一些優(yōu)化算法獲得的最優(yōu)解。因此,根據(jù)新超記憶梯度法來求解式(6)的無約束優(yōu)化問題。通常情況下的迭代算法求解式(6)采取以下形式[23]:
Zk+1=Zk+dkhk(9)
其中,hk為搜索方向,且新超記憶梯度法的搜索方向;
(10)
gk代表著J(Zk)在Zk點(diǎn)的梯度,gk=被定義如下:
(11)
dk代表步長,采用由修正的非單調(diào)線搜索來確定,令hk=βmk,mk滿足以下不等式:
(12)
算法流程如下:
步驟1:初始點(diǎn)υ∈(0,1),β∈(0,1),且η>0,m為給定的正整數(shù),ρ∈(0,1/m),0<ε≤1,令k=0;
步驟2:計(jì)算gk,若‖gk‖≤ε,則終止;
步驟3:根據(jù)式(10)計(jì)算搜索方向;
步驟4:根據(jù)式(12)確定步長dk;
步驟5:若滿足式(9),則停止;如不滿足,則返回步驟1。
改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化載荷識(shí)別算法應(yīng)用在鎬型截齒截割煤巖試驗(yàn)載荷譜的識(shí)別中,重點(diǎn)在于獲取與真實(shí)載荷在精度上相匹配的識(shí)別載荷,以便為研究截割煤巖機(jī)理及載荷重構(gòu)提供理論參考和方法。
鎬型截齒截割煤巖載荷譜的測(cè)試系統(tǒng)如圖2所示。截割電動(dòng)機(jī)經(jīng)減速器和轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)矩儀驅(qū)動(dòng)截割臂旋轉(zhuǎn),采用變頻調(diào)速方法調(diào)節(jié)截割臂轉(zhuǎn)速,截割試驗(yàn)臺(tái)的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)通過液壓缸實(shí)現(xiàn),經(jīng)速度傳感器反饋,可自動(dòng)和手動(dòng)調(diào)速。截齒的載荷測(cè)試系統(tǒng)由測(cè)力裝置、壓力傳感器、信號(hào)放大器和Dasp v10智能數(shù)據(jù)采集和信號(hào)處理系統(tǒng)等組成。其參數(shù)如下:變頻電機(jī)額定功率為55 kW,截割裝置可模擬采煤機(jī)滾筒轉(zhuǎn)速范圍為0~48 r/min,力傳感器范圍為0~5 000 N,扭矩測(cè)量范圍為0~22 000 N·m,截割直徑范圍為1 200~2 000 mm,牽引速度為0.5~2 m/min。在旋轉(zhuǎn)截割過程中,截齒所受到的載荷,通過5個(gè)壓力傳感器的變形量轉(zhuǎn)換為電信號(hào),經(jīng)多路滑環(huán)將信號(hào)傳入Dasp v10智能數(shù)據(jù)采集和信號(hào)處理系統(tǒng)。
圖2 試驗(yàn)系統(tǒng)Fig.2 Test system
截齒截割煤壁時(shí)所受的截割阻力通過齒套傳遞,由后端的力傳感器測(cè)出其大小,傳感器測(cè)力方向與截齒軸線一致定義為軸向載荷Fz,所測(cè)力方向與截齒軸線方向垂直定義為徑向載荷Fy,測(cè)力裝置如圖3(a)所示。
圖3 測(cè)力裝置及截齒受力Fig.3 Force measuring device and force diagram of pick
試驗(yàn)測(cè)力裝置中截齒的受力狀態(tài)如圖3(b)所示,其中,Z為截割阻力,Y為推進(jìn)阻力,f為支撐結(jié)構(gòu)與截齒齒套間的摩擦阻力,β為截齒的切向安裝角,O為齒套支撐點(diǎn),l1為齒尖到支撐點(diǎn)距離,l2為傳感器到支撐點(diǎn)距離。根據(jù)圖3(b)得到截齒的力平衡和力矩平衡方程。
(13)
Z=Fzsinβ+Fy[fnsinβ(1+kl)+klcosβ](14)
式中,fn為截齒齒套與支撐結(jié)構(gòu)的摩擦因數(shù),取fn=0.1;kl為測(cè)試裝置截齒與傳感器結(jié)構(gòu)尺寸系數(shù),kl=0.739。
實(shí)驗(yàn)條件:截齒安裝角為45°,煤巖截割阻抗180 kN/m,最大切削厚度20 mm,截割臂轉(zhuǎn)速為40.8 r/min,牽引速度為0.8 m/min。測(cè)試得到的截齒軸向載荷及徑向載荷如圖4(a)和(b)所示,根據(jù)圖4(a)和(b)載荷曲線按采樣離散點(diǎn)由式(14)換算得到截割阻力,如圖4(c)所示。
圖4 截割載荷與截割阻力Fig.4 Cutting load and cutting resistance
在上述試驗(yàn)條件下可知,換算得到截割阻力的大小盡管與軸向載荷不同,但變化趨勢(shì)類似,且徑向載荷對(duì)其變化規(guī)律影響不大,即得到截割阻力Z與軸向載荷Fz成正比關(guān)系。因此,試驗(yàn)測(cè)試軸向載荷可反映截割阻力大小及變化規(guī)律,分析截割阻力特征時(shí)也可近似用測(cè)試的軸向載荷來進(jìn)行表征。
以截割阻力為研究對(duì)象,為深入探究分?jǐn)?shù)階次對(duì)載荷識(shí)別結(jié)果的影響,以便于與整數(shù)階次進(jìn)行比較分析,給出了如下分?jǐn)?shù)階次的影響結(jié)果及方法比較分析。
3.3.1 分?jǐn)?shù)階次α的影響
應(yīng)用改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法,其參數(shù)設(shè)定如下:λ=10-2,ξ=1。而階次α分別給定為0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。
載荷識(shí)別結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出,隨著分?jǐn)?shù)階次的增大,載荷雖然都能夠被識(shí)別出來,但識(shí)別的效果卻不盡相同。
為了進(jìn)一步地定量評(píng)價(jià)不同分?jǐn)?shù)階次對(duì)重構(gòu)效果的影響,給出其評(píng)價(jià)指標(biāo):均方根誤差(RMSE)和迭代次數(shù)。均方根誤差(RMSE)如下:
(15)
式中,Zt為實(shí)測(cè)載荷;Zd為被識(shí)別載荷。
給出RMSE及迭代次數(shù)隨分?jǐn)?shù)階次的變化值,見表1,可以看出隨著分?jǐn)?shù)階次的增大,RMSE及迭代次數(shù)值呈先減小后增大的趨勢(shì),存在著最小RMSE和最少迭代次數(shù)值,可以判斷存在最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階次,即α=0.5,此時(shí)載荷識(shí)別效果相對(duì)理想。
圖5 不同分?jǐn)?shù)階次的重構(gòu)曲線Fig.5 Reconstruction curve of different fractional order
α=1.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9RMSE5.086 82.908 72.024 40.905 50.366 50.375 40.543 00.653 10.937 5迭代次數(shù)645543271113202530
圖6 不同識(shí)別方法比較Fig.6 Comparison of identified results under different methods
3.3.2 載荷識(shí)別方法的比較
研究的目的在于探求載荷識(shí)別的有效算法,為此進(jìn)一步對(duì)改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法與整數(shù)階Tikhonov方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法進(jìn)行對(duì)比分析,如圖6(a),(b)和(c)中分別給出了3種方法的載荷識(shí)別結(jié)果。
圖6(a)被識(shí)別截割阻力是利用整數(shù)階Tikhonov方法獲得,此時(shí)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次α=1.0。圖6(b)被識(shí)別截割阻力是通過分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法給出的,此時(shí)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次α=0.4。在圖6(c)中所示被識(shí)別結(jié)果是由改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法給出的,此時(shí)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次α=0.5。
從圖6中可以看出,這3種方法都能識(shí)別截割阻力,但是,與整數(shù)階Tikhonov方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法相比,改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法能夠有效地識(shí)別截割阻力的細(xì)節(jié)。
從表2可以看到,改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法的識(shí)別效果,具有最小的均方根誤差(RMSE)和最少的迭代次數(shù)。因此,通過以上綜合分析,表明改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法的識(shí)別結(jié)果優(yōu)于階Tikhonov方法和分?jǐn)?shù)階Tikhonov方法。
表2不同識(shí)別方法比較
Table2Comparisonofdifferentidentificationmethods
評(píng)價(jià)指標(biāo)識(shí)別方法整數(shù)階Tikhonov分?jǐn)?shù)階Tikhonov改進(jìn)分?jǐn)?shù)階TikhonovRMSE0.418 20.388 40.366 5迭代次數(shù)191411
從上述算例可知,最優(yōu)分?jǐn)?shù)階次為0.5。為研究所提出算法的通用性,給出了截齒安裝角在40°及50°的兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù),在相同的最優(yōu)階次前提下,應(yīng)用提出的改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法,在給出其載荷識(shí)別狀態(tài),如圖7所示。
圖7 40°和50°安裝角載荷識(shí)別曲線Fig.7 Load identification curves at 40 degrees and 50 degrees of installation angle
從圖7可以得到,截割載荷能夠被清晰地識(shí)別,且識(shí)別效果也相對(duì)較理想,從給出的表3可知,評(píng)價(jià)指標(biāo)均方根誤差(RMSE)較小,迭代次數(shù)也較少,表明其截割載荷細(xì)節(jié)特征能夠被清晰地辨識(shí)。因此,提出的改進(jìn)算法在識(shí)別截割載荷方面具有普遍適用性。
綜上所述的試驗(yàn)驗(yàn)證算例表明改進(jìn)分?jǐn)?shù)階 Tikhonov正則化方法的特點(diǎn)如下:一是該方法能夠有效地解決載荷識(shí)別過程中出現(xiàn)的病態(tài)性問題。二是將載荷識(shí)別過程轉(zhuǎn)化為一類無約束的優(yōu)化問題處理,目標(biāo)函數(shù)通過新超記憶梯度法求解,進(jìn)而提高識(shí)別解收斂速率。三是該方法在時(shí)域范圍內(nèi)無需載荷識(shí)別模型的任何先驗(yàn)信息。通過截割煤巖載荷識(shí)別算例,證明所提出方法具有更強(qiáng)的魯棒性及抗噪性。
表3不同安裝角度載荷識(shí)別
Table3Loadidentificationwithdifferentinstallationangles
評(píng)價(jià)指標(biāo)不同安裝角度40°50°RMSE0.507 30.396 6迭代次數(shù)1715
(1)給出一種改進(jìn)的載荷識(shí)別快速算法,即改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法,利用核函數(shù)方法將載荷表示為一系列核函數(shù)的疊加,測(cè)量載荷表示為識(shí)別載荷和核函數(shù)響應(yīng)之間的卷積分形式,進(jìn)而建立截割煤巖載荷的識(shí)別模型。
(2)根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分理論,將經(jīng)典的整數(shù)階Tikhonov正則化推廣到分?jǐn)?shù)階模式,構(gòu)造改進(jìn)分?jǐn)?shù)階濾波因子,該因子不僅能夠保留較小奇異值對(duì)應(yīng)的分量,且也能抑制較大奇異值對(duì)應(yīng)的分量,從而減小載荷識(shí)別的病態(tài)性。
(3)改進(jìn)分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化方法與傳統(tǒng)整數(shù)階及分?jǐn)?shù)階Tikhonov正則化相比,其方法和算法中識(shí)別載荷與試驗(yàn)載荷的均方根誤差(RMSE)分別為0.418 2,0.388 4,0.366 5,及迭代次數(shù)分別為19,14,11,具有較高的精度,能夠克服其解的光滑性,且載荷細(xì)節(jié)特征能夠較好被識(shí)別。
(4)隨著分?jǐn)?shù)階次α的增大,均方根誤差(RMSE)及迭代次數(shù)值呈先減小后增大的趨勢(shì),存在著最小RMSE和最少迭代次數(shù)值,可以判斷存在最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階次,即α=0.5,此時(shí)載荷識(shí)別效果相對(duì)較為理想。