一類分?jǐn)?shù)階濾波器逼近階次的選擇

趙慧敏， 李文， 鄧武

(大連交通大學(xué) 軟件學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

機(jī)車減振系統(tǒng)對列車的運(yùn)行性能、乘車舒適度等方面起著重要的作用。然而，也正是由于減振降噪措施的引入，不可避免地使?fàn)恳姍C(jī)傳動系統(tǒng)變得更加復(fù)雜。例如，由于減振材料或裝置的粘彈性或耗能特性，系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性變得無法忽略。分?jǐn)?shù)階控制除了對復(fù)雜被控對象具有更好的控制特性和靈活的參數(shù)調(diào)節(jié)能力外，在交流電機(jī)振動抑制中也起著一定的積極作用［1－3］。因此，為提高牽引電機(jī)傳動系統(tǒng)減振降噪性能，拓展傳統(tǒng)的整數(shù)階、確定性分析方法，研究牽引電機(jī)傳動系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階控制具有實(shí)際意義。

一個含有分?jǐn)?shù)階環(huán)節(jié)的系統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，在建立或?qū)崿F(xiàn)分?jǐn)?shù)階環(huán)節(jié)的過程中，分?jǐn)?shù)階算子通常是用一個整數(shù)階多項(xiàng)式或有理分式來逼近的，其逼近精確度直接影響分?jǐn)?shù)階控制性能的優(yōu)劣。為此，研究者們提出了多種分?jǐn)?shù)階算子的逼近方法，取得了越來越好的逼近效果［4］。然而，在這些研究中，對逼近精確度與逼近模型階次之間關(guān)系的討論卻不多見。一般來說，逼近模型的階次越高，逼近精確度就越高。但是，當(dāng)階次達(dá)到一定值后，逼近精確度的提高隨階次的提高不再明顯，因此了解逼近精確度與逼近階次之間的關(guān)系，對分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)有著具體的指導(dǎo)意義。

本文在討論Oustaloup曲線擬合法［5］對分?jǐn)?shù)階濾波器進(jìn)行有理分式逼近方法的基礎(chǔ)上，對分?jǐn)?shù)階濾波器Qα(s)有理分式逼近階次選擇與逼近精確度之間的關(guān)系進(jìn)行研究。對比不同分?jǐn)?shù)階次和不同逼近階次下，逼近模型與理想模型的幅、相頻率特性及其誤差來觀察逼近階次與逼近精確度的關(guān)系，并由此來確定最佳逼近階次。

1 分?jǐn)?shù)階濾波器

分?jǐn)?shù)階濾波器的特點(diǎn)是濾波器的階次α可以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)選擇，即α∈R。分?jǐn)?shù)階濾波器使得傳統(tǒng)濾波器的階次由分級可調(diào)(α只能取整數(shù))變?yōu)檫B續(xù)可調(diào)(α可以取實(shí)數(shù))。濾波器階次的調(diào)節(jié)變得靈活和細(xì)膩，從而能夠更好地滿足系統(tǒng)設(shè)計要求，解決了傳統(tǒng)干擾觀測器在相角裕度損失和低頻振動抑制能力之間的矛盾。

設(shè)一類分?jǐn)?shù)階低通濾波器為

由于任意一個實(shí)數(shù)總可以分為一個整數(shù)和一個小于等于1的實(shí)數(shù)之和的形式，故假設(shè)α∈［0，1］，式(1)對應(yīng)的Bode圖如圖1所示。由圖1可知，分?jǐn)?shù)階濾波器的Bode圖曲線介于相鄰的兩個整數(shù)階曲線之間，再一次說明了分?jǐn)?shù)階濾波器在階次選擇上具有更大的靈活性。

圖1 分?jǐn)?shù)階Q濾波器Bode圖Fig.1 Bode chart of fractional Q filter

在設(shè)計分?jǐn)?shù)階濾波器時，常數(shù)τ(或帶寬ωq)和分?jǐn)?shù)階次α是2個重要參數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，帶寬通常是可以事先確定的，因此，分?jǐn)?shù)階濾波器的設(shè)計就變成了對分?jǐn)?shù)階次α的確定問題。α參數(shù)是通過綜合干擾抑制能力和魯棒穩(wěn)定性來具體確定的［6］。

2 分?jǐn)?shù)階微積分算子的逼近

當(dāng)分?jǐn)?shù)階次α被綜合確定后，分?jǐn)?shù)階濾波器的數(shù)字實(shí)現(xiàn)即分?jǐn)?shù)階濾波器的離散化是需要考慮的主要問題。然而，分?jǐn)?shù)階濾波器是基于分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算的，與傳統(tǒng)整數(shù)階有很大的不同，需要采取一些特殊的方法來處理。

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分算子離散化

分?jǐn)?shù)階微積分算子的離散化可分為直接離散化與間接離散化2種方法。直接離散化方法首先通過生成函數(shù)s=ω(z－1)對分?jǐn)?shù)階微積分算子s±r(r∈R)進(jìn)行變換，在離散時間域Z中得到一個無理函數(shù)ω±r(z－1);之后，用一個有限階次的有理函數(shù)對其進(jìn)行逼近［7］。冪級數(shù)和連分式展開是在實(shí)現(xiàn)有理化處理時常用的方法。間接離散化方法包括2個步驟:一是建立與連續(xù)時間域相匹配的頻域傳遞函數(shù)，其本質(zhì)上是一個逼近或近似的過程;二是對所得到的S域傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化。研究表明，用多項(xiàng)式逼近某些函數(shù)的效果不如用有理函數(shù)逼近的效果好［8］;并且由于連分式展開法并不能確保離散化模型能保持原分?jǐn)?shù)階模型的穩(wěn)定性，且在實(shí)現(xiàn)精確度上不是很理想［9］，多采用有理函數(shù)逼近的方法來實(shí)現(xiàn)。有理函數(shù)逼近方法有很多優(yōu)點(diǎn)，如可以對未知的信號進(jìn)行分?jǐn)?shù)階微積分等，它克服了連分式所帶來的缺點(diǎn)，且逼近效果較好。A Oustloup等人分別提出了相應(yīng)的方法［5］，取得了很好的逼近效果。

2.2 Oustaloup算法

Oustaloup算法［5］是在對復(fù)數(shù)階次微分器的研究為基礎(chǔ)得來的，對于復(fù)變傳遞函數(shù) G(s)=，令β=0，去掉高、低頻部分，選定擬合頻率段為［ωb，ωh］，則復(fù)變傳遞函數(shù)可用一個頻帶有限制的傳遞函數(shù)來表示，為

式中:C0=ωb/ωu=ωu/ωh;ωu=(ωbωh)1/2。則式(2)又可改寫為

式(3)是一個無理函數(shù)，Oustaloup算法采用有理函數(shù)級聯(lián)的方式來實(shí)現(xiàn)對式(3)的逼近。級聯(lián)的有理函數(shù)為

式(4)可以看作一個IIR型濾波器，其階次n=2N+1，且n越大逼近精確度越高。以分?jǐn)?shù)階微分s0.5為例，簡要說明Oustaloup算法的基本思想。設(shè)ωb=0.01 rad/s，ωh=100 rad/s，當(dāng) N=0，1，2，即濾波器階次n(在此又稱逼近階次)分別為1，3，5時，對應(yīng)的IIR濾波器傳遞函數(shù)表達(dá)式分別為

式(6)～式(8)對應(yīng)的幅頻特性和相頻特性如圖2所示。由圖2可以看出，在設(shè)定頻段內(nèi)，不同逼近階次對分?jǐn)?shù)階微分算子s0.5的逼近效果。

圖2 不同逼近階次下的特性比較Fig.2 Comparison of property under different approximation order

當(dāng)逼近階次n=1時，逼近誤差很大，當(dāng)逼近階次n=5時，無論幅頻特性還是相位特性都能較好地逼近s0.5的特性。從理論上講，逼近階次n越高，逼近精確度就越高。但當(dāng)階次達(dá)到某一值后，逼近精確度與逼近階次不再成比例提高，過高的逼近階次在實(shí)際中是沒有意義的，應(yīng)折中考慮逼近精確度與系統(tǒng)綜合性能的關(guān)系。

2.3 逼近階次的選擇

設(shè)所要實(shí)現(xiàn)的分?jǐn)?shù)階低通濾波器Qα(s)對應(yīng)的傳遞函數(shù)為

對式(9)運(yùn)用Oustaloup算法進(jìn)行有理函數(shù)逼近處理。設(shè)逼近頻段為［ωb，ωh］，取ωb=式(9)可以表示為

式(10)是一個無理函數(shù)，用一個有理函數(shù)級聯(lián)的方式來實(shí)現(xiàn)對式(10)的逼近，為

則式(5)變化為

式(11)給出的有理分式逼近模型的階次n(亦即IIR型濾波器的階次)對逼近效果有很大的影響［6］。

設(shè)在頻段［100，10000］內(nèi)進(jìn)行逼近，分?jǐn)?shù)階次α =0.2，0.4，0.6，0.8，逼近階次 n=1，3，5，7。通過計算逼近模型與式(9)的幅、相頻率特性及其誤差來觀察逼近階次n與逼近精確度的關(guān)系，來確定最佳逼近階次。

幅頻特性誤差與相頻特性誤差分別為

對不同分?jǐn)?shù)階次α和逼近模型階次n，利用Matlab進(jìn)行編程，可以得到對數(shù)幅、相頻率特性曲線如圖3(a)、圖4(a)、圖5(a)、圖6(a)所示。不同分?jǐn)?shù)階次及逼近階次情況下，幅頻特性和相頻特性的逼近誤差可由式(13)和式(14)計算得到，對應(yīng)的誤差曲線如圖3(b)、圖4(b)、圖5(b)、圖6(b)所示。圖3～圖6的頻率特性及逼近誤差曲線的比較表明，當(dāng)逼近階次n=5時，對不同的分?jǐn)?shù)階次α，無論是幅頻特性，還是相頻特性都能很好地逼近實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器的頻率特性。

表1和表2分別給出了在不同分?jǐn)?shù)階次α和逼近階次n下，有理分式逼近模型式(11)的幅、相頻特性曲線與實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器式(9)的幅、相頻率特性在逼近頻段內(nèi)的絕對誤差平均值，計算公式為

式中:ω0=ωb;ωH=ωh。

平均值越小說明逼近精確度越高。通過定量計算，進(jìn)一步驗(yàn)證了當(dāng)n=5時，幅頻特性絕對誤差平均值小于0.027 dB，相頻特性絕對誤差平均值小于0.16°，達(dá)到了比較滿意的逼近效果。由表1和表2還可以看出，用于逼近分?jǐn)?shù)階濾波器的有理分式逼近模型的階次n<5時，隨著逼近階次n的提高，幅、相頻率特性的絕對誤差平均值迅速減小，如圖7所示。雖然n=7時誤差也在減小，但其變化幅度已明顯下降。隨著逼近階次的提高，系統(tǒng)的零、極點(diǎn)增多，增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，同時對系統(tǒng)性能、運(yùn)算復(fù)雜性及實(shí)時控制等方面都會帶來一些不利因素。因此，當(dāng)采用式(11)來逼近具有式(9)形式的分?jǐn)?shù)階濾波器時，其最佳逼近階次n為5。

圖3 當(dāng)α=0.2，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.3 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.2，n=1，3，5，7)

圖4 當(dāng)α=0.4，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.4 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.4，n=1，3，5，7)

圖5 當(dāng)α=0.6，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.5 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.6，n=1，3，5，7)

圖6 當(dāng)α=0.8，n=1，3，5，7時的幅、相頻率特性曲線和誤差曲線Fig.6 Amplitude-and-phase-frequency characteristic and error curve(α =0.8，n=1，3，5，7)

圖7 隨n和α變化的幅、相誤差關(guān)系圖Fig.7 Amplitude and phase error diagram changing with n and α

表1 逼近模型與實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器幅頻特性絕對誤差平均值Table 1 The average of absolute error of amplitude-frequency characteristic of approximation model and practical fractional-order filters

表2 逼近模型與實(shí)際分?jǐn)?shù)階濾波器相頻特性絕對誤差平均值Table 2 The average of absolute error of phase-frequency characteristic of approximation model and practical fractional-order filters

3 結(jié)語

通過對Oustaloup算法進(jìn)行仿真分析及逼近誤差計算，給出了在選定頻段內(nèi)，在不同分?jǐn)?shù)階階次α及逼近階次n情況下的幅、相頻特性曲線，幅值、相位絕對誤差平均值隨α、n變化的柱狀圖。研究結(jié)果表明，在不同分?jǐn)?shù)階次α下，逼近模型的階次n<5時，逼近誤差隨著逼近階次的提高而迅速減小;當(dāng)n>5后，誤差隨階次提高而減小的程度明顯下降?？紤]到逼近階次越高，引入的零、極點(diǎn)也越多、運(yùn)算量也越大，不利于實(shí)時控制及系統(tǒng)特性改善，因此在應(yīng)用Oustaloup算法對分?jǐn)?shù)階濾波器進(jìn)行離散化時，其最佳的逼近階次為5。

［1］MACHADO J A T.Analysis and design of fractional－order digital control systems［J］.Systems Analysis Model Simulation，1997，27(2/3):107－122.

［2］KOMADA S，MACHII N，HORI T.Control of redundant manipulators considering order of disturbance observer［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2000，47(2):413 －420.

［3］LEE H S，TOMIZUKA M.Robust motion control design for high accuracy position system［J］.IEEE Transactions on Industrial E-lectronics，1996，43(1):48 －55.

［4］LUBICH C.Discretized fractional calculus［J］.SIAM Journal on Mathematical Analysis，1986，17(3):704 －719.

［5］OUSTALOUP A，LEVRON F，MATHIEU B，et al.Frequencyband complex noninteger differentiator:characterization and synthesis［J］.IEEE Transactions on Circuit and Systems-I:Fundamental Theory and Applications，2000，47(1):25 －39.

［6］樊玉華.分?jǐn)?shù)階干擾觀測器研究［D］.大連:大連交通大學(xué)電氣信息學(xué)院，2007:33－45.

［7］CHEN Yangquan.A new discretization method for fractional order differentiators via continued fraction expansion［C］//2003 ASME International Design Engineering Technical Conferences，September 2－6，2003，Chicago，USA.2003:1－9.

［8］NEWMAN D J.Rational approximation to|x|［J］.Michigan Mathematical Journal，1964(11):11 －14.

［9］王仁宏.有理函數(shù)逼近及其應(yīng)用［M］.2版.北京:科學(xué)出版社，2004:116－129.