離散伺服定位系統(tǒng)的復合非線性控制

程國揚， 彭可茂， 王惠

(1.福州大學電氣工程與自動化學院，福建福州 350108;2.新加坡國立大學Temasek實驗室，新加坡 117508)

0 引言

伺服定位系統(tǒng)在工業(yè)加工和裝配生產(chǎn)線中廣泛存在。典型的伺服定位系統(tǒng)，要求系統(tǒng)的輸出量能夠快速、平穩(wěn)且準確地進入目標位置的鄰域，即系統(tǒng)同時具有良好的瞬態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。為實現(xiàn)這個目標，需要引入反饋控制技術。目前已提出多種伺服控制方案［1］，其中應用最廣的為PID控制，包括常規(guī)的PID以及各種改進型 PID［2－3］。PID控制的優(yōu)點是結構簡單、容易實現(xiàn)，但由于它是一種單自由度結構的控制，其性能具有內(nèi)在的局限性，難以兼顧系統(tǒng)快速響應與低超調(diào)之間的矛盾。

文獻［4］提出一種基于線性反饋和非線性反饋的復合非線性反饋(composite nonlinear feedback，CNF)控制技術，其核心思想是通過加入非線性反饋來動態(tài)改變閉環(huán)極點的阻尼，以綜合輕阻尼系統(tǒng)的快速響應性能和重阻尼系統(tǒng)的低超調(diào)特性，從而實現(xiàn)快速平穩(wěn)的設定點跟蹤。但文獻［4］的CNF控制沒有考慮擾動因素的影響，當系統(tǒng)中存在擾動時，CNF控制下的系統(tǒng)輸出通常會有穩(wěn)態(tài)誤差。文獻［5－6］分別提出在CNF中嵌入積分控制和擾動估計的方法來消除常值擾動的影響，從而實現(xiàn)準確的定位。文獻［7］把CNF與近似時間最優(yōu)控制結合起來，以實現(xiàn)大范圍的準確定位。文獻［4－7］的設計都是在連續(xù)時間域內(nèi)，設計的控制器最終必須經(jīng)過離散化后才能在實際系統(tǒng)上實現(xiàn)，這種模擬化設計通常要求一個30倍閉環(huán)帶寬的離散采樣頻率，否則實際控制性能將出現(xiàn)較大的偏差，從而增加了設計和調(diào)試的工作量。在離散時間域上直接設計出數(shù)字控制器是一個更合理的選擇。文獻［8］給出了在離散時間域上帶有積分控制的CNF設計方法。當擾動值或參考目標有所變化時，積分控制造成系統(tǒng)瞬態(tài)性能惡化，往往需要重新整定參數(shù)才能恢復系統(tǒng)原來的瞬態(tài)性能。

本文在離散域CNF設計的基礎上，舍棄積分控制，采用一種擴展狀態(tài)觀測器來同時實現(xiàn)對系統(tǒng)未知狀態(tài)和未知擾動的準確估計，并用于反饋控制和擾動補償，以實現(xiàn)理想的伺服跟蹤性能，其性能對給定目標和擾動值的變化不敏感，從而有利于實際應用和推廣。

1 基于擾動觀測的離散復合非線性控制

復合非線性反饋控制包含一個擾動觀測和補償機制，以消除伺服系統(tǒng)中由擾動引起的靜態(tài)偏差。該方法保持了現(xiàn)有CNF控制方法的快速、平穩(wěn)和準確的性能，同時還具有很好的性能魯棒性，因而被稱為魯棒復合非線性反饋(robust composite nonlinear feedback，RCNF)控制。

典型的伺服控制系統(tǒng)是一個控制輸入飽和受限的單輸入單輸出系統(tǒng)，數(shù)學模型為

式中:x∈Rn;u∈R;y∈Rp，h∈R，w∈R 分別為狀態(tài)變量、控制輸入、測量輸出、受控輸出和擾動。A、B、C1、C2、E為定常矩陣。函數(shù)sat()為飽和限幅函數(shù)，定義為

假設系統(tǒng)滿足條件:

1)(A，B)可鎮(zhèn)定;

2)(A，C1)能觀;

3)(A，B，C2)可逆，并且在 z=1處無不變零點;

4)w是有界未知常值擾動;

5)h也是可測的，即它是測量輸出的一部分。

上述條件是跟蹤控制問題的標準假設條件?？刂圃O計的目的是使帶擾動的系統(tǒng)受控輸出h能盡快平穩(wěn)且無靜差地跟蹤參考輸入信號r。

由于假設擾動是某個常值w，有

將式(3)加入系統(tǒng)模型中，得到增廣系統(tǒng)為

RCNF控制律的設計步驟為:①設計線性反饋律;②設計非線性反饋律;③設計觀測器來估計不可量測的狀態(tài)信號和未知常值擾動;④綜合線性反饋、非線性反饋和觀測器形成完整的控制律。

1)首先假設所有的狀態(tài)變量和擾動都是可測量的。針對系統(tǒng)(1)設計一個帶有擾動補償?shù)木€性狀態(tài)反饋控制律為

其中F的選取應滿足以下條件:

1)A+BF漸近穩(wěn)定;

2)閉環(huán)傳遞函數(shù)C2(zI－A－BF)－1B具有某種期望特性。

F的設計準則是使閉環(huán)系統(tǒng)具有一對主導極點，且其具有較小的阻尼比。這將使閉環(huán)系統(tǒng)具有快速的響應。G和Fw分別選擇為

式(6)、式(7)中矩陣求逆的可行性是有保證的，因為已假設(A，B，C2)可逆且在z=1處無不變零點。式(6)、式(7)的取值可保證在線性控制律(5)的作用下，系統(tǒng)輸出量h將漸近趨向于參考目標r。

2)選擇一個正定矩陣W∈Rn×n，求解Lyapunov方程為

得到一個正定矩陣P，由于A+BF漸近穩(wěn)定，此解總是存在的。

式中xe是系統(tǒng)狀態(tài)向量x(k)的穩(wěn)態(tài)目標值，且可以驗證C2xe=r。RCNF的非線性反饋律為

式中ρ(e(k))是誤差e(k)=h(k)－r的非線性增益函數(shù)，用來逐漸改變閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比，以得到一個較好的跟蹤性能。

3)設計一個降階觀測器來估計不可量測的狀態(tài)變量和未知的擾動。為簡單起見，假設在系統(tǒng)(1)的測量輸出矩陣為

相應地，增廣系統(tǒng)(4)可被分割為

顯然，x1即為測量輸出y，所以僅需估計x2和w。

定義

選擇觀測器增益矩陣K，將+K A12的特征值配置在z平面以原點為中心的單位圓內(nèi)。

得到的降階觀測器方程［8］為

4)將線性反饋律、非線性反饋律和降階觀測器合并成最終的控制器，其中，不可量測的狀態(tài)變量和未知擾動被各自的估計值代替。

基于觀測器(11)的離散RCNF控制律為

2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

控制律(11)、(12)能解決系統(tǒng)(1)的定點跟蹤問題。為便于推導，對反饋增益陣F和Fn進行分解，使其與x1和x2相一致，即

選取一個正定矩陣 WQ∈R(n－p+1)×(n－p+1)，滿足

求解關于正定矩陣Q的Lyapunov方程為

定理1 考慮式(1)給出的系統(tǒng)，其中未知擾動w的幅值以某個非負常數(shù)τw為界，即。在下列條件全部滿足的情況下，存在一個常數(shù)ρ^>0，使得對于滿足的任一平滑非正函數(shù)ρ(e(k))，由式(11)和式(12)構成的RCNF控制律能使系統(tǒng)的受控輸出h(k)漸近無靜差地跟蹤定值參考目標r:

1)存在正常數(shù)δ∈(0，1)和cδ>0滿足

為了表達簡單，省略非線性函數(shù)ρ(e(k))的參數(shù)e(k)，并且在不引起混淆的情況下省略時間索引(k)。

可驗證式(20)成立，為

則系統(tǒng)的誤差動態(tài)方程可表示為

根據(jù)控制信號 u的幅值范圍，由式(19)和式(22)，v可以表示為

顯然對所有可能的情況v均可以寫為

需要證明當初始條件x0、xv0，參考目標r和擾動w滿足定理中的限制條件時，誤差動力學方程(26)是漸近穩(wěn)定的。

即系統(tǒng)輸出h(k)漸近無靜差地跟蹤參考目標r。

定理1證畢。

由式(26)的誤差動力學方程可以看出:閉環(huán)系統(tǒng)的特征根可隨ρ(e(k))和矩陣P而改變，而P由W陣來決定。通過合理選擇W和ρ(e(k))的參數(shù)，可以調(diào)整控制律從而改進閉環(huán)系統(tǒng)的響應?？偟膩碚f，應選擇一個合適的矩陣W>0陣和ρ(e(k))，以使得在穩(wěn)態(tài)(e(k)=0)時閉環(huán)系統(tǒng)具有一對較大阻尼比的主導極點。這將有助于抑制系統(tǒng)輸出響應的超調(diào)量。W的選擇不是唯一的。一種可行的方法是把W陣限定為對角正定陣，并通過仿真來調(diào)整對角元素的值。

選取ρ(e(k))的一般準則是:它是關于e(k)的平滑非正函數(shù)，且 ρ(e(k))∈［－2/(BTPB)，0］。一種可行的但不是唯一的選擇為

ρ(e(k))= －β/(BTPB)sech(α α0e(k))， (31)式中0≤α;0≤β≤2;sech()是雙曲正割函數(shù)，sech(x)=2［exp(x)+exp(－x)］，顯然0

當h趨近于r時，ρ(e(k))將從－β/(BTPB)×sech(α)逐漸減小到 －β/(BTPB)。參數(shù) α 可調(diào)節(jié)ρ(e(k))的變化率。

3 仿真研究

將系統(tǒng)模型按采樣周期Ts=0.01s進行基于零階保持器的離散化，得到如式(1)所示的離散狀態(tài)空間模型，對應的系數(shù)矩陣為

選擇一對閉環(huán)極點的阻尼比為0.4，自然頻率為π，從而得到線性反饋控制律(5)中的參量為

由于 B=E，可知Fw= －1，Gw=0。

選取矩陣W為對角陣diag(100，1)，得到非線性反饋律(10)中各矩陣為

非線性增益函數(shù)為

其中參數(shù)α0按式(32)計算。

將系統(tǒng)按式(4)增廣后設計一個降階觀測器來估計狀態(tài)變量和擾動信號。把觀測器的極點按Butterworth模式配置，其截止頻率選為采樣頻率的10%，得到觀測器增益矩陣為

相應地，根據(jù)式(11)可得觀測器方程為

最終的離散RCNF控制律為

為了進行比較，按照文獻［8］提出的基于誤差積分的增強復合非線性反饋(enhanced composite nonlinear feedback，ECNF)控制方案設計控制器為

RCNF控制器和ECNF控制器的控制信號需經(jīng)過飽和限幅后才能進入系統(tǒng)的輸入端。2個控制器都在r=0.1和w=－0.2的標稱情況下進行參數(shù)整定，確保其具有優(yōu)越的性能:2%調(diào)節(jié)時間為1 s，超調(diào)量很小。隨后，分別改變參考目標r和擾動w的值，在Matlab/SIMULINK環(huán)境下進行仿真比較。仿真結果如圖1～圖3所示。可以看出:在各種條件下，2個控制器都能實現(xiàn)對參考目標的漸近無靜差跟蹤，即穩(wěn)態(tài)誤差為零，同時控制量u穩(wěn)態(tài)趨向于擾動的相反值，剛好抵消擾動信號;但標稱情況下具有良好性能的ECNF控制器對參考目標和擾動的變化非常敏感，其瞬態(tài)性能發(fā)生很明顯的惡化;而RCNF控制器在各種目標或擾動值下的性能基本保持不變。圖1中RCNF控制器在3種目標值下的調(diào)節(jié)時間都在1 s左右，無明顯超調(diào)。圖2中RCNF控制器在3種擾動值下的系統(tǒng)輸出響應曲線幾乎重合在一起。圖3表明在控制信號飽和情況下(w=－0.2)，RCNF控制器仍具有良好的性能，盡管其調(diào)節(jié)時間隨參考目標的增大略有增加。綜合以上結果，RCNF控制器可以在不同的擾動和目標值條件下正常工作，即其性能具有較好的魯棒性。

圖1 仿真結果(w=－0.2，r=0.05，0.1，0.2)Fig.1 Simulation results for w= －0.2 and r=0.05，0.1，0.2

圖2 仿真結果(r=0.1，w=0.2，－0.2，－0.6)Fig.2 Simulation results for r=0.1 and w=0.2，－0.2，－0.6

圖3 控制信號飽和時的仿真結果Fig.3 Simulation results in case of control saturation

4 結語

本文提出了一種離散時間復合非線性反饋控制方案，用于實現(xiàn)快速和準確的定點跟蹤?？刂坡梢詮秃戏蔷€性反饋控制為主體，利用擴展狀態(tài)觀測器來估計系統(tǒng)狀態(tài)和擾動信號并進行補償。在一個典型的雙積分伺服系統(tǒng)上進行仿真研究并與基于積分控制的CNF控制方案進行比較。結果表明:提出的控制方案可以實現(xiàn)快速、平穩(wěn)和準確的伺服定位，且其性能具有更好的魯棒性。進一步的研究工作將考慮時變的擾動信號。

［1］劉強.高性能機械伺服系統(tǒng)運動控制技術綜述［J］.電機與控制學報，2008，12(5):603－609.

LIU Qiang.Survey on motion control technologies of high performance mechanical servo systems［J］.Electric Machines and Control，2008，12(5):603－609.

［2］ANG K H，CHONG G，LI Y.PID control system analysis，design，and technology［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2005，13(4):559－576.

［3］SERAJI H.A new class of nonlinear PID controllers with robotic applications［J］.Journal of Robotic System，1998，15(3):161 －181.

［4］CHEN B M，LEE T H，PENG K M，et al.Composite nonlinear feedback control for linear systems with input saturation:theory and an application［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48(3):427－439.

［5］PENG K M，CHEN B M，CHENG G Y，et al.Modeling and compensation of nonlinearities and friction in a micro hard disk drive servo system with nonlinear feedback control［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2005，13(5):708－721.

［6］CHENG G Y，PENG K M.Robust composite nonlinear feedback control with application to a servo positioning system［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2007，54(2):1132－1140.

［7］程國揚，曾佳福.快速定位伺服系統(tǒng)的控制器設計［J］.電機與控制學報，2009，13(1):52－56.

CHENG Guoyang，ZENG Jiafu.Controller design for fast servo postioning systems［J］.Electric Machines and Control，2009，13(1):52－56.

［8］PENG K M，CHENG G Y，CHEN B M，et al.Improvement of transient performance in tracking control for discrete-time systems with input saturation and disturbances［J］.IET-Control Theory＆Applications，2007，1(1):65－74.