探究變與不變的本質(zhì)　實(shí)施數(shù)學(xué)深度教學(xué)

夏愛玉

【摘要】數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要引發(fā)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，需要教師以整體視野來教學(xué)，突破一節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)的局限，通過對(duì)“變”與“不變”的思考，采用有效的方式幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，在“變化”之中探究“不變”，在“不變”之中明晰“變”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)共性的不變，尋找不變之中蘊(yùn)含的變化的規(guī)律，以教學(xué)“商不變規(guī)律”為例，從最初的僅僅注視除法運(yùn)算的一角，到發(fā)散開來引發(fā)學(xué)生對(duì)積、和、差不變的規(guī)律的思考，不僅僅更加牢固掌握商不變的規(guī)律，還學(xué)會(huì)觀察、分析、猜想、驗(yàn)證的方法，學(xué)會(huì)了“變”和“不變”的辯證思考，更學(xué)會(huì)了對(duì)事物的積極探究態(tài)度。

【關(guān)鍵詞】變與不變;商不變的規(guī)律;深度學(xué)習(xí)

“商不變規(guī)律”一課是義務(wù)教育教科書蘇教版國(guó)標(biāo)本四年級(jí)上冊(cè)《數(shù)學(xué)》第23頁(yè)的教學(xué)內(nèi)容。這一課安排在第二單元《兩三位數(shù)除以兩位數(shù)》的第7個(gè)例題，是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾十、幾百幾十除以整十?dāng)?shù)的口算、兩三位數(shù)除以兩位數(shù)的筆算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，這是為了加深學(xué)生對(duì)除法運(yùn)算的理解，也是為了進(jìn)一步學(xué)習(xí)被除數(shù)和除數(shù)末尾有0的除法提供依據(jù)。但是用簡(jiǎn)便方法計(jì)算被除數(shù)和除數(shù)末尾都有0的除法時(shí)，余數(shù)的情況相對(duì)比較復(fù)雜，學(xué)生理解起來是有一定的困難，也是這一部分內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)。如果這一課僅僅停留在對(duì)“商不變”的掌握的層面，一是會(huì)對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移，二是不容易培養(yǎng)學(xué)生思維的深度。

這一部分內(nèi)容看似淺顯易懂，其實(shí)內(nèi)容豐富，怎樣能讓學(xué)生有更多的收獲，激發(fā)學(xué)生更深度的思考？本課重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)商不變，那不變之中，有沒有變的呢？以“變”和“不變”為主線，梳理教學(xué)內(nèi)容，理清教學(xué)的脈絡(luò)，既能有利于學(xué)生建立系統(tǒng)的認(rèn)知，又能有利于學(xué)生辯證分析深度思考。因此，筆者對(duì)這一部分的教學(xué)做了以下研究。

一、探究新知，感受“變”中的“不變”

學(xué)生對(duì)于事物的認(rèn)知往往是從區(qū)分事物開始，在比較中進(jìn)一步分析與思考。在眾多紛繁的“變化”中發(fā)現(xiàn)“不變”的內(nèi)容，從而產(chǎn)生猜想和驗(yàn)證。

課堂開始，呈現(xiàn)一組組算式，不同的算式，被除數(shù)和除數(shù)都在變，但是無論怎么變，商都是不變的，讓學(xué)生在不斷地變化中，感受不變，產(chǎn)生“商不變”的猜想，進(jìn)而主動(dòng)列舉更多變化的算式來驗(yàn)證猜想，求證不變。

出示了課本第23頁(yè)的例題，但是又有所不同，見下表。

被除數(shù) 除數(shù) 除法算式 商

100 20 100÷20 5

100×2 20×2 200÷40 5

100×4 20×4

100÷2 20÷2

100÷4 20÷4

100×（? ? ） 20×（? ） 5

100÷（? ? ） 20÷（? ） 5

表格的前5行呈現(xiàn)給學(xué)生的是大量的“變化”被除數(shù)和除數(shù)，讓學(xué)生反復(fù)書寫計(jì)算得出的商都是 “不變”的。在大量的被除數(shù)和除數(shù)的“變化”狀態(tài)下，凸顯了商“不變”，不僅僅進(jìn)一步鞏固了除法口算，還對(duì)被除數(shù)和除數(shù)的變化有了初步的感知。然后增加了最后的兩行，既能引發(fā)學(xué)生自己探究規(guī)律，又能搜集學(xué)生對(duì)于這題例舉的猜想驗(yàn)證的算式，以作為教學(xué)資源。這樣的教學(xué)，使學(xué)生對(duì)各道除法算式的觀察中感受到了認(rèn)識(shí)世界的一般方法，在被除數(shù)和除法的變化之中發(fā)現(xiàn)商不變的規(guī)律。

二、回首新知，找尋“不變”中的“變”

當(dāng)學(xué)生自主探究，大量舉例驗(yàn)證了猜想的時(shí)候，“不變”已經(jīng)成了學(xué)生研究的重點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生自信已經(jīng)弄懂商不變規(guī)律的時(shí)候，且沉浸在學(xué)會(huì)又“迷信”新知中，教師反問學(xué)生：不變之中，有沒有變的？把學(xué)生的思緒從“不變”中拉回來，學(xué)會(huì)審視新知。

師：剛才這些算式，都是符合“商不變規(guī)律的”，商是“不變”的，那有沒有其他變化的？

生：被除數(shù)和除數(shù)在變。

師：怎么變？

生：同時(shí)乘或者除以一個(gè)相同的數(shù)（0除外）。

師：如果被除數(shù)和除數(shù)“不同時(shí)”變，會(huì)怎樣？我們來看看這題：

540÷18=300

54÷18=（ ）

5400÷18=（ ）

生：除數(shù)不變，被除數(shù)除以10，商除以10;被除數(shù)乘10 ，商也就乘10。

師：是這樣的嗎？請(qǐng)你們自己小組內(nèi)舉例看看是不是這樣的。

生舉例驗(yàn)證。

師：有反例嗎？要注意什么？

……

師：剛才我們是假定除數(shù)不變，如果被除數(shù)擴(kuò)大到原來的10倍，商就“隨著”擴(kuò)大到原來的10倍。如果被除數(shù)縮小到原來的，商就“隨著”縮小到原來的。那如果“被除數(shù)”不變呢？你能舉一些例子嗎？

生：我舉的例子是——

54÷18=3

54÷9=6

54÷54=1

我發(fā)現(xiàn)了如果被除數(shù)不變，除數(shù)除以2，商就乘2;如果除數(shù)乘3，商就反而除以3。

師：其他同學(xué)，你們舉的例子也是這樣的嗎？小組內(nèi)交流。

學(xué)生小組交流。

師：他的發(fā)言中，說到被除數(shù)不變的時(shí)候，除數(shù)變化了，提到一個(gè)詞說商怎么變的？

生：反而。

師：是的，這個(gè)詞說明當(dāng)被除數(shù)不變的時(shí)候，商和除數(shù)變化的情況剛好相反。剛才都是假定被數(shù)數(shù)不變或者除數(shù)不變，如果這兩個(gè)數(shù)“同時(shí)”變，但是變的大小不相同呢？出示：

100÷2=（? ）

（100÷5）÷（2×5）=（? ?）

（100÷5）÷（2÷2）=（? ?）

（100×5）÷（2×2）=（? ?）

（100÷5）÷（2×2）=（? ?）

（100×5）÷（2÷2）=（? ?）

師：這時(shí)候商變了嗎？

生：變了。

師：這時(shí)候商的變化很大，比之前舉的例子更復(fù)雜，后面的練習(xí)課上我們會(huì)繼續(xù)研究。

考慮到本課是新授課，主要是讓學(xué)生初步感知“不變”之中“有變”，而且是有規(guī)律地變。這里做了探究，借著這樣的設(shè)計(jì)拓寬學(xué)生的視野，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考。

三、遷移新知，發(fā)現(xiàn)不同運(yùn)算中的“變”與“不變”

“變”和“不變”可以說是無處不在的。在除法中有，在乘法、加法、減法之中也有嗎？作為教師對(duì)這些問題可以清楚回答，但是引導(dǎo)學(xué)生能自己提出這樣的問題思考才顯得更有價(jià)值。為了能進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深入體會(huì)“變”和“不變”的普遍性，筆者是這樣設(shè)計(jì)的。

師：今天我們學(xué)習(xí)了什么？

生：商不變的規(guī)律。

師：具體說說看。

生：被除數(shù)……

師：非常流暢，這個(gè)規(guī)律很容易弄懂，你們還有問題嗎？

生：沒有。

師：我有一個(gè)問題，“商”不變的規(guī)律，“積”呢？有“積”不變的規(guī)律嗎？

生：沒有——（整齊劃一）

師：是真的嗎？

學(xué)生靜下來了，有一個(gè)學(xué)生叫了：不對(duì)，有的，10×10=100;把第一乘數(shù)乘2，第二個(gè)乘數(shù)除以2，商還是100。（老師板書）

（10×2）×（10÷2）=100（全班認(rèn)同）

師：其他同學(xué)也能舉個(gè)這樣“積不變的規(guī)律”的例子嗎？

學(xué)生紛紛舉例，匯報(bào)。

師：乘法算式中的第一個(gè)乘數(shù)和第二個(gè)乘數(shù)是怎么變的呢？也是“同時(shí)”“乘或者除以”“相同”的一個(gè)數(shù)嗎？

生：是“相同”的一個(gè)數(shù)，但是一個(gè)“乘”，一個(gè)要“除”。

師：“除”和“除以”的含義不一樣，你的意思是當(dāng)?shù)谝粋€(gè)乘數(shù)“乘幾”，第二個(gè)乘數(shù)就“除以幾”，是嗎？

生：是的，乘和除以的數(shù)是相同的，也是“同時(shí)”變的，只是一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大了，一個(gè)乘數(shù)縮小了。

師：乘或者除以的這個(gè)“相同”的數(shù)，可以為0嗎？

生：也不能，如果為0，那積就是0，而原來的算式10×10不等于0。

生：還有，第二個(gè)乘數(shù)不能除以0，0不能作除數(shù)。

師：是呀，乘法算式中，第一個(gè)乘數(shù)乘幾，第二個(gè)乘數(shù)就除以幾，（0除外），得到的積就不變。那么加法算式中，有和不變規(guī)律嗎？

生：有，10+10=20，（10+1）+（10-1）=20。

生：也是與“積不變”的規(guī)律很像。第一個(gè)加數(shù)加幾，第二個(gè)加數(shù)就減去幾，（0除外），得到的積不變。

師：兩個(gè)加數(shù)加上或者減去的數(shù)不可以為0嗎？

生：嗯，是的。

生：不是的，可以為0，你們看（10+0）+（10-0）=20，加上0或者減去0還是原來的加數(shù)。

師：乘法的積、加法的和，你們分別探究得到了規(guī)律，還想到了什么？

生：差不變的規(guī)律。

師：有嗎？誰(shuí)舉個(gè)例子。

生：100-80=20;（100-50）-（80-50）=20。

師：對(duì)不對(duì)？被減數(shù)和減數(shù)是怎么變的？

生：同加同減。

師：能同乘同除以一個(gè)數(shù)嗎？

生：不行，10×10+10×10=200，10÷10+10÷10=2，都發(fā)生改變了。

以這樣整體視野來教學(xué)，突破一節(jié)課的局限，打通知識(shí)之間的聯(lián)系，在“變化”之中發(fā)現(xiàn)“不變”，在“不變”之中明晰“變”，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)共性的不變，尋找變化的規(guī)律，讓思維在“變”與“不變”之中穿梭，從最初的僅僅注視除法運(yùn)算的一角，到發(fā)散開來，發(fā)現(xiàn)積、和、差不變的規(guī)律，學(xué)生不僅更加牢固掌握“商不變”的規(guī)律，學(xué)會(huì)的觀察、分析、猜想、驗(yàn)證的方法，學(xué)會(huì)了“變”和“不變”的辯證思考，更學(xué)會(huì)了對(duì)事物的積極探究態(tài)度。

一節(jié)數(shù)學(xué)課如果能讓學(xué)生產(chǎn)生積極的數(shù)學(xué)思考，而不是僅僅局限于知識(shí)本位的教學(xué)，才是真正的數(shù)學(xué)教學(xué)意義所在，不僅是借助數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)關(guān)系來吸引學(xué)生，更是啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓數(shù)學(xué)課堂彰顯思考的魅力。

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