淺議均值不等式在高等數(shù)學中的應(yīng)用

摘 要：在高中數(shù)學的教學環(huán)節(jié)當中，均值不等式是其教學中的重點內(nèi)容，對于我們高中生來說，其也是學習的難點。均值不等式在高中數(shù)學當中有著極為廣泛的應(yīng)用，能夠有效幫助我們解決一些難題，簡化解題過程。事實上，均值不等式在高中數(shù)學的學習過程中以及高等數(shù)學中都有較為廣泛的應(yīng)用，能夠有效幫助證明高等數(shù)學中的一些基本概念及定理。本文就以均值不等式在高等數(shù)學中的應(yīng)用進行研究，以進一步明確均值不等式在高等數(shù)學中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：均值不等式；高等數(shù)學；應(yīng)用

引言：均值不等式在高等數(shù)學的學習過程當中有著非常重要的作用，相對于高等數(shù)學中的一些概念及定理來說，傳統(tǒng)的解題方式以及我們現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)都很難按照數(shù)學要求來證明高等數(shù)學中的部分公式及定理。然而，通過運用均值不等式，能夠有效幫助我們化解公式和證明中的各種難題，同時能夠引導我們更好的利用題設(shè)條件，并對題目中所給出的條件進行適當?shù)淖冃翁幚恚俳Y(jié)合湊整法以及構(gòu)造函數(shù)等多種解題方式，從而不斷開拓我們的解題思路，簡化高等數(shù)學中一些存在難度的題目，幫助我們更好的掌握高等數(shù)學中的知識及概念。

一、均值不等式的重要性

在高等數(shù)學的學習過程中我們會發(fā)現(xiàn)，極限概念在高等數(shù)學知識體系中有著非常重要的地位。高等數(shù)學中的很多重要的概念，都是通過極限的思想來定義的。而人們在運用極限思想的過程中用到了均值不等式，并在均值不等式的基礎(chǔ)上來證明極限定理，以證明極限的存在性及極限是否有意義。在高等數(shù)學的學習過程中，有很多運用均值不等式的題目，借助均值不等式的解題思路，可以簡化高等數(shù)學的解題步驟。因而在高等數(shù)學的學習過程中，則要求我們能夠?qū)W會應(yīng)用均值不等式來解決相應(yīng)的數(shù)學題目，要能夠充分理解均值不等式的含義，抓住關(guān)鍵的題型，掌握解題技巧，進而在解題的過程中，適當?shù)囊刖挡坏仁絹砗喕忸}的步驟[1]。在高等數(shù)學的解題過程中，除了用均值不等式來證明相關(guān)的公式定理，同時還能夠利用均值不等式來解決高等數(shù)學中的一些相關(guān)題目。

二、均值不等式的運用

（一）證明高等數(shù)學中的公式

均值不等式的應(yīng)用范圍較廣，其在高等數(shù)學中極限的定義及公式定理的證明過程中都有著極其重要的作用。在高等數(shù)學中有兩個重要的極限，在對其進行證明的過程中需要運用均值不等式。

例如，n無限趨近于無窮，1+1/n的n次方等于e，在判斷該重要極限是否存在的證明過程中，首先要證明數(shù)列1+1/n的n次方是單調(diào)遞增的。在這里，我們可以令a1=a2=a3=……=an=1+1/n，a（n+1）=1，則由均值不等式，我們就可以得出，1+1/n的n次方是小于1+1/（n+1）的n+1次方的，如此，我們就可以證明函數(shù)1+1/n的n次方是單調(diào)遞增的函數(shù)。除了利用均值不等式來證明該極限是單調(diào)遞增的之外，我們還可以利用均值不等式證明1+1/n的n次方這個函數(shù)是有上界的。利用均值不等式來證明該函數(shù)的上界，就能夠得到該函數(shù)的極限即能達到的最大值e。在此類題目的證明過程當中，則要求我們能夠掌握基本的推導能力，在均值不等式的運用過程當中，我們要根據(jù)證明的公式及定理不斷調(diào)整均值不等式的形式，進而使得高等數(shù)學中大部分的公式定理能夠得到有效的證明。

除了利用均值不等式來證明高等數(shù)學中的公式及定理之外，其在高等數(shù)學的積分不等式證明過程當中也有非常重要的作用[2]。通過對函數(shù)的積分，結(jié)合函數(shù)的定義域，進而將其區(qū)間進行n等分，并取極限，以達到證明的目的。

（二）解高等數(shù)學中的題目

在高等數(shù)學的解題過程當中，有很多題目需要運用到均值不等式，利用均值不等式能夠有效減少解題的步驟，同時讓解題過程更加清晰、明確，便于我們理解和領(lǐng)悟。

例如，某廠用鐵板做成一個體積為8立方米的有蓋長方體水箱，問長寬高各取多少時才能夠用料最?。吭谶@個題目當中，首先我們已經(jīng)知道了長方形的體積為8立方米，事實上，在計算過程當中，我們需要算出這個長方體水箱的表面積，那么我們可以設(shè)置一個長方形的水箱，長為x米，寬為y米，則其高應(yīng)該為8/（xy）米，結(jié)合長方體表面積計算公式，我們可以構(gòu)造出一個關(guān)于x和y的新函數(shù)，這就是目標函數(shù)。在這個函數(shù)當中，我們可以通過對函數(shù)進行求導，再結(jié)合均值不等式以判斷x和y能夠取到的最小值，最后的計算結(jié)果為，當長寬高相等時即一個邊長為2米的正方體，用料最省。利用均值不等式進行解題，能夠快速得出答案，同時能夠有效簡化解題步驟，有效增強我們的學習效果。

三、結(jié)束語

總之，均值不等式在整個數(shù)學知識的學習過程當中有著非常重要的地位，借此能夠解決很多的數(shù)學題目。在高等數(shù)學的學習過程當中，利用均值不等式能夠幫助我們進一步加強對相應(yīng)公式定理的理解和記憶，同時能夠簡化公式定理的證明步驟和過程。

參考文獻：

[1]章國鳳.均值不等式在高等數(shù)學中的應(yīng)用[J].廣西教育學院學報，2008（05）：151-153.

[2]常軒瑞.淺談平均值不等式的應(yīng)用[J].中華少年，2017（02）：178-179.

作者簡介：鮑振甲 性別：男 民族：滿 出生日期：2001年5月。