核心素養(yǎng)視野下一道中考壓軸題的分析與啟示

摘要：中考壓軸題在一定程度引導(dǎo)著教師的教和學(xué)生的學(xué)。陜西省2017年中考數(shù)學(xué)25題區(qū)別于前幾年的陜西中考題，不再以純數(shù)學(xué)知識為載體進(jìn)行考察，增加了對核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)建模”的落實。基于此，筆者提出以下教學(xué)建議：教師在教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)調(diào)整教學(xué)比重，不僅關(guān)注純數(shù)學(xué)問題的求解，還應(yīng)注重實際問題的解決能力，樹立模型意識;教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會同一個數(shù)學(xué)思想在不同知識點、不同方法中是如何滲透的，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)思想;思維品質(zhì)

中圖分類號：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）12-0101

中考數(shù)學(xué)壓軸題綜合性強(qiáng)，涉及的知識點多，對不同水平的學(xué)生進(jìn)行區(qū)分和選拔，在中考中舉足輕重。筆者針對陜西省2017數(shù)學(xué)中考題25題略談粗淺認(rèn)識，不當(dāng)之處請指正。

一、試題呈現(xiàn)

（2017年陜西數(shù)學(xué)中考題第25題）

問題提出

1. 如圖1，△ABC是等邊三角形，AB=12。若點O是△ABC的內(nèi)心，則OA的長為_______。

問題探究

2. 如圖2，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18。如果點P是AD邊上一點，且AP=3，那么BC邊上是否存在一點Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長;若不存在，請說明理由。

問題解決

3. 某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對的劣弧圍成的草地組成，如圖3所示。管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后他想只用噴灌龍頭來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時，既要能確保草坪的每個角落都能澆上水，又能節(jié)約用水。于是，他讓主噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB（即每次噴灌時噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB，然后再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌），同時，再合理設(shè)計好噴灌龍頭噴水的射程就可以了。如圖3，已測出AB=24m，MB=10m，△ABM的面積為96m2;過弦AB的中點D作DE⊥AB交弧AB于點E，又測得DE=8m。

請根據(jù)以上提供的信息，幫助王師傅計算噴灌龍頭射程至少多少米時，才能實現(xiàn)他的想法？為什么（結(jié)果保留根號或精確到0.01米）？

二、解題過程分析

第1問：考查等邊三角形的內(nèi)心，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理解得：[43]。

第2問：如圖4：

連接AC、BD相交于點O，連接PO并延長交BC于點Q。則線段PQ將矩形ABCD的面積平分。

∵點O為矩形ABCD的對稱中心，CQ=AP=3。過點P作PM⊥BC于點M，PQ=[122]。

點評：考查平行四邊形的中心對稱是典型的面積平分問題，以往平分面積是定性分析，而這道題是定量計算，在這一細(xì)節(jié)上稍提升難度，高于平時練習(xí)。

第3問：如圖5，作射線ED，

∵AD=BD，ED⊥AB，弧AB為劣弧，∴弧AB所在圓的圓心在射線ED上。

假設(shè)圓心為O，半徑為r，連接OA，則r2=122+（r-8）2，

解得：r=13，∴OD=5。

過點M作MN⊥AB物N，

∵[S?ABM=96，AB=24]，∴[MN=8，NB=6，AN=18，]

∵[△ADC～?ANM]，∴[DC8=1218]?！郲DC=163]?！郲OD

∴[O在?AMB內(nèi)部]。

連接[MO]并延長交弧[AB]于點[F]，則[MF]為草坪上的點到[M]的最大距離。

在弧[AB]上任取一異于點[F]的點[G]，連接[GO、GM]，

∴[MF=FO+OM=GO+OM>GM.]

過[O]作[OH⊥MN]，垂足為[H]，則[OH=DN=6]，[MH=3]。

由勾股定理得：[OM=35]。

∴[MF=MO+r=35+13]。

∴噴灌龍頭的射程至少[35+13]米（約為19.71米）。

點評：第3問的基本思路：一找二算。對于如1、2問之后，自然在解法思路上有一些相通之處，提煉出前兩問的共同之處，關(guān)鍵的線段都和中心點（內(nèi)心或?qū)ΨQ中心）有關(guān)系，于是第3問，聯(lián)想到利用圓心找最短距離。最短距離是直徑的一部分，這樣思路就打開了。在最短距離的計算中，前兩問共同之處用到了勾股定理，那么第3問能否應(yīng)用勾股定理解決. 如何計算最短距離，圓中計算，基本量就是半徑r，如此解題思路便越來越清晰。本題要用到勾股定理、相似三角形、等面積法等知識，綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了中考命題原則中的“選拔”。

本題前兩問考查基礎(chǔ)知識和基本技能，關(guān)注不同學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況。第3問有一定難度，滲透考查數(shù)學(xué)基本思想：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模，是核心素養(yǎng)中最重要的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。在計算最短距離中考查了數(shù)學(xué)運算、直觀想象。

作為壓軸題，該題區(qū)別于前幾年陜西的25題，以往以純數(shù)學(xué)知識為載體進(jìn)行考察，而該題以實際問題為背景，學(xué)生首先要能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：要能找到“噴灌龍頭最短射程就是線段FM的長度”，這是該題的難點，也是題目的創(chuàng)新之處。導(dǎo)向到對數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和意識的培養(yǎng)上，立意新數(shù)學(xué)味道濃厚且具生活氣息，有較高的區(qū)分度。對深化數(shù)學(xué)課程改革有很好的引領(lǐng)作用，是本次試題的亮點。

三、教學(xué)啟示

中考數(shù)學(xué)試題一方面檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，另一方面指導(dǎo)教師的數(shù)學(xué)教學(xué)。通過分析該題目，筆者對初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出以下建議。

1. 樹立模型意識，提高問題解決能力

本題一改往年陜西25題的純數(shù)學(xué)背景，立足民生，以城市街角的草坪灌溉為背景，綜合初中數(shù)學(xué)知識設(shè)計問題。考查“從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型”的能力，這一導(dǎo)向體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的最終目的，即服務(wù)于生活，也是對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實。

每年中考試題有一部分題目，雖然題型和考查方式較為固定，學(xué)生也練習(xí)過大量的類型題，但這些題依然丟分，比如三角函數(shù)、相似三角形、一次函數(shù)等相關(guān)的應(yīng)用題。如果以其他數(shù)學(xué)知識作為載體設(shè)計實際問題，或?qū)ΤＲ?guī)應(yīng)用題進(jìn)行變動，學(xué)生的得分率會更低，說明學(xué)生解決實際問題能力較弱，問題解決能力需要提高。

中考是初中教學(xué)的指揮棒，特別是中考壓軸題，一定程度引導(dǎo)著教師的教和學(xué)生的學(xué)。本題旨在提醒一線數(shù)學(xué)教育者應(yīng)適當(dāng)調(diào)整教學(xué)比重，不僅要關(guān)注純數(shù)學(xué)問題的求解，還應(yīng)注重數(shù)學(xué)應(yīng)用，幫助學(xué)生樹立數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。在日常教學(xué)中，注重引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景，針對每一個知識點，盡可能創(chuàng)造生活情境，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)知識，整合數(shù)學(xué)信息，在解決實際問題的教學(xué)中提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，最終提高數(shù)學(xué)建模能力。

2. 滲透數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是保障數(shù)學(xué)學(xué)科育人的關(guān)鍵，是在數(shù)學(xué)知識技能的學(xué)習(xí)過程中形成的，是在滲透數(shù)學(xué)思想中發(fā)展的。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析。數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模反映的是數(shù)學(xué)基本思想，也是最基本的素養(yǎng)。

教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，理解和掌握數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注知識的發(fā)生和發(fā)展過程，注重解題的思路來源，加強(qiáng)變式訓(xùn)練，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)化。一題多解，多題歸一，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，提煉出數(shù)學(xué)思想。在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，設(shè)置數(shù)學(xué)思想專題課，用數(shù)學(xué)思想統(tǒng)領(lǐng)全局，引導(dǎo)學(xué)生體會同一個數(shù)學(xué)思想在不同知識點、不同方法中是如何滲透的，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，獲得良好的數(shù)學(xué)教育。

參考文獻(xiàn)：

[1] 教育部. 數(shù)學(xué)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2] 李蕙萱. 建構(gòu)主義觀點下的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究與實踐[D]. 福建師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2003.

[3] 丁力民. 上海中考數(shù)學(xué)試卷中數(shù)學(xué)思想方法的分析與啟示[D]. 上海師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2016.

[4] 何 勇，曹廣福. 數(shù)學(xué)課堂如何兼顧學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)與應(yīng)試能力[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2014（4）.

作者簡介：成鳴娟：女，31歲，陜西渭南人，中教一級。本科畢業(yè)于陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)，碩士畢業(yè)于陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)。潛心鉆研教學(xué)，參與完成西安市基礎(chǔ)教育科研“十二五”規(guī)劃小課題《優(yōu)化數(shù)學(xué)課外作業(yè)切實減輕學(xué)生過重負(fù)擔(dān)研究》。主持一項陜西省規(guī)劃課題《初中生數(shù)學(xué)遷移能力的培養(yǎng)研究》，參與一項西安市規(guī)劃課題《學(xué)科教學(xué)中弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化案例研究》，兩項課題正在研究中。

在第二十八屆中學(xué)“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽中獲“數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員”稱號;《函數(shù)的概念》在第14屆全國中青年教師教學(xué)設(shè)計評選活動中榮獲一等獎;《求解二元一次方程組》在第14屆全國中青年教師優(yōu)質(zhì)課大賽評選活動中榮獲一等獎;參與編寫《2018中考數(shù)學(xué)名校28金卷》已經(jīng)出版出售。

（作者單位：陜西省西安市電子科技大學(xué)附中太白校區(qū) ? 710065）