重心下移促參與，結(jié)構(gòu)教學(xué)助遷移

☉山東省淄博市臨淄區(qū)教學(xué)研究室 楊靜霞

新基礎(chǔ)教育提出初中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的特征“結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)地教，互動(dòng)生成地長(zhǎng)”，因此本設(shè)計(jì)首先根據(jù)學(xué)生成長(zhǎng)的長(zhǎng)程進(jìn)行整體性系統(tǒng)策劃和關(guān)聯(lián)性結(jié)構(gòu)教學(xué)，學(xué)生在整體感知的基礎(chǔ)上，整體占有知識(shí)，在經(jīng)歷解決問題、遭遇困難的過程中主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，逐步形成了學(xué)習(xí)的方法結(jié)構(gòu)，然后把方法類比遷移，自覺運(yùn)用到研究其他同類的問題中去，起到舉一反三、觸類旁通的作用，最后設(shè)計(jì)的微課程，則以集合的思想滲透了直線與點(diǎn)的關(guān)系.

一、設(shè)計(jì)說明

跟隨吳亞萍教授學(xué)習(xí)了“長(zhǎng)程兩段：教結(jié)構(gòu)、用結(jié)構(gòu)”“三放三收”“重心下移”等新基礎(chǔ)教育的課堂教學(xué)理念，遵循這些先進(jìn)的理念，我對(duì)魯教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)“正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的課堂教學(xué)做了貼地式實(shí)踐教學(xué)研究，此課堂教學(xué)得到了華東師范大學(xué)吳亞萍教授的指導(dǎo)，我在此基礎(chǔ)上又進(jìn)行了創(chuàng)新，把直線與點(diǎn)的關(guān)系做了更加深入的探索，現(xiàn)在把教學(xué)實(shí)踐成果與大家共享.

二、理念體現(xiàn)

1.重心下移1：整體感知，巧分類

活動(dòng)1：整體進(jìn)入，討論常數(shù)k的取值.

（1）思考并回答：你認(rèn)為k都可以取什么樣的數(shù)呢？

（2）為了更好地研究正比例函數(shù)，現(xiàn)在我們要選出一些特殊的、具有代表性的正比例函數(shù)，根據(jù)k的可能取值，你認(rèn)為哪些正比例函數(shù)比較特殊，便于我們研究且具有代表性呢？

師生行為生成：學(xué)生口答k的取值范圍，互相補(bǔ)充完善，認(rèn)識(shí)到k可取正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)等，并對(duì)應(yīng)得到正比例函數(shù)解析式y(tǒng)=x，y=-x，y=2x，y=-2x，y=x等.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)k的取值范圍進(jìn)行有序定性分類.

設(shè)計(jì)意圖：整體感知k的取值范圍，并對(duì)應(yīng)得到特殊的正比例函數(shù)的解析式，通過對(duì)k賦值感受初始的研究既要簡(jiǎn)單又要有代表性，研究的輻射區(qū)域盡量全面.通過對(duì)k的取值進(jìn)行分類，為下一步研究提供素材.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：活動(dòng)1是本節(jié)課的“一放一收”，放的是“開放舉例”，收的是“典例分類”.通過枚舉k的取值，由k的取值得到特殊的正比例函數(shù)，如y=x，y=-x，y=2x，y=x等，進(jìn)而對(duì)k進(jìn)行分類，為下一步從學(xué)生的枚舉中選擇最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的來研究奠定基礎(chǔ)，體現(xiàn)了學(xué)生立場(chǎng)和以學(xué)定教的教學(xué)思想.

2.重心下移2：個(gè)例研究，教結(jié)構(gòu)

活動(dòng)2：嘗試畫圖像.

由前面對(duì)k賦值的研究，我們知道當(dāng)k=1時(shí)的正比例函數(shù)y=x最簡(jiǎn)單.下面首先實(shí)踐操作：嘗試畫一畫y=x的圖像.

（1）列表：根據(jù)正比例函數(shù)的解析式，填寫表1：

表1

（2）描點(diǎn)：分別以所取x的值和相應(yīng)的函數(shù)值作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，并在平面直角坐標(biāo)系上畫出這些坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn).

（3）連線：用光滑曲線（包括直線）把描出的這些點(diǎn)按照橫坐標(biāo)由小到大的順序連接起來.

教師進(jìn)一步追問：在畫圖像的過程中，你都有哪些發(fā)現(xiàn)？

師生行為生成：學(xué)生填寫表格，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線.對(duì)于出現(xiàn)的問題，學(xué)生評(píng)價(jià)、糾錯(cuò)、補(bǔ)充、完善.教師對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行點(diǎn)撥，比如，自變量x的取值不全面，如只取正整數(shù)或只取負(fù)整數(shù)；取值無序，導(dǎo)致觀察到的圖像只經(jīng)過一個(gè)象限；將描好的點(diǎn)用線段連接，得不到函數(shù)圖像是直線這一特征等.學(xué)生主動(dòng)觀察，發(fā)現(xiàn)圖像特點(diǎn)并嘗試用語言描述：正比例函數(shù)的圖像是直線，經(jīng)過一、三象限（位置）；除此之外，正比例函數(shù)的圖像還經(jīng)過原點(diǎn)（特殊點(diǎn)）；y隨x的增大而增大（增減性）.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)x的取值的討論，在學(xué)生陳述觀點(diǎn)的過程中，幫助全班學(xué)生對(duì)自變量x的取值要兼顧對(duì)稱性、代表性、無限性、有序性形成共識(shí)；通過畫出正比例函數(shù)y=x的圖像，發(fā)現(xiàn)圖像的形狀是一條直線，為下一步觀察并總結(jié)性質(zhì)奠定基礎(chǔ).有層次地推進(jìn)是為了幫助學(xué)生從圖像的形狀、位置、特殊點(diǎn)、增減性四個(gè)維度對(duì)函數(shù)的性質(zhì)有整體認(rèn)識(shí)，并鍛煉用語言表達(dá)的能力，初步理解掌握正比例函數(shù)性質(zhì)的研究方法.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：活動(dòng)2是本節(jié)課的“二放二收”，“二放”的目的是讓學(xué)生直面困難，“二收”的目標(biāo)是順藤摸瓜.學(xué)生遇到的第一個(gè)困難就是列表時(shí)x如何取值，本節(jié)課設(shè)計(jì)讓學(xué)生直接獨(dú)立完成，目的是讓學(xué)生遭遇困難，學(xué)生可能無序、可能局限、可能無典型意義，針對(duì)學(xué)生的問題，教師引導(dǎo)學(xué)生，從而收獲x的取值要有代表性、對(duì)稱性、無限性、有序性.

3.重心下移3：枚舉研究，用結(jié)構(gòu)

活動(dòng)3：（1）多向探究.

在原來的平面直角坐標(biāo)系中繼續(xù)畫出y=-x的圖像，組內(nèi)分工合作，再選取k為正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)中的各一個(gè)來完成，你發(fā)現(xiàn)其他的正比例函數(shù)有怎樣的特征？

（2）對(duì)比研究.

觀察y=x和y=-x這兩個(gè)函數(shù)圖像，對(duì)比它們的異同點(diǎn)，并嘗試用語言敘述.

小組有序分工，畫出更多的正比例函數(shù)的圖像，在畫出圖像的過程中，對(duì)k是分?jǐn)?shù)時(shí)，若x仍然選取整數(shù)，則函數(shù)值為分?jǐn)?shù)，不容易描點(diǎn)，產(chǎn)生困惑，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考選取點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)是有技巧的.

師生行為生成：學(xué)生主動(dòng)歸納，師生互動(dòng)補(bǔ)充完善得到以下結(jié)論.兩函數(shù)的圖像相同點(diǎn)：都是直線，都經(jīng)過點(diǎn)（0，0）；不同點(diǎn)：經(jīng)過象限不同，增減性不同.兩函數(shù)的聯(lián)系：兩函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱.

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生在已有認(rèn)識(shí)及研究方法框架的支持下，通過自主探究得到正比例函數(shù)圖像的特征，為歸納性質(zhì)奠定基礎(chǔ).通過對(duì)比、概括歸納，形成完整的知識(shí)體系，學(xué)會(huì)研究的方法（個(gè)例研究與枚舉研究的關(guān)聯(lián)），體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流的習(xí)慣.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：活動(dòng)3是本節(jié)課的“三放三收”，個(gè)例有限，猜想無限.僅僅觀察一個(gè)正比例函數(shù)得到的結(jié)論是有局限性的，因此從個(gè)例研究到枚舉研究，從k＞0到k＜0，從組內(nèi)學(xué)生的分工合作，不完全歸納得出正比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).

4.廣泛驗(yàn)證

教師利用幾何畫板作出不同k值的正比例函數(shù)圖像，說明正比例函數(shù)圖像的直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，直線上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都與函數(shù)解析式一一對(duì)應(yīng).

師生行為生成：學(xué)生認(rèn)真聆聽?zhēng)缀萎嫲宓难菔窘庾x，仔細(xì)看不同的解析式得到的圖像，用心想圖像之間的聯(lián)系，主動(dòng)在組內(nèi)展開質(zhì)疑交流.

設(shè)計(jì)意圖：通過幾何畫板的展示，實(shí)現(xiàn)從用手描點(diǎn)連線到幾何畫板的動(dòng)態(tài)生成，進(jìn)一步體會(huì)點(diǎn)與線的關(guān)系，學(xué)會(huì)不完全歸納法.幫助學(xué)生在已有認(rèn)識(shí)及研究方法框架的支持下，通過自主探究得到正比例函數(shù)圖像的特征.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：此環(huán)節(jié)技術(shù)助力，力求技術(shù)與教學(xué)高度融合，采用了幾何畫板的動(dòng)態(tài)顯示功能，顯示了k任意取值得到的正比例函數(shù)的圖像都為一條直線，化有限為無限，突破了本節(jié)課的重、難點(diǎn)，增強(qiáng)了說服力.

5.歸納提升

觀察以上正比例函數(shù)的圖像，歸納總結(jié)y=kx（k是不等于0的常數(shù)）的性質(zhì).

師生行為生成：學(xué)生從圖像的特征發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，從而表達(dá)出函數(shù)所具有的性質(zhì)，是一個(gè)從直觀到文字語言再到符號(hào)語言的過程.并對(duì)比k的兩種不同的取值導(dǎo)致的圖像變化規(guī)律，用語言描述知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，實(shí)現(xiàn)正比例函數(shù)性質(zhì)的一般化.

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)學(xué)生枚舉和教師用幾何畫板驗(yàn)證的正比例函數(shù)圖像的研究，促進(jìn)學(xué)生掌握從四個(gè)維度即形狀、位置、特殊點(diǎn)、增減性進(jìn)行有序研究的方法，利于形成系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并促進(jìn)學(xué)生之間的流暢交流.

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：此環(huán)節(jié)主要采用分層推進(jìn)、方法滲透的形式，歸納了“三步、四維、四法”.“三步”指的是在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)會(huì)了如何研究問題，畫函數(shù)圖像的步驟：列表、描點(diǎn)、連線三步走.“四維”指的是學(xué)會(huì)了：從形狀、位置、特殊點(diǎn)、增減性四個(gè)角度觀察圖像，總結(jié)出正比例函數(shù)的性質(zhì).“四法”指的是課堂中滲透的數(shù)學(xué)思想方法：類比研究、分類討論、個(gè)例枚舉、數(shù)形結(jié)合，提升了學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模能力、直觀想象能力等都得到了不同程度的發(fā)展.

6.微課導(dǎo)學(xué)

認(rèn)識(shí)描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像，感受描點(diǎn)法畫圖像的科學(xué)依據(jù)，初步理解集合的思想.

師生行為生成：跟隨微課程，體悟點(diǎn)與直線的關(guān)系，讓思維從點(diǎn)的有限延伸到直線的無限.

設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)正比例函數(shù)的圖像中直線與點(diǎn)的關(guān)系，為今后學(xué)習(xí)集合的思想奠定基礎(chǔ).

教學(xué)點(diǎn)評(píng)：追根溯源是這節(jié)課的畫龍點(diǎn)睛之筆.在說明為什么正比例函數(shù)的圖像是直線這一環(huán)節(jié)，則為學(xué)生提供了微課程引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考描點(diǎn)法畫圖像的科學(xué)依據(jù)，抓住學(xué)生在畫圖像過程中產(chǎn)生的困惑，引導(dǎo)學(xué)生深入探究，揭示正比例函數(shù)的圖像是直線的淵源，形成解決新問題的策略與方法.

三、目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課教與學(xué)有效互動(dòng)，信息技術(shù)支持得當(dāng).在課堂教學(xué)中，白板很好地支持了課堂教學(xué)中教與學(xué)內(nèi)容的展示，幾何畫板為學(xué)生深刻理解正比例函數(shù)的圖像是一條直線立下了汗馬功勞；微課程為引導(dǎo)學(xué)生深入研究集合的思想奠定了良好的基礎(chǔ).在教學(xué)的過程中，較好地發(fā)揮了學(xué)科育人的價(jià)值，數(shù)學(xué)課堂主要以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力為主，以提升學(xué)生的核心素養(yǎng)為終極目標(biāo).教是為了更好地學(xué)，從學(xué)生的問題出發(fā)，由學(xué)生提出問題，利用學(xué)生的材料資源進(jìn)行分類研究，充分體現(xiàn)“長(zhǎng)程兩段”的教學(xué)理念：教結(jié)構(gòu)、用結(jié)構(gòu).在課堂中不僅鍛煉了學(xué)生的分類能力、動(dòng)手畫圖能力、數(shù)形結(jié)合能力、歸納概括能力，還實(shí)現(xiàn)了研究方法的遷移，為今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)提供了研究方法.課堂中從學(xué)生的困難入手，把問題真正地放下去，教師做到收放自如，有效收集學(xué)生的資源，讓知識(shí)一點(diǎn)點(diǎn)地長(zhǎng)出來，使得目標(biāo)越來越清晰，知識(shí)越來越有條理，課堂中鍛煉的是學(xué)生的思維，發(fā)展的是學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)的是流暢的表達(dá)，發(fā)揮的是課堂的育人價(jià)值，在每個(gè)環(huán)節(jié)，都留下了學(xué)生思考交流、思維碰撞的痕跡，是一節(jié)有效提升學(xué)科核心素養(yǎng)的好課.