問題導(dǎo)向，關(guān)注過程，引領(lǐng)思維，啟迪智慧
——提高初中數(shù)學(xué)例題教學(xué)有效性的探索與思考

☉江蘇省張家港市塘市初級中學(xué) 朱 薇

例題是把知識、技能、思想和方法聯(lián)系起來的一條紐帶，知識的價值、技能的操作、思想與方法的滲透都要通過例題來體現(xiàn).例題的選擇非常重要，作為一個靜態(tài)的“媒介”，要具備良好的知識性、示范性和發(fā)展性.好的例題，不僅可以幫助學(xué)生加深對定義、定理、概念、法則的理解，培養(yǎng)學(xué)生的解題技能、積累解題經(jīng)驗，而且可以加強(qiáng)學(xué)生的思維訓(xùn)練，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.例題的講解與示范是教學(xué)中傳授知識、培養(yǎng)技能必不可少的一個環(huán)節(jié)，是學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的必要過程，是學(xué)生將數(shù)學(xué)知識和技能轉(zhuǎn)化為能力的必要途徑.因此，例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要組成部分，肩負(fù)著把知識轉(zhuǎn)化為能力的重要使命，其質(zhì)量的高低直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握.科學(xué)、合理地選擇數(shù)學(xué)例題，并在教學(xué)過程中，讓學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識，形成必要的解題技能，是數(shù)學(xué)備課過程中一項十分重要的工作，是一個教師教學(xué)智慧和藝術(shù)的重要體現(xiàn).下面就本人執(zhí)教的“三角形的中位線”一課的例題教學(xué)環(huán)節(jié)，談一些例題教學(xué)的做法與感悟.

一、設(shè)置理解知識的基礎(chǔ)訓(xùn)練問題，夯實“雙基”，有效進(jìn)行知識同化，體現(xiàn)例題教學(xué)的示范功能

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，新知識的學(xué)習(xí)必須建立在舊知識的基礎(chǔ)上，當(dāng)學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中形成了新的概念、學(xué)習(xí)了新的知識以后，新知識和舊知識必須予以同化，這樣不僅能夠幫助學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新知識，而且可以幫助其保持知識.數(shù)學(xué)概念、知識、方法都需要通過例題加以鞏固，選擇合適的例題對于課堂教學(xué)來說是非常重要的.正確發(fā)揮例題的示范功能，能使學(xué)生的思維能力、解題能力得到很好的鍛煉，從而能從容地面對以后學(xué)習(xí)中所遇到的各種數(shù)學(xué)問題.因此，例題的難度必須要控制好，能說明問題、起到示范作用就行.在“三角形的中位線”一課的教學(xué)中，我設(shè)置了如下一組簡單的基礎(chǔ)問題，引導(dǎo)學(xué)生正確、合理地應(yīng)用三角形的中位線定理解決數(shù)學(xué)問題，加強(qiáng)新知識和舊知識之間的聯(lián)系.

例1（1）如圖1，在△ABC中，已知D、E分別為邊AB、AC的中點，連接DE，若∠C=70°，DE=3cm，則∠AED=______°，BC=______cm.

（2）如圖2，在△ABC中，已知D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，連接DE、EF、DF.

①圖中共有幾個平行四邊形？

②若△ABC的面積為8，則△DEF的面積為______.

圖1

圖2

在幾何例題教學(xué)中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生讀圖、識圖、分析圖形，學(xué)會從圖形中捕捉信息、加工信息、尋找到解決問題的關(guān)鍵點，同時要引導(dǎo)學(xué)生及時進(jìn)行歸納、總結(jié)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗和解題經(jīng)驗.只有這樣，才能充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位、教師的主導(dǎo)作用.在本例中，通過問題（1）的訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉定理、感知定理的簡單應(yīng)用，理清定理的條件、結(jié)論之間的關(guān)系和定理適用的范圍；通過問題（2）的解答和教師的追問，讓學(xué)生能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：①一個三角形有三條中位線，②三角形的三條中位線將三角形分成四個全等的三角形，其中還蘊(yùn)含著三個平行四邊形.通過例題的示范，我們要力爭做到：第一，能夠?qū)W(xué)生的注意力集中在新知識的重點部分；第二，突出強(qiáng)調(diào)新知識與已有知識的關(guān)系，為新知識提供一種框架；第三，能夠幫助學(xué)生回憶起與新知識相關(guān)的已有知識，以便更好地建立聯(lián)系.

二、設(shè)置鞏固知識的簡單應(yīng)用問題，啟思明理，有效實現(xiàn)知識內(nèi)化，突出例題教學(xué)的知識功能

例題教學(xué)的知識功能指的是通過例題教學(xué)使學(xué)生獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，形成必要的技能.數(shù)學(xué)思維過程也就是不斷地提出問題和解決問題的過程.因此，教師不但要精心挑選例題，使其具有典型性、層次性和示范性，更要善于對例題加以剖析、變式，必要時還可以適當(dāng)?shù)貙⒗}進(jìn)行拓寬、延伸，促進(jìn)學(xué)生對概念的內(nèi)涵與外延的理解，通過充分的外化過程，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)化，充分發(fā)揮例題的知識功能，使其真正達(dá)到既落實“雙基”，又培養(yǎng)能力的教學(xué)效果.為此，我設(shè)置了如下例題：

例2如圖3，已知AF是△ABC的中線，DE是中位線，DE、AF交于G，若AF=5，則GF=______.

教材是重要知識點的精華與濃縮，往往言簡意賅，或者限于篇幅，有些知識、方法未能加以闡釋，常常出現(xiàn)在練習(xí)、習(xí)題之中，教師作為教材與學(xué)生之間的協(xié)調(diào)者，有必要對簡約的內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充與拓展，加強(qiáng)前后知識的聯(lián)系，及時滲透數(shù)學(xué)思想方法.本例是例1問題（2）的應(yīng)用與深化，連接DF、EF，四邊形DAEF是平行四邊形，因此，DE與AF互相平分，問題的結(jié)果自然顯現(xiàn).同時，我們可以告訴學(xué)生：三角形的中位線與第三邊上的中線互相平分.通過例題的講解與思辯，不僅可以幫助學(xué)生加深對知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧，還可以讓學(xué)生啟思明理，拓寬視野，有效實現(xiàn)知識內(nèi)化，突出例題教學(xué)的知識功能.

圖3

三、設(shè)置拓寬知識的變式訓(xùn)練問題，引領(lǐng)思維，有效積累活動經(jīng)驗，凸顯例題教學(xué)的教育功能

例題教學(xué)的教育功能指的是對學(xué)生文化素質(zhì)的培養(yǎng)，其中重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì).由于數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)思維的動力，數(shù)學(xué)思維過程也就是不斷地提出問題和解決問題的過程.因此，在例題教學(xué)中，教師不但要精心挑選例題，使其具有知識性、典型性、層次性和示范性，更要善于對例題加以變式，讓學(xué)生在全面、深刻地理解和掌握知識的同時，思維品質(zhì)也得到相應(yīng)的提升.幾何教學(xué)中，教師更應(yīng)該做好例題變式教學(xué)，為此，我給出了如下問題：

例3如圖4，在△ABC中，已知D、E、F分別為邊AB、BC、AC的中點，G、H分別為AD、AF的中點.若△AGH的周長為m，求△BDE的周長.

圖4

例3是例1第（2）問的變式，如果連接DF，就會出現(xiàn)例1（2）的圖形，利用三角形中位線定理，我們知道：若△AGH的周長為m，那么，△ADF的周長為2m；利用四邊形ADEF和四邊形BEFD都是平行四邊形，那么，△BDE的周長=△FDE的周長=△ADF的周長=2m.通過這樣的教與學(xué)，學(xué)生對圖形的認(rèn)識會更加清晰，對知識的理解會更加深刻，對解題方法的掌握會更加牢固，對幾何推理的書寫會更加熟悉、規(guī)范.變式既是一種重要的思想方法，又是一種行之有效的教學(xué)方式.通過變式教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生研究問題、探索問題的能力，幫助學(xué)生積累探究活動的經(jīng)驗，是思維訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的重要途徑.

四、設(shè)置深化知識的綜合應(yīng)用問題，啟迪智慧，有效提升關(guān)鍵能力，彰顯例題教學(xué)的拓展功能

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“數(shù)學(xué)課程應(yīng)致力于實現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標(biāo)，要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要.使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”因此，當(dāng)學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)置一些深化知識的綜合應(yīng)用問題，加強(qiáng)前后知識的聯(lián)系，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識，消化吸收知識.例題教學(xué)中，例題拓展得恰當(dāng)、設(shè)計得巧妙，對于提高課堂教學(xué)效率，優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，往往能起到畫龍點睛的作用，也能為不同的學(xué)生留下個性化的發(fā)展機(jī)會，讓學(xué)有余力的學(xué)生有更大的發(fā)展空間.強(qiáng)化拓展問題的講解與思辯，目的是幫助學(xué)生把所學(xué)的知識融會貫通，在知識的深化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，啟迪智慧，提升關(guān)鍵能力，彰顯例題教學(xué)的拓展功能.在本課例題教學(xué)的最后一個環(huán)節(jié)，我出示了下面一題：

例4如圖5，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點.

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形：

（2）若四邊形ABCD的對角線相等，那么四邊形EFGH是什么圖形？

（3）若四邊形EFGH是正方形，那么四邊形ABCD應(yīng)滿足什么條件？

本例的第（1）問是課本例題，連接對角線BD或AC，利用三角形中位線定理很容易加以證明，主要是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會構(gòu)造圖形、合理使用定理.第（2）問和第（3）問結(jié)合四邊形的相關(guān)知識，對問題進(jìn)行了適度的拓寬引申，將三角形中位線的知識與四邊形的判定與性質(zhì)進(jìn)行了很好的銜接，讓學(xué)生對三角形中位線定理的應(yīng)用有了一個更加深刻的認(rèn)識.蘇聯(lián)教育家烏申斯基指出“智慧不是別的，而是組織良好的知識體系”.通過這樣的數(shù)學(xué)探究活動，數(shù)學(xué)知識之間能有機(jī)聯(lián)系起來，學(xué)生的頭腦中才會建立起一個完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步形成一個完整的知識網(wǎng)絡(luò)，這樣的例題教學(xué)才能扎實、有效.

圖5

實踐證明，加強(qiáng)和改進(jìn)數(shù)學(xué)例題的教學(xué)，對理解和掌握基礎(chǔ)知識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維、發(fā)展智力都是至關(guān)重要的.因此，我們在例題教學(xué)中，一方面，要充分利用好教材上的例題，教材中例題都是經(jīng)過多次篩選編制而成的；另一方面，我們要適當(dāng)選擇一些課外資料上的問題，作為教材例題的補(bǔ)充與延伸.還要配備好相應(yīng)的學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生在動手實踐中學(xué)會應(yīng)用例題知識，使得例題與習(xí)題緊密聯(lián)系在一起，讓例題的教學(xué)功能得到充分發(fā)揮、起到應(yīng)有的作用，引領(lǐng)學(xué)生的思維，啟迪學(xué)生的智慧.