分式方程有增根與無(wú)解的關(guān)系辨析

湖北省黃岡思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校 蔡艷生

分式方程有增根與無(wú)解是分式方程中常見(jiàn)的兩個(gè)概念，也是一些地區(qū)中考、自主招生考試中常見(jiàn)的考點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)分式方程后，常常對(duì)分式方程有增根與無(wú)解這兩個(gè)概念混淆不清，認(rèn)為這兩者是同一回事，事實(shí)上并非如此。因此，幫助學(xué)生厘清分式方程有增根與無(wú)解這兩者之間的關(guān)系十分有必要.

分式方程有增根，指的是解分式方程時(shí)，在把分式方程化為整式方程的過(guò)程中，方程的兩邊都乘了一個(gè)使最簡(jiǎn)公分母為零的整式，從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值，即分式方程的增根必須滿足兩個(gè)條件：（1）增根使最簡(jiǎn)公分母為零；（2）增根是分式方程化成整式方程的根。而分式方程無(wú)解包含兩種情況：（1）分式方程化成整式方程后，整式方程無(wú)解；（2）分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但均為原分式方程的增根。因此，解分式方程最后必須要驗(yàn)根。舉例說(shuō)明如下：

例1：【涼山州中考題】關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（ ）

A.-5 B.-8 C.-2 D.5

解：方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（x+1），

得：3x-2=2(x+1)+m，解得：x=m+4。

∵該整式方程有解，而原分式方程無(wú)解，

∴x=m+4必定是原分式方程的增根，

即x+4=-1，∴m=-5。故本題答案為A。

【探究1】若將例1中的“無(wú)解”改為“有增根”，例1的答案并不發(fā)生改變。

【辨析】例1和探究1的答案相同，是因?yàn)樵摲质椒匠袒癁檎剑ㄒ辉淮危┓匠毯?，整式方程未知?shù)不含字母系數(shù)，有唯一解。

A-1.5. B.1 C.-1.5或2 D.-0.5或-1.5

解：方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（x-3）x，

得：（2m+x）x-（x-3）x=2（x-3），

整理得：（2m+1）x=-6。

①當(dāng)（2m+1）=0，即m=-0.5時(shí)，整式方程（2m+1）x=-6無(wú)解，則原分式方程無(wú)解；

②當(dāng)（2m+1）≠0時(shí)，整式方程的解為要使原分式

方程無(wú)解，則x=3或x=0。

綜上所述：m=-0.5或m=-1.5,故本題答案為D。

【探究2】若將例2中的“無(wú)解”改為“有增根”，從例2的解答過(guò)程可知①不符合本題要求，最后只能取，答案就是A。

【辨析】例2和探究2的答案不同，是因?yàn)樵摲质椒匠袒癁檎剑ㄒ辉淮危┓匠毯螅椒匠痰奈粗獢?shù)含有字母系數(shù)（2m+1），對(duì)（2m+1）是否為零需要分類討論，因此會(huì)產(chǎn)生兩種不同情況。

A.1或-3 B.1 C.0或4 D.4

【錯(cuò)解】解：方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母（x-1）（x+3），

得：x（x+3）-（x-1）（x+3）=m，

整理得：x+3=m，解得：x=m-3。

∵ 分式方程有增根，

∴（x-1）（x+3）=0，

解得：x=1或x=-3，

當(dāng)m-3=1時(shí)，得m=4，

當(dāng)m-3=-3時(shí)，得m=0，

綜上所述：m的值為0或4，故選C選項(xiàng)。

【正解】其實(shí)，只需要把以上錯(cuò)解中的m=4，m=0代入原分式方程檢驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)m=4時(shí)，原分式方程可化為x（x+3）-（x-1）（x+3）=4。

整理得：x=1，經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原分式方程的增根；

當(dāng)m=0時(shí)，原分式方程可化為

去分母、整理得1=0，顯然不成立。因此，當(dāng)m=0時(shí)，原分式方程無(wú)解，并沒(méi)有使其產(chǎn)生增根。故而，本題正確答案為D。

【辨析】學(xué)生在解答本題過(guò)程中，極容易出現(xiàn)以上錯(cuò)解情況，為有效避免錯(cuò)誤的出現(xiàn)，解分式方程最后一定要驗(yàn)根。

弄清楚分式方程有增根和無(wú)解的區(qū)別和聯(lián)系，厘清這兩者之間的關(guān)系，能幫助學(xué)生提高解分式方程的正確性，對(duì)正確判斷分式方程的解的情況有重要的指導(dǎo)意義。