常微分方程與代數(shù)方程的聯(lián)系

新疆喀什大學 阿依古再麗·伊斯馬伊力

常微分方程和代數(shù)方程都屬于方程的一種，方程所共有的屬性也意味著這兩種方程中存在相定的關(guān)系。通過加強常微分方程和代數(shù)方程之間的聯(lián)系，不僅可以掌握微分方程理論本身，還可以更充分地了解代數(shù)方程。

一、代數(shù)方程的基礎(chǔ)作用

1．代數(shù)因式分解與常微分方程算子解法

因式分解是將代數(shù)方程分解為線性微分方程的一種有效手段。

例1 常系數(shù)線性微分方程的分析y’’+py’q=f（x） ①

D2+pD+qI[y]=f（x） （微分算子單位I[y]=D"[y]=y） ②

這時,若存在常數(shù)α和β，使多項式f（D）可以滿足：f（D）=D2+pD+qI[y]=（D-I）（D-1）。

那么方程②是：（D-I）（D-1） [y]=f（x）。這時，令（D-1）[y]=u（x）。則：

（D-I） [u（x）]=f（x） ③

方程③的解為u=eax[f（x）e-axdx+C1], 那么（D-1） [y]=eax[f（x）e-axdx+C1]，因此，y=eβx[e（a-βx）（f（x）e-axdx+C1）dx+C2。

（1）若α≠β，則

（2）若α=β，則

例1的解法則為微分算子解法，它令微分方程的解與代數(shù)方程的解形成有機的聯(lián)系，微分方程階數(shù)的約簡與代數(shù)方程的因式分解是相同的。

2．切線意義與常微分方程幾何解法

常微分方程的解是以積分的形式得到的，但常微分方程中由于較多不可積函數(shù)的存在而經(jīng)常不可解，這將使得本文通過定性分析對常微分方程進行研究。

二、常微分方程的指導作用

1．線性微分方程解的構(gòu)造與數(shù)列通項公式

推出方程①的疊加原理：如果y*是方程①的一個特解，是方程②的通解，那么方程①則有通解為：

根據(jù)常系數(shù)線性微分方程：

將常微分方程的疊加原理推廣到遞推序列中，得到了相應(yīng)的結(jié)論。

對于遞歸數(shù)列，其遞歸方程bn+k+p1an+k-1+…+pkan=f（n）（pi為常數(shù),i=1,2,。。。,k）③，對應(yīng)的齊次方程是bn+k+p1an+k-1+…+pkan=0④。

若方程④的通解是方程③的一個特解，則方程③有通解是bn=+bn*。

該方法采用常系數(shù)線性微分方程解的構(gòu)造方法，通過類比建立了遞推序列解的理論，這是代數(shù)中常見的同構(gòu)關(guān)系。例如，代數(shù)中的對偶也能夠作為同構(gòu)應(yīng)用的結(jié)果。所以，常微分方程的數(shù)學思想與方法能夠?qū)Υ鷶?shù)方程起著關(guān)鍵的指導作用。

2．切線意義與常微分方程幾何解法

常微分方程的解是以積分的形式得到的，但常微分方程中由于較多不可積函數(shù)的存在而經(jīng)常不可解，這將使得本文通過定性分析對常微分方程進行研究。

二、常微分方程的指導作用

1．線性微分方程解的構(gòu)造與數(shù)列通項公式

推出方程①的疊加原理：如果y*是方程①的一個特解，是方程②的通解，那么方程①則有通解為：

根據(jù)常系數(shù)線性微分方程：

將常微分方程的疊加原理推廣到遞推序列中，得到了相應(yīng)的結(jié)論。

對于遞歸數(shù)列，其遞歸方程bn+k+p1an+k-1+…+pkan=f（n）（pi為常數(shù),i=1,2,。。。,k）③，對應(yīng)的齊次方程是bn+k+p1an+k-1+…+pkan=0④。

若方程④的通解是方程③的一個特解，則方程③有通解是bn=+bn*。

該方法采用常系數(shù)線性微分方程解的構(gòu)造方法，通過類比建立了遞推序列解的理論，這是代數(shù)中常見的同構(gòu)關(guān)系。例如，代數(shù)中的對偶也能夠作為同構(gòu)應(yīng)用的結(jié)果。所以，常微分方程的數(shù)學思想與方法能夠?qū)Υ鷶?shù)方程起著關(guān)鍵的指導作用。

2．Gauchy問題與Euler三角公式

三角函數(shù)作為代數(shù)方程的重要組成部分，可以統(tǒng)一為在復數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)形式。

例3 三角公式證明：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

cos（α+β）=sinαsinβ+cosαcosβ。

例3 三角公式證明：

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ；

cos（α+β）=sinαsinβ+cosαcosβ。

解：方程x"+x=0有特解：r=sinu和cosu,那么通解則為：令另令u=α+β, 那么

因此，該三角公式獲得證明。

常微分方程和代數(shù)方程屬于一類方程，它們相互聯(lián)系。一方面，代數(shù)方程在常微分方程的分析中有著基礎(chǔ)性的作用。另一方面，常微分方程又指導著代數(shù)方程。常微分方程和代數(shù)方程的這種相互作用令數(shù)學研究提供了高效便捷的方法。