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    談識(shí)圖、析圖能力的培養(yǎng)
    ——以一道雙圖題為例

    2019-08-05 06:57:06江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)袁效德
    數(shù)學(xué)大世界 2019年18期
    關(guān)鍵詞:動(dòng)點(diǎn)面積函數(shù)

    江蘇省蘇州高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 袁效德

    動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題。動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖像相結(jié)合,信息經(jīng)常被隱含在圖像中,成為學(xué)生理解問題的難點(diǎn)。當(dāng)涉及多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí),學(xué)生更是難以理解信息。點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起圖形的形狀、位置、數(shù)量關(guān)系等的變化,從而需要進(jìn)行分類討論,對(duì)學(xué)生思維的全面性和嚴(yán)密性都提出了較高的要求。教師需要教會(huì)學(xué)生看圖、析圖,進(jìn)而掌握解決問題的一般方法。本文以一道中考模擬卷中的雙圖題為例,談?wù)剬?duì)于培養(yǎng)學(xué)生看圖、識(shí)圖、析圖能力的幾點(diǎn)思考,以求拋磚引玉。

    一、試題再現(xiàn)

    (2019年蘇州高新區(qū)中考一模)如圖1,矩形ABCD中,BC=12cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以2cm/s的速度沿A—B—C勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止;點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā),以acm/s的速度沿B—C—D—A勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)停止。若P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s),△PBQ的面積為S(cm2),S與t之間的函數(shù)關(guān)系由圖2中的曲線段OEF、線段FG,GH表示。

    圖1

    (1)a=_______,AB=________;

    (2)求圖2中曲線段OEF對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式以及這個(gè)函數(shù)的最大值;

    (3)當(dāng)0≤t≤2,若△PDQ為直角三角形,求t的值。

    圖2

    二、試題分析

    首先,該題作為中考模擬的壓軸題,有一定的靈活性,主要考查利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像,結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求三角形的面積及判斷三角形的形狀。將代數(shù)與幾何有機(jī)地融合在一起,具有很強(qiáng)的綜合性。

    學(xué)會(huì)看圖、識(shí)圖是解決此題的首要難點(diǎn)。結(jié)合題意以及函數(shù)圖像,弄懂圖1中動(dòng)點(diǎn)P,Q的位置與△PBQ面積之間有怎樣的關(guān)系?此題可以用三個(gè)問題進(jìn)行點(diǎn)撥。首先,圖2中的一些特殊點(diǎn)E,F,G,H表示的意義是什么?其次,圖2中的函數(shù)圖像分為三段(二次函數(shù),兩個(gè)一次函數(shù)),它們的增減性說(shuō)明了什么?最后,圖2中點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)P,Q是否還有其他的位置?歸根結(jié)底,要弄清動(dòng)點(diǎn)拐彎時(shí)引起面積S如何變化。

    為了弄清楚上面三個(gè)問題,我們可以分情況討論。根據(jù)圖2中曲線OEF,說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P在AB上,Q在BC上(圖3)。根據(jù)曲線OEF和直線FG,說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)P,Q的位置關(guān)系分兩種情況:P在AB上,Q在CD上;P、Q都在BC上。(圖4,圖5)

    圖3

    圖4

    圖5

    圖6

    圖7

    根據(jù)G點(diǎn)在x軸上,說(shuō)明△PBQ面積為0,動(dòng)點(diǎn)P,Q的位置關(guān)系又分兩種情況:P在點(diǎn)B;Q在點(diǎn)D(圖6),P,Q繼續(xù)運(yùn)動(dòng)后△PBQ(如圖7);P在點(diǎn)B,Q在CD上,P,Q繼續(xù)運(yùn)動(dòng)后,△PBQ的面積,排除直線上升。

    解決雙圖像問題,要善于從函數(shù)圖像的特征、位置以及函數(shù)的變化趨勢(shì)等方面分析出有用信息,利用分類討論進(jìn)行“數(shù)與形”的相互轉(zhuǎn)化,最終獲得解決問題的途徑。在教學(xué)過(guò)程中,教師要留有時(shí)間讓學(xué)生讀圖,通過(guò)閱讀題目和觀察函數(shù)圖像,分析出圖像中的各特殊點(diǎn)的意義。

    三、試題起源

    本題可在蘇教版教材37頁(yè)第15題找到源頭。在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以2cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。試寫出△PBQ的面積S與動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)表達(dá)式,并求出△PBQ的面積最大值。

    本試題中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)信息及矩形特征都沒有給出,而是通過(guò)圖8間接給出,這是其與課本題的區(qū)別,可謂源于課本,又高于課本。

    圖8

    四、關(guān)于識(shí)圖、析圖能力培養(yǎng)的些許思考

    波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》序言中說(shuō):“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題?!苯處熞龑?dǎo)學(xué)生利用圖形信息,學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí),掌握讀圖、析圖的相關(guān)技能,加強(qiáng)與生活的聯(lián)系,從學(xué)生熟悉的問題情境出發(fā),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,幫助學(xué)生掌握信息轉(zhuǎn)化的策略。注重學(xué)生的探索與思考的能力培養(yǎng),積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的能力。

    1.正視錯(cuò)誤,適時(shí)引導(dǎo)

    教師應(yīng)放手讓學(xué)生自主看圖,讓學(xué)生自己分析,從圖中分析問題,并找出解決問題的方法。首先,在教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)允許學(xué)生犯錯(cuò),讓學(xué)生暴露問題,才能挖掘圖形的隱含知識(shí)。例如:對(duì)雙圖問題分析不全面,教師可以讓學(xué)生將動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖像學(xué)會(huì)比對(duì),實(shí)踐再操作,這樣的互動(dòng)過(guò)程就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。其次,還可以在課堂上通過(guò)小組合作討論的方式進(jìn)行補(bǔ)充和完善,引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題,提取雙圖中的重要信息,強(qiáng)化識(shí)圖能力,真正達(dá)到提高學(xué)生的看圖、識(shí)圖能力。最后,要注重解題反思,既是對(duì)解題的回顧,將知識(shí)進(jìn)行內(nèi)化的過(guò)程,也有利于教師轉(zhuǎn)變思想,提升專業(yè)素養(yǎng)的有效途徑。

    2.研究教材,重視基礎(chǔ)

    教師首先必須研透教材,要重視對(duì)課本習(xí)題的發(fā)生、發(fā)展的挖掘,明確問題的來(lái)龍去脈,尋求問題的解決方法;其次,在習(xí)題訓(xùn)練上重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念的考查為主。例如:編寫預(yù)習(xí)提綱,幫助學(xué)生溫故與圖表相關(guān)的知識(shí)和方法,構(gòu)建知識(shí)之間的聯(lián)系;同時(shí)在課堂教學(xué)中精心設(shè)計(jì)問題,巧妙構(gòu)思,認(rèn)真組織,引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探究,在實(shí)踐活動(dòng)中教會(huì)學(xué)生如何思考雙圖模型,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。

    3.認(rèn)識(shí)圖像本質(zhì),積累經(jīng)驗(yàn)

    教師通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兪胶鸵赀M(jìn)行鞏固,尋找解決雙圖像問題的基本方法,通過(guò)適當(dāng)?shù)念}組練習(xí),訓(xùn)練學(xué)生從函數(shù)圖像中挖掘幾何圖形特征,探索動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),從而積累解決雙圖問題的解題經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)分析問題能力和圖形運(yùn)用能力。

    總之,雙圖問題將運(yùn)動(dòng)與函數(shù)相結(jié)合,是培養(yǎng)學(xué)生看圖、識(shí)圖能力和提升學(xué)生的邏輯思維能力的有效載體。幾何識(shí)圖能力是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心能力之一,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和空間觀念是至關(guān)重要的。重視培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀,既落實(shí)了課程發(fā)展的需求,也滿足了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力提出的要求,同時(shí)也是適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的需要。

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