全面理解概念本質(zhì) 有機(jī)滲透度量意識(shí)
——三下“面積”教學(xué)的再思考

□ 黃建英

一、把握面積概念，滲透度量意識(shí)

前期面積概念的教學(xué)，筆者僅注重學(xué)生對“面”的體驗(yàn)，而忽視了學(xué)生對面積理解的誤區(qū)（后測中發(fā)現(xiàn)學(xué)生找的面，基本是規(guī)則的、向上的面）、忽視了面積認(rèn)識(shí)的全面性與深刻性（后測中的第10題，“在同樣大小的2張長方形紙上，分別挖去5個(gè)大小相同、位置不同的正方形，比較剩余部分面積”。由于面積守恒意識(shí)的缺乏，造成本題正確率只有37.5%），為了讓學(xué)生真正理解面積的含義，滲透度量意識(shí)，后期教學(xué)做了以下改進(jìn)。

后測第10題

（一）注重面積概念認(rèn)識(shí)的全面性

為了進(jìn)一步完善對面積概念的認(rèn)識(shí)，增設(shè)以下操作環(huán)節(jié)。

1.介入不同方向的面

分析后測中的錯(cuò)例，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生常常會(huì)產(chǎn)生類似誤解：只有向上擺放的“面”才有面積。為了引導(dǎo)學(xué)生走出誤區(qū)，要求學(xué)生對物體表面各個(gè)不同方向的面進(jìn)行觀察，如摸一摸新華字典的封面、底面、4個(gè)側(cè)面，通過操作觀察，學(xué)生認(rèn)識(shí)到上下底面、側(cè)面都是面，都有面積，從而走出面積認(rèn)識(shí)的誤區(qū)。

誤區(qū)：“只有向上的面才有面積?！比嬲J(rèn)識(shí)，走出誤區(qū)。

2.介入不規(guī)則圖形的面積

提到面積，學(xué)生第一時(shí)間想到的往往是長方形、正方形，從一（下）“平面圖形的認(rèn)識(shí)”開始，學(xué)生所接觸的平面圖形中最多的是長方形與正方形，以致面積學(xué)習(xí)的起始階段，會(huì)不自主地將面積局限于規(guī)則圖形。為突破局限，筆者介入了“不規(guī)則圖形面積的比較”這一環(huán)節(jié)，主要包括線段圍成的不規(guī)則圖形和曲線圍成的不規(guī)則圖形。其目的是突出面積概念的本質(zhì)，更全面地理解面積概念。

通過以上環(huán)節(jié)，學(xué)生認(rèn)識(shí)到物體表面的各個(gè)面都有面積，線段及曲線圍成的不規(guī)則圖形也有面積，完善了對面積概念的建構(gòu)。

（二）注重面積守恒觀念的發(fā)展

皮亞杰認(rèn)為：“守恒是獲得數(shù)和量概念的重要條件，兒童沒有守恒概念就不能真正認(rèn)識(shí)數(shù)和量?！睂W(xué)生具有守恒概念就表明他能抓住事物本質(zhì)，對客觀事物的認(rèn)識(shí)已不為表面所迷惑。此環(huán)節(jié)是前期教學(xué)實(shí)踐的薄弱之處，因此，教師需要思考：如何建立面積守恒概念，將重點(diǎn)加以落實(shí)？

1.操作中感受面積守恒

用若干個(gè)面積為1平方厘米的小正方形擺拼不同的圖形，通過拼組圖形使學(xué)生體會(huì)：盡管所拼圖形的形狀各不相同，但圖形的面積均相等。學(xué)生在操作中感受面積守恒。

2.觀察中感受面積守恒

如建構(gòu)1平方分米的表象后，課末巧用1平方分米的正方形進(jìn)行變形。

師：仔細(xì)觀察，這個(gè)三角形的面積是多少？長方形的呢？

生：（思索許久，終有小手舉起）也是1平方分米，都是由這個(gè)正方形變的。

師：這兩個(gè)圖形的形狀不同，為什么面積都是1平方分米？

生：它們都是正方形變的，其實(shí)大小都是1平方分米……

教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對1平方分米的表象往往停留在邊長為1分米的小正方形上，觀察后感悟:原來1平方分米不一定是邊長1分米的正方形，可以是相應(yīng)的其他圖形。這一做法幫助學(xué)生突破思維定勢，發(fā)展面積守恒觀念。

又如：在三張邊長10厘米的正方形紙上，分別在三個(gè)不同的部位剪去一個(gè)長6厘米，寬4厘米的小長方形，思考剩余部分的面積是否相等？

由于所剪圖形的位置和方向不同，視角上會(huì)影響學(xué)生對所剩圖形面積的大小的判斷。通過觀察思考，筆者讓學(xué)生感受到同樣大小的正方形中，減去同樣大小的長方形，剩下部分的面積大小相等，這與長方形所在的位置或擺放形式無關(guān)。

（三）注重概念間的比較辨析

“周長”與“面積”是從不同維度對空間的度量。周長限于一維空間，面積發(fā)展至二維空間。小學(xué)生對面積理解的基本趨勢是：從面積表征與長度表征或周長表征混淆，到最后分化為清楚的面積表征。因此，讓學(xué)生建立面積概念的初始階段，應(yīng)注重多種對比的方式，幫助學(xué)生區(qū)別。前期對于兩者的區(qū)分主要停留在“描周長、涂面積”的階段，實(shí)踐下來學(xué)生對兩者的區(qū)分還是不夠明晰，后期還可從以下方面繼續(xù)落實(shí)。

1.動(dòng)態(tài)演示

在描一描周長、涂一涂面積之后，再運(yùn)用信息技術(shù)，將圖形的一周與面積“剝離”，將一周展開拉直，直觀體會(huì)一維長度與二維面積的區(qū)別。

2.動(dòng)作表征

用手比畫出長、高、腰圍、面積等，借助動(dòng)作表征，體會(huì)長度只從一個(gè)維度比畫，面積要從兩個(gè)維度比畫。

3.圖畫表征

長度單位和面積單位分別以畫圖的形式進(jìn)行表征，體會(huì)兩者所度量的維度的不同。

4.操作實(shí)踐

用鐵絲自制長方形框架，估測鐵絲的用量；在框架上糊一層白紙，估測白紙的用量。圍繞操場跑一圈，估測操場周長；量量算算，操場如鋪草皮，估測草皮用量。在實(shí)踐中，體悟周長、面積的不同度量角度。

二、感知度量單位，發(fā)展度量意識(shí)

劉加霞提出度量的焦點(diǎn)：一是度量單位（從標(biāo)準(zhǔn)的不統(tǒng)一到統(tǒng)一，形成單位體系）；二是度量單位的個(gè)數(shù)，即量的多少。前期實(shí)踐說明，對三年級(jí)學(xué)生而言，面積單位為什么要統(tǒng)一？選正方形做面積單位基于什么想法？學(xué)生是模糊的，后期教學(xué)可以從以下方面落實(shí)。

（一）經(jīng)歷面積單位的確立過程

探討面積比較的方法時(shí)，教師對選取的兩個(gè)長方形長、寬數(shù)據(jù)進(jìn)行精心設(shè)計(jì)。學(xué)生用已有的觀察法、重疊法都不方便比較，產(chǎn)生認(rèn)知沖突。

引導(dǎo)思考：能否借助組內(nèi)的學(xué)具來完成面積的測算？通過不同學(xué)具的拼擺、對比，感悟?yàn)槭裁凑叫巫雒娣e單位比較合理。拼擺過程中準(zhǔn)備小正方形、小圓片、三角形若干。要求學(xué)生小組合作完成。

針對3種測量方式，引導(dǎo)學(xué)生比較思考。

問題1：你用什么方法來比較這兩個(gè)圖形的面積大??？

問題2：測量中遇到什么問題，你覺得用哪個(gè)圖形做面積單位最合適，為什么？

引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)正方形能鋪滿（密鋪）所測的圖形，而且四條邊一樣長，擺放時(shí)不受位置和方位的限制，所以正方形做面積單位最合適。

（二）重視面積單位表象的建立

前期面積估測中，出現(xiàn)估測數(shù)據(jù)差異甚大的現(xiàn)象。這主要是因?yàn)閷W(xué)生對面積單位表象的建立記憶不深刻，缺乏估測策略。后期面積教學(xué)中，教師繼續(xù)建構(gòu)常見面積單位的表象，發(fā)展學(xué)生的度量意識(shí)。

【教學(xué)片段1】認(rèn)識(shí)平方厘米

師：從學(xué)具袋里找出1平方厘米，怎么判斷找得對不對？

生：量一量。邊長為1厘米的小正方形，面積為1平方厘米。（學(xué)生測量）

師：讓我們玩一次游戲吧！

記一記1平方厘米：把1平方厘米拿在手里，仔細(xì)看看，記在腦海里；

畫一畫1平方厘米：藏起1平方厘米，不用尺子，徒手畫1平方厘米；

比對1平方厘米：徒手畫的與標(biāo)準(zhǔn)的1平方厘米對照，對比差距；

調(diào)整1平方厘米：再次觀察，再畫1平方厘米，對比標(biāo)準(zhǔn)的1平方厘米。

（殊不知，以這種方式建構(gòu)1平方厘米表象，學(xué)生非常感興趣。當(dāng)經(jīng)歷了徒手畫不是很準(zhǔn)，到用心觀察體會(huì)，較準(zhǔn)確地畫出1平方厘米，學(xué)生心里無比興奮，此時(shí)表象已在無形中逐漸建立。）

師：找找身邊哪些物體的表面面積大約是1平方厘米。

生：牙齒表面、開關(guān)按鈕的面、指甲蓋的面……

【教學(xué)片段2】認(rèn)識(shí)平方分米、平方米

在1平方分米表象的建立中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用手勢做成大致1平方分米的小正方形，讓學(xué)生帶著這個(gè)隨身攜帶的平方分米去尋找生活中的表象；1平方米表象的建立中，引導(dǎo)學(xué)生在一張1平方米的白紙站一站，數(shù)數(shù)能站的人數(shù)。通過實(shí)踐、操作、游戲等活動(dòng)，建構(gòu)面積單位的模型。

（三）注重估測意識(shí)的培養(yǎng)發(fā)展

教學(xué)中教師讓學(xué)生經(jīng)歷用面積單位測量并計(jì)數(shù)面積單位個(gè)數(shù)的過程，從而體驗(yàn)面積單位的價(jià)值，進(jìn)而培養(yǎng)估測意識(shí)。估測策略的形成有待指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生從盲目估測向有依據(jù)的估測過渡。后期教學(xué)中，著重對估測的策略進(jìn)行一定指導(dǎo)，進(jìn)一步發(fā)展度量意識(shí)。

筆者安排了估測信封面積的活動(dòng)，先估一估，再測一測。

信封面積的估測比較簡單，因?yàn)樗拿娣e單位個(gè)數(shù)少；估測信封封條的面積時(shí)，學(xué)生估測的方法比較豐富。

①對比1平方厘米估一估。

②用食指的指甲蓋按一按。

③目測，封條的長度近似1分米，大約10厘米，估計(jì)放10個(gè)1平方厘米的小正方形。

建立常用面積單位表象，累積估測策略，并對面積單位進(jìn)行梳理，建構(gòu)面積單位與被測物體之間的聯(lián)系，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的度量意識(shí)。

三、理解面積公式，感悟度量本質(zhì)

皮亞杰把運(yùn)用長乘寬求面積的能力稱為智慧水平，這個(gè)水平一般到11歲或12歲才出現(xiàn)。因此，讓三年級(jí)的學(xué)生真正理解面積公式并非易事。前期實(shí)踐也表明很多學(xué)生熟悉公式，但運(yùn)用困難，歸根結(jié)底是對面積公式、度量的本質(zhì)不甚理解。后期公式的探究，應(yīng)注重度量本質(zhì)的感悟。

（一）經(jīng)歷用面積單位度量長方形面積的過程

提供方格紙或1平方厘米的面積單位，讓學(xué)生采用擺一擺或畫一畫的方法探究長方形面積。在用面積單位度量或拼擺長方形的過程中，應(yīng)重視學(xué)生計(jì)數(shù)面積單位個(gè)數(shù)方法運(yùn)用的指導(dǎo)。

學(xué)生計(jì)數(shù)面積單位個(gè)數(shù)的方法大致有兩種：①一個(gè)個(gè)數(shù)出面積單位的個(gè)數(shù)，這是最原始的方法；②數(shù)出每行的個(gè)數(shù)和行數(shù)，5表示每行擺5個(gè)，3表示有這樣的3行，15表示有15個(gè)面積單位，為面積公式的推導(dǎo)提供直觀經(jīng)驗(yàn)。

（二）溝通長、寬與面積單位個(gè)數(shù)之間的聯(lián)系

讓學(xué)生理解長度×寬度=面積是極為困難的。因此在學(xué)生拼擺的基礎(chǔ)上，筆者圍繞這個(gè)問題進(jìn)行直觀演示：長方形的長、寬與面積單位的個(gè)數(shù)有什么關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形長是幾厘米，每行就可以擺幾個(gè)1平方厘米的立方體；寬是幾厘米，就能擺幾行1立方厘米的立方體。

將一維長度數(shù)與二維面積單位個(gè)數(shù)建立聯(lián)系，數(shù)的意義不同，數(shù)值大小是相同的，面積單位的總個(gè)數(shù)是長、寬這兩個(gè)數(shù)的乘積，由此概括出長方形面積公式。

整個(gè)探究環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了“動(dòng)手實(shí)踐，估測面積—深入探究，建構(gòu)聯(lián)系—推導(dǎo)公式，感悟度量本質(zhì)”的全過程。他們在探究面積公式的同時(shí)，理解度量的本質(zhì)。

面積作為生活中常見的六種物理量之一，面積的教學(xué)為今后角度、體積、容積的學(xué)習(xí)奠定了度量基礎(chǔ)。在“面積”的再教學(xué)中，通過“把握面積概念，滲透度量意識(shí)”“感知面積單位，發(fā)展度量意識(shí)”“理解面積公式，感悟度量本質(zhì)”，學(xué)生初步把握了度量的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，逐步增強(qiáng)度量觀念，有效地落實(shí)了本單元的教學(xué)。